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Utiliser la physique pour démontrer

Bonsoir,

je me permets d'ouvrir un fil que j'aurais plutôt voulu intituler : La physique peut-elle démontrer des théorèmes mathématiques ?
Je lance le débat à partir de ce lien : la physique démontre les maths
Je serais intéressé par vos avis.
ignatus.
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Réponses

  • Bonjour,

    Pour démontrer un théoréme de maths il faut faire des maths. Mais pour avoir une idée de la démonstration ou d’une démonstration possible, on peut s’inspirer de la physique, mais aussi de l’économie, de la biologie et de pratiquement tout autre chose.
    Des exemples connus sont assez intéressants en physique... dans le lien entre la théorie physique des cordes et la théorie mathématique des noeuds...
    Mais j’ai lu de trés nombreux articles, le plus récent où des physiciens utilisent un Hamiltonien d’une particule quantique pour démontrer l’hypothése de Riemann : en fait, quand on enlève la palabre physique pour voir les maths, ils font des hypothèses non explicitées et non justifiées... ce qui facilite grandement les démonstrations :)
  • Je ne sais pas ce que signifie "utiliser la physique" pour démontrer.
    Mais, par exemple, avec des visions géométriques, ou même de simples dessins, on peut faire germer des idées.
    On formalise alors, mathématiquement, et on regarde si "ça se passe aussi bien que sur le dessin".

    C'est un peu ce que dit YvesM dans une partie de son message. Je le dis plus naïvement.
  • Bonsoir,

    YvesM, vous dîtes :"
    Pour démontrer un théoréme de maths il faut faire des maths." Le lien que j'ai donné essaye d'expliquer que la physique est un moyen de démontrer des théorèmes de maths, plus exactement de donner d'autres démonstrations de résultats connus. Et que du coup, il faut revoir la définition de ce qu'on appelle une démonstration. C'est sur ce point là que je tenais à avoir des avis.
    Je pense que nous sommes tous d'accord pour dire que l'intuition géométrique, des analogies avec des situations concrètes peuvent aider à démontrer des théorèmes. Mais que la physique devienne un élément de démonstration, c'est autre chose.
    Merci quand même d'avoir réagi.
    ignatus.
  • Bonsoir,
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,879013
    Je trouve ça louche comme démonstration. Quelle que soit la boîte, remplie d'eau, elle ne tournera pas. Alors la vraie question est pourquoi elle ne tourne pas ?
    Un physicien pourrait-il nous dire si la démo de Monsieur Levi est correcte, ou si la paroi oppose tout simplement une force identique et opposée (la réaction) à la pression ?
    Ici au moins , ça a du sens.
  • Bonjour Robusta,

    tu as fait l'effort de lire le lien que j'avais mis et je t'en remercie. Oui, tout le problème est là : les "démonstrations "à la physicienne" qui sont proposées sont-elles vraiment des démonstrations ?
    ignatus.
  • Bonjour,

    Les démonstrations physiques ne sont, en aucun cas, des démonstrations mathématiques. Le plus souvent elles ne démontrent rien (et simplement illustrent un théoréme mathématique) ; parfois, si elles calquent une démonstration mathématique, elles noient le théorème dans du vocabulaire physique.

    Je donne cet exemple en économie :
    - un vendeur possède $x$ pommes et $y$ poires avec $x\geq y$
    - il peut vendre toutes les pommes ou toutes les poires au prix de $a$ par fruit ou de $b$ par fruit avec $a\geq b$
    - il cherche à maximiser son revenu : quel fruit doit-il vendre à quel prix ?
    Il doit vendre au meilleur prix le plus possible de fruits et donc les pommes au prix $a$ : il reçoit $x a+y b$. Ce revenu étant maximal il est plus grand que le revenu obtenu en vendant tous les fruits au prix moyen $(x+y)(a+b)/2$ qui est lui-même plus grand que le revenu obtenu en vendant le plus possible de fruit au plus bas prix : donc les pommes au prix de $b$ : $x b+y a.$
    On a donc démontré que pour tout $a,b,x,y$ positifs avec $x\geq y$ et $a\geq b$ : $x a+y b\geq (x+y)(a+b)/2\geq x b+y a.$

    Est-ce une démonstration mathématique ? Absolûment pas. Lorsqu’on écrit ces inégalités on n’a rien démontré ; on a considéré comme vraie/ intuitive/ évidente des relations : cela revient à écrire : ‘il est immédiat que’ et ceci n’est jamais une démonstration.

    En physique c’est pire car il faut justifier les hypothèses simplificatrices d’un système et c’est trés compliqué en pratique.
  • Bonjour,

    Il me semble avoir vu quelque part que la statique des solides permet de (re)trouver des résultats sur les centres de gravité.

    A+
  • Bonjour,
    Tout cela sans doute parce que la physique est une structure mathématique qui a pris forme et que la forme ne dit pas tout du concept qu'elle contient.
  • Bonjour YvesM,

    je crois comprendre votre point de vue, et je serais tenté d'y souscrire. Mais j'ai aussi une connaissance qui est directeur de recherche en physique théorique et qui me répète souvent : "la preuve du pudding, c'est qu'on peut le manger."
    Mon humble sentiment est donc qu'il y a certainement quelque chose de profond là-dessous, qu'il faut éclaircir, et qu'il faut donc se garder de noyer le problème par des affirmations trop exclusives.
    La vidéo de Robusta me semble très intéressante à ce titre .
    Ce n'est certainement pas une démonstration au sens mathématique traditionnel, mais pourquoi ne serait-ce pas une démonstration ?
    ignatus.
  • Bonjour.

    La preuve physique pose un problème de croyance : "Ça se passera toujours ainsi". Que doit-on conclure, si la boite se met à bouger ? Deux solutions : Soit on remet en cause la preuve, soit on décide qu'il y a un élément extérieur qui fait bouger (champ, tremblement de terre, ...). Voir par exemple l'histoire de la notion d'énergie (en physique).
    Historiquement, les mathématiques se sont construites sur les parties des raisonnements qu'on ne veut pas voir changer suivant les situations (*), et pour servir justement à traiter les cas concrets. Puis se sont mises à vivre leur propre vie (entre le dix-septième et le vingtième siècle).
    Donc oui, les démonstrations par la physique sont bien des démonstrations, et non, ce ne sont pas des preuves mathématiques. Un récipient en forme de triangle n'est pas un triangle mathématique. Et oui, une démonstration de physique mathématique est bien une démonstration mathématique (quand on est dans un cadre axiomatisé).

    Cordialement.


    (*) les formulations de la géométrie grecque, en particulier les "éléments" d'Euclide sont éclairants.
  • Bonjour,

    Tu demandes si un truc est une démonstration mathématique : la réponse est non. La réponse n’est pas : peut-être ou dans certains cas ou je ne sais pas. Non, c’est non.

    A présent, tu transformes en : est-ce qu’un truc qui n’est pas une démonstration mathématique peut être considéré comme une démonstration.
    La réponse dépend du sens que tu donnes à démonstration. Si c’est démonstration mathématique, c’est non. Si c’est autre chose pour que la réponse ‘oui’ te plaise, alors c’est oui.

    C’est simple, non ?

    Quand on parle du pudding, on dit que la physique est une science expérimentale : il faut tester par l’expérience si la théorie est compatible avec l’expérience. Si elle ne l’est pas on peut jeter la théorie ou la modifier (ce qui est la même chose). Si elle l’est, alors on la teste encore par de nouvelles expériences...
    Dans la physique moderne, on ne mesure/ voit/ détecte pas les particules à durée de vie faible, on fait des statistiques et on montre que l’existence de telles particules n’est pas incompatible avec les mesures : ce n’est absolûment pas une démonstration de l’existence de ces particules. Il faut donc faire bien attention à ce qu’on appelle pudding...
  • Bonjour,

    j'a i distingué démonstration mathématique et démonstration pour bien faire sentir que le problème tournait autour de ce que signifie démonstration.
    Jusqu'à preuve du contraire, le modèle de la démonstration a toujours été la démonstration mathématique, de sorte que lorsqu'on parle de démonstration, c'est toujours à une démonstration mathématique que l'on fait référence. Distinguer les deux ne va pas de soi, et pousse à s'interroger sur ce qu'est une démonstration mathématique.
    Le lien que j'ai mis propose d'élargir l'idée que l'on se fait de ce qu'est une démonstration mathématique, tout en gardant l'équivalence démonstration = démonstration mathématique. C'est sur ce point que je souhaitais avoir des retours, cette proposition d'élargir les critères de ce qu'est une démonstration mathématique.

    Quant au pudding, la personne que je cite se revendique profondément matérialiste et récuse la tendance à ne voir les mathématiques que comme des idées platoniciennes. Pour lui, la "démonstration" de l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et harmoniques en utilisant des résistances placées en série ou en parallèle, comme dans le lien ci-dessus, serait parfaitement valable.

    C'est, à mon sens, un débat profondément philosophique et logique, qui doit attendre des éclaircissements théoriques pour apporter des réponses constructives.
  • Ignatus a écrit:
    Jusqu'à preuve du contraire, le modèle de la démonstration a toujours été la démonstration mathématique, de sorte que lorsqu'on parle de démonstration, c'est toujours à une démonstration mathématique que l'on fait référence.
    Une affirmation qui est démentie par la réalité. Il y a des tas de lieux où on démontre, on argumente et on prouve, sans mathématique. Seule la prétention de certains mathématiciens leur fait croire que la preuve mathématique est la seul façon de faire.

    Le cteur de "Pour la science", j'avais vu l'article de JP Delahaye à l'époque, sans lui accorder plus d'importance qu'il n'en mérite. On n'est plus à l'époque d'Archimède, ni même de Newton et Leibnitz, la notion de preuve mathématique (avec toutes ses limites) est maintenant bien cernée, et loin des "évidences" des sciences expérimentales. On a rejeté, justement, dans les mathématiques, les "évidences".

    Comment le physicien qui travaille sur des objets concrets en les idéalisant pourrait-il induire de son expérience des objets concrets une propriété parfaitement assurée de l'idéalisation ? Il n'y a pas besoin d'être très fort en philo pour savoir que l'induction ne prouve pas, étant toujours à la merci d'un contre exemple (*).

    Cordialement.

    (*) La non-connaissance d'un contre-exemple n'est pas une preuve de non existence.
  • Bonjour gerard0,

    je viens de lire ton commentaire.
    gerard0 a écrit:

    On a rejeté, justement, dans les mathématiques, les "évidences".

    Par cette affirmation, tu entres dans un problème éminemment philosophique : la nature du raisonnement mathématique.
    On peut dire que le logicisme étant dépassé, les mathématiques ne sauraient être conçues comme une suite de tautologies. Cela veut-il dire qu'il y a des évidences qu'on ne formalise pas ? Si c'est le cas, qu'est-ce qui a changé depuis Archimède ?
    Si ce n'est pas le cas, quelle est la nature de ce "plus" qui ne se laisse pas formaliser, mais n'est pas non plus une évidence ?
  • Ne joues pas sur les mots, Ignatus.
    Le texte est clair, quand on ne coupe pas ce passage du précédent auquel il réfère (... et loin des "évidences" des sciences expérimentales. On a rejeté, justement, dans les mathématiques, les "évidences".). Il n'est nullement question ici des tautologies (mot qui a un sens précis en logique, donc en maths). A moins que tu utilises ce mot dans un sens vulgaire, comme synonyme de "évidences".

    Je ne rentrerai pas dans des polémiques sur ce sujet, maintenant que j'ai rectifié un texte erroné.

    Cordialement.
  • ignatus a écrit:
    la personne que je cite (...) Pour lui, la "démonstration" de l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et harmoniques en utilisant des résistances placées en série ou en parallèle, comme dans le lien ci-dessus, serait parfaitement valable.

    Je vois bien que ce n'est pas toi qui affirmes directement cela, mais comment peut-on accorder une valeur mathématique à un truc pareil ? En quoi l'expérience prouve-t-elle que le résultat observé est valable quelles que soient les valeurs des résistances et pas seulement pour certaines valeurs particulières ? Qu'est-ce qui assure que les résistances utilisées sont conformes à un modèle idéal (loi d'Ohm) ? Comment prouver que le résultat de l'expérience ne dépend pas de la température du milieu environnant alors qu'il est impossible de tester ne serait-ce qu'une infinité dénombrable de cas ? L'expérience étant décrite de manière très vague, on ne sait pas ce qu'on mesure en sortie pour conclure, mais qu'est-ce qui prouve que la mesure est fiable (si les deux grandeurs à comparer sont suffisamment proches, il est très probable qu'aucun dispositif physique ne permette de les distinguer) ? Qu'est-ce qui prouve que si « on » attend un million d'années devant les résistances en train d'observer ce je ne sais quoi, la même chose va continuer à se produire exactement à l'identique ? Etc.
  • Ce fil me rappelle un vieil exemple de "preuve" par la physique, le voici :

    Théorème : étant un polygone convexe $A_0A_1\cdots A_{n-1}$ et soit $G$ son centre de gravité, il existe un indice $k$ tel que le projeté orthogonal de $G$ sur la droite $(A_kA_{k+1})$ (en posant $A_n=A_0$) appartienne au segment $[A_k,A_{k+1}]$.

    Preuve : par l'absurde, si tel n'était pas le cas, une roue ayant exactement la même forme, posée sur un plan horizontal, serait en mouvement perpétuel ce qui n'est pas possible.
  • Bonjour,

    @YvesM : Je reviens sur l'exemple que vous aviez proposé, que je trouve excellent. C'est exactement, il me semble, le genre d'utilisation de la physique qui est fait dans le lien donné.



    L'exemple étant bien choisi, qu'est-ce-qui fait que la conclusion n'est pas valide, au sens mathématique du terme ? Qu'est-ce-qui distingue ce type "d'évidences" des "évidences" mathématiques ( si l'on détaillait tout à la la façon des Principia Mathematica, les démonstrations feraient des kilomètres, on est donc bien obligé de "sauter" des étapes ) ? Et si l'on arrive à fournir des critères pour distinguer les deux types d'évidences, qu'est-ce-qui empêche d'assouplir les règles des "évidences mathématiques" pour se rapprocher de ce type d'évidences, disons expérimentales ? Pourquoi cela dénaturerait-il les mathématiques ?
  • La théorie de la démonstration a fait des progrès gigantesques depuis Russell et Whitehead. On peut désormais produire des preuves formelles pour des théorèmes difficiles (théorème des nombres premiers, des quatre couleurs, de Feit-Thompson, conjecture de Kepler, etc.), c'est-à-dire des dmonstrations aussi précises et exhaustives que celles que souhaitaient produire Russell et Whitehead. Dans la pratique, on n'arrive pas à ce degré de précision en général. Cependant, un spécialiste de la discipline disait quelque chose comme « donner la preuve d'un résultat en mathématiques, c'est convaincre son interlocuteur (ou lecteur) qu'il en existe une preuve formelle ».

    Enfin, ce que je veux dire, c'est qu'il y a une différence de nature entre une preuve par la physique et une preuve mathématique : dans le deuxième cas, on pourrait si on le souhaitait préciser l'argument pour en arriver à une démonstration où les évidences sont de vraies évidences, une démonstration fondée exclusivement sur un nombre restreint de règles de déduction et d'axiomes, alors que dans le premier cas, il faut s'en remettre à un moment ou un autre à des « évidences » qui reposent sur la connaissance de la réalité, voire une expérience (au sens des physiciens).

    Si ça vous intéresse, il m'arrive de trouver une preuve physique plus convaincante qu'une succession d'arguments que je ne comprends pas (pas d'image, pas d'intuition) mais cela ne relève pas exactement des mathématiques.
  • @gerard0 :
    Je suis surpris de votre réaction, et ne m'attendais pas à ce que l'on me fasse un procès d'intention pour malveillance. Je ne vois pas ce que la partie du texte que vous souhaitez restituer ajoute à celle que j'ai publié. Il y est bien question du fait que les mathématiques ont rejeté depuis longtemps les "évidences expérimentales". Et c'est sur ce point que je me suis concentré. Je n'ai spontanément pas fait de différences entre évidences mathématiques et évidences expérimentales. Puisque l'on est sur un forum de maths, et pas au bistrot du coin, si vous faites cette différence, comment l'argumentez-vous ?
    Pour souligner que les évidences n'avaient pas disparu en mathématiques, j'ai pris l'exemple du débat autour du logicisme et de la question de la réduction des mathématiques à de la logique. C'est ici qu'intervient le terme tautologie. Il a une signification syntaxique : étant donné un alphabet, éventuellement des axiomes, des règles de formation de formules, et des règles de transformation de formules, est dite tautologie, toute formule qui s'obtient à partir de ces règles. On cherche à éliminer le recours à toute forme d'évidences pour assurer de manière incontestable la vérité mathématique. Comme cela ne marche pas, en quoi la situation est-elle différente du temps d'Archimède ? Que les mathématiques soient beaucoup plus sophistiquées qu'à cette époque ne me semble pas un argument...

    @brian : Effectivement, je n'ai pas d'avis. J'ai soulevé un problème, et j'attendais des arguments de la part de professionnels de la physique et des mathématiques.
    Par contre, tu mentionnes la loi d'Ohm, et tu mets le doigt sur un élément qui semble avoir suscité certaines confusions. Dire qu'on utilise un raisonnement physique ne veut pas dire que l'on se dispense d'utiliser des modèles idéalisés. La physique, pour ma compréhension élémentaire, utilise des modèles mathématiques pour reproduire et même construire des expériences, et formule des lois physiques qui utilisent des concepts idéaux qui lui sont propres. Les lois physiques s'écrivent en langage mathématique depuis Galilée. Dans le cadre idéal d'application des lois physiques, pourquoi ne pas accepter comme valides les démonstrations de théorèmes mathématiques qu'elles permettent ? Dans le débat sur l'utilisation de l'ordinateur et de programmes pour "démontrer" des théorèmes,on peut ajouter celui de l'utilisation de lois physiques. Peut-être que c'est encore un peu tôt, mais cela viendra tôt ou tard, d'autant plus que les ordinateurs de plus en plus perfectionnés utilisent des propriétés de la physique.

    @incognito : Je suis désolé, je ne comprends pas ton exemple.
  • Bonjour,

    Soit on fait des maths, soit on fait autre chose. Si tu changes les maths, ce ne sont plus des maths. Les maths c’est des axiomes et des régles logiques : une preuve part des axiomes, utilisent les règles et aboutit à un théorème.
    Si tu veux élargir les maths, tu peux ne pas expliciter les axiomes, t’affranchir des règles logiques, et considérer des théorèmes sans preuve.
    C’est donc une entreprise folle et dénuée de sens. Tu aboutis à faux implique tout (et son contraire). Si c’est ce que tu veux, super, sinon, revient aux maths.
    L’intuition conduit à écrire des conneries (regarde les copies de tes éléves, où les tiennes, où les miennes) : l’intuition, ce n’est pas des maths. Même si elle paraît être compatible avec les maths.
    Tu aboutis à faux implique tout : c’est la réponse à ta question. Les maths sont dénaturées dés que tu permets de considérer comme vrai un truc faux.

    Quand on ne fait pas des maths, on peut considérer comme vrai ce que l’on veut et aussi comme faux cette même chose... par exemple, ´Il n’est pas la moitié d’un con !’. Tu peux considérer que c’est un vrai con (tout entier) ; ou qu’il n’est pas un con du tout.
  • La physique inspire et fournit des sujets d'étude (pourquoi calcule-t-on dérivées, intégrales, etc) mais ne démontre rien (la validité d'une affirmation est construite sur des résultats expérimentaux).
  • Bonsoir,

    je ne sais pas si cela alimentera le débat, mais je voudrais signaler qu'il y a tout un courant de pensée qui remonte aux travaux de René Thom, et s'est poursuivi, entre autres, par des personnes comme Jean Petitot. Ce courant de pensée cherche à "naturaliser" les mathématiques. Il considère que les mathématiques sont un produit de l'évolution, qui ont permis à l'homme de s'adapter à son environnement hostile et de le maîtriser. Cela a pour conséquence que les capacités à faire des mathématiques sont profondément liées à la manière avec laquelle nous interagissons avec la nature. De ce point vue, une distinction nette entre un raisonnement physique et un raisonnement mathématique devient plus problématique, puisqu'ils font appel tous les deux à des processus cognitifs façonnés par l'évolution.

    D'autre part, en pédagogie, cela fait maintenant un bon nombre d'années que l'on nous demande de travailler sur l'aspect ludique des mathématiques pour leur transmettre un savoir. L'idée derrière ce point de vue est que c'est à travers la manipulation d'objets concrets, de jeux nécessitant une adaptation cognitive, que l'on peut amener les élèves à appréhender l'abstraction, et de ce fait, à acquérir des procédures de démonstration mathématique. En d'autres termes, pour la majorité en tout cas, on ne naît pas mathématicien, on le devient. Là encore, le débat sur l'origine de la capacité des élèves à faire des mathématiques, à intégrer cognitivement des démarches de démonstration mathématique, semble montrer qu'il est simpliste de concevoir les mathématiques comme une culture hors sol.

    Bon réveillon,
    ignatus.
  • « Concevoir les mathématiques comme une culture hors sol » est une erreur évidente, abolir les règles formelles dans l'étape de démonstration, qui ne représente pas l'ensemble de l'activité (humaine) mathématique – loin s'en faut – ça me semble une autre erreur.
  • Bonsoir Math Coss,

    j'ai bien apprécié votre premier commentaire, que j'ai trouvé instructif, et j'attendais d'avoir parcouru les liens qu'il contient avant d'y répondre.
    Pour ce qui est du deuxième commentaire, je me sens autorisé à réagir à chaud. Vous semblez me prêter des intentions que je n'ai formulées nulle part. Je serais bien en peine d'encourager à l'abolition des règles formelles dans l'étape de la démonstration, puisque si celles-ci sont le fruit de l'évolution de l'espèce humaine ( affirmation que je veux bien endosser), je ne vois pas comment l'on pourrait se passer de ce modèle dans la vie de tous les jours. Même si je ne suis pas sûr qu'il s'agisse à chaque fois de démonstration, on use de ce modèle dans de multiples situations, comme l'a très bien fait remarquer gerard0.
    J'ai parlé, il est vrai, d'élargir les critères d'appréciation de ce qu'est une démonstration mathématique, formulation volontairement ambiguë, qui n'autorise cependant pas à me faire dire n'importe quoi. J'ai d'ailleurs été amené, grâce à l'intervention de brian, à préciser que l'intervention de la physique dans les théorèmes mathématiques,ne pouvait se faire que sous une forme idéalisée, déjà mathématique, mais usant de concepts et de lois propres à la physique.
    Je ne sais absolument pas ce qu'est une démonstration mathématique, même si je saurais en détecter quelques unes. Je n'ai donc aucune idée de ce que peut vouloir dire, "élargir les critères d'appréciation de ce qu'est une démonstration mathématique" . Mais je pose le problème. Que des logiciens considèrent que certains raisonnements physiques peuvent constituer de véritables démonstrations mathématiques interroge. Qu'est-ce-qu'une démonstration mathématique ? Sa définition permet-elle sans hésitation de rejeter la prétention de tout raisonnement physique à démontrer des théorèmes mathématiques ? Pourquoi ?
    Si l'on acceptait les raisonnements physiques, qu'est-ce-que ça changerait concrètement dans l'idée que l'on se fait d'une démonstration mathématique ?
    Pour terminer, je voudrais être bien clair : je ne prends pas position, je n'ai pas les compétences. Par contre, je peux me faire l'avocat du diable pour pousser les "spécialistes" à réagir et surtout argumenter. Je remarque que jusqu'à présent cela n'a pas marché. La plupart des intervenants semblent convaincus qu'il n'y a pas de problème et que tout est clair. Je pense le contraire.
    ignatus.
  • Bonjour,

    @Math Coss : La plupart des exemples que vous proposez semblent utiliser l'ordinateur, et résoudre un problème de type combinatoire. La première chose qu'il faudrait comprendre est de savoir si ces problèmes sont "intrinsèquement combinatoires pour leur résolution, et si c'est seulement leur réduction qui l'est. Dans ce dernier cas, tout le "poids" mathématique se concentre dans cette réduction.
    Mais ce qui est intéressant, c'est que vos exemples mettent en évidence la notion de calculs, et les preuves ne sont automatisables que parce qu'elles sont calculables (à vous de me corriger si je me trompe). Et donc la question que j'ai posée initialement peut être "attaquée" de ce point de vue. En quoi les démonstrations mathématiques sont-elles réductibles à du calcul ?
    A première vue, la pensée géométrique n'est pas réductible à du calcul, même si on peut axiomatiser des systèmes géométriques. La capacité à percevoir des symétries dans un problème et à les utiliser comme outils de preuves ne me semble pas programmable ( là aussi, me corriger si je me trompe). La physique fait un grand usage des symétries pour découvrir des lois. D'où une certaine proximité entre la pensée géométrique et la pensée physique. Si l'esprit géométrique est important dans la découverte de propriétés, l'invention de nouvelles théories, et la construction de démonstrations mathématiques, et que cet esprit est également important pour la physique, voire constitue un élément de la plupart des raisonnements physiques, alors pourquoi dès lors considérer ces derniers comme étrangers à la démonstration mathématique ?
    Aucun mathématicien ne niera l'importance de l'intuition géométrique ou topologique pour la construction de démonstrations mathématiques ? Quel est le lien entre la physique à travers ces lois et ce type d'intuitions ?

    @Robusta :
    Vous dites :
    "Tout cela sans doute parce que la physique est une structure mathématique qui a pris forme et que la forme ne dit pas tout du concept qu'elle contient."

    Votre phrase est vraiment très jolie et profonde, et je ne suis pas sûr de l'avoir comprise. A priori, vous semblez concevoir les mathématiques comme un instrument pour extraire du réel ou de la forme, des concepts. La physique, même sous forme mathématique, et donc idéalisée, n'est pas assez formalisée pour que puisse émerger les idées importantes pour la production ( démonstration ?) mathématique.
    Je ne sais pas si j'ai compris votre pensée, mai cela me permet effectivement de préciser que lorsque l'on parle de physique, à quoi se réfère-t-on ? A des lois bien établies mathématiquement et expérimentalement, ou à la physique en train de se faire, parfois hautement spéculative, et où la différence entre physiciens et mathématiciens n'existe pratiquement plus (cf Witten par exemple) ? Pour ma part, et c'est le point où je voulais en venir, lorsque je parle de physique, je fais référence à des théories qui marchent, qui permettent de prédire des tas de phénomènes, qui ont contribué à l'essor des technologies, et sur lesquelles on s'appuie pour évaluer rationnellement une situation.
    La relativité générale a été longtemps perçue comme une théorie ésotérique, particulièrement spéculative. Sauf qu'elle marche ! Elle a permis de construire le système GPS qui est devenu incontournable dans notre mode de vie. Quand on dit que la preuve du pudding, c'est qu'on peut le manger, on veut surtout dire, que la preuve de ma théorie, c'est qu'elle marche ! On doit dès lors distinguer le problème de la démonstration mathématique et celui de la vérité. Les mathématiques nous donnent accès à la vérité, mais une théorie physique qui marche si bien qu'on l'utilise tous les jours, ne donne-t-elle pas accès à la vérité également ? Doit-on dire qu'il existe une vérité proprement mathématique ? Ou doit-on distinguer entre efficacité et vérité ? Le problème posé par la déraisonnable efficacité des mathématiques ne plaide pas pour une distinction entre plusieurs types de vérité.

    @Foys :
    Vous dites :

    "La physique inspire et fournit des sujets d'étude (pourquoi calcule-t-on dérivées, intégrales, etc) mais ne démontre rien (la validité d'une affirmation est construite sur des résultats expérimentaux)."

    Si l'on prend l'exemple des matrices pour la mécanique quantique, ou la géométrie riemannienne pour la relativité générale, il est faux de dire que les interactions entre mathématiques et physique se font dans un seul sens. Les mathématiques permettent aussi de donner corps à des intuitions physiques pour élaborer des théories validées par l'expérience. Une théorie physique est un corpus d'intuitions, formalisé et organisé par les mathématiques, de la même manière qu'une théorie mathématique est également un corpus d'intuitions formalisé par des théories mathématiques antérieures et qui les étend.
    Dès lors, comme cela a déjà été souligné par des physiciens-philosophes comme Pierre Duhem, une expérience physique suppose la validité d'une quantité énorme de concepts, en particulier de concepts mathématiques. Une expérience n'est jamais seulement un fait isolé, ce sont de multiples théories avec leurs concepts qui sont testés. Dès lors, ce sont les théories impliquées qui vont orienter la manière dont on va interpréter le résultat de la mesure. Lorsqu'une succession de résultats se corroborent, on a montré la cohérence entre elles du système formé par ces théories.
    A-t-on démontré quelque chose pour autant? On a seulement montré que nos théories étaient efficaces.
    Alors, soit on considère que les mathématiques font partie d'un monde particulier auquel pourrait avoir accès d'autres formes de vie intelligente, ce qui n'évacue pas totalement le problème, mais le complique ( puisqu'il faut expliquer le lien des mathématiques avec la réalité et pourquoi elles sont si efficaces), soit on considère que les mathématiques sont issues de l'adaptation de l'homme à son environnement, et qu'elles ont intégré tels types de règles formelles parce qu'elles étaient les plus efficaces pour la survie. Les théories physiques que nous sélectionnons sont celles qui sont les plus efficaces pour maîtriser la nature de la même manière que les procédures formelles que nous utilisons ont été les plus efficaces pour nous permettre de survivre.
    En conclusion, je ne contredis pas votre affirmation que la physique ne démontre rien, mais j'essaie d'en nuancer la portée en la mettant en perspective.
    ignatus.
  • Ah. Accepter des « preuves par la physique », ce serait à maints égards un retour en arrière. Je tente une petite histoire. Le mouvement général des mathématiques va, depuis vingt-cinq siècles probablement, vers plus de rigueur et plus de formalisme, et le succès est au rendez-vous. De « grands problèmes » de l'Antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l'angle ou la quadrature du cercle ont été résolus au XIXe siècle. Un peu plus tard, en réaction à des problèmes divers, les gens se sont mis à préciser, à rendre plus rigoureuses des notions qui étaient acceptées jusque là : par exemple, la notion de fonction a été précisée au fil des siècles pour en arriver à la définition moderne ; plus spécifiquement, les fonctions continues dérivables nulle part qui effrayaient Hermite sont traitées de façon banale par les analystes (et les probabilistes), parce que les concepts qui vont bien ont été développés et sont désormais dans la culture commune ; c'est parce qu'il étudiait les points de discontinuité de fonctions réelles et les points d'accumulations des parties de $\R$ que Cantor a été amené à voir qu'il y avait plusieurs sortes d'ensembles infinis. Au début du XXe siècle, la crise des fondements est née du constat que la théorie naïve des ensembles employée jusque là (et, en pratique, employée par la plupart d'entre nous...) conduisait à des contradictions fondamentales ; la théorie des ensembles qui en a résulté est le résultat d'une recherche de rigueur.

    Juste avant, Hilbert, en se penchant sur les axiomes d'Euclide, s'est aperçu qu'ils n'étaient plus suffisants pour les exigences formelles de son époque, alors qu'ils avaient traversé les siècles. Certaines choses considérées comme évidentes étaient désormais rejetées. C'était d'ailleurs une conséquence d'un grand succès de la géométrie : le quatrième axiome, qui stipule qu'une droite admet une unique parallèle passant par un point donné, est faux dans des géométries aussi cohérentes que la géométrie euclidienne, qui ont été mises au jour au cours du XIXe siècle (Gauss, Lobachevski, Bolyai...). En considérant comme évidentes certaines propriétés, on s'était privé de théories géométriques entières, qui d'ailleurs se sont révélées indispensables assez peu de temps après pour la relativité.

    Autre crise, dans les années 1920-1930 : les théorèmes d'incomplétude de Gödel, qui mettait fin à certains espoirs de Hilbert (« Nous devons savoir, nous allons [tout] savoir ! »). Pour cela, pour démontrer que certaines choses sont indémontrables, il a bien fallu définir ce qu'est une démonstration. Un autre grand succès conceptuel, puisque cela permet d'étudier les démonstrations en tant qu'objets mathématiques, de leur appliquer les mêmes méthodes avec la même exigence. Ce n'est plus une méta-théorie, ce n'est plus de la philosophie ou de la rhétorique, ce sont des mathématiques ! Les concepts dégagés depuis un siècle sont à présent assez précis et assez robustes pour être implémentés sur des ordinateurs, ce qui donne lieu à la notion de preuve formelle.

    Bref, tout ça pour dire que les exemples historiques abondent pour justifier que la pratique actuelle de la démonstration n'est pas arbitraire, qu'elle a été élaborée progressivement pour résoudre des problèmes posés par les approches antérieures moins exigeantes ou moins formalisées, moins « définitives ».


    Bien sûr, la démonstration ne constitue pas l'intégralité de l'activité mathématique. Trouver les bons problèmes, dégager les bonnes notions, les bonnes définitions donc (par exemple, définir le zéro, la notion de groupe, la notion de fonction : tout ça ne s'est pas fait d'un coup, loin de là !). Trouver les bonnes généralisations de théorèmes et de définitions (pas trop larges pour rester praticables, assez pour englober toujours plus de situations et plus de problèmes), imaginer les solutions des problèmes même si on ne sait pas les mener à bien, voilà d'autres façons de contribuer aux mathématiques. Cependant, la démonstration sera toujours le garant de l'exactitude, le juge de paix ultime. Cela ne sert à rien d'avoir une belle définition générale de schéma si on ne sait rien démontrer à leur sujet.
  • Je réponds à ce message à part. C'est vrai qu'il y a des parties combinatoires dans le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler mais 1) c'est l'intégralité de la preuve qui est formalisée, pas seulement les calculs combinatoire et 2) c'est beaucoup moins vrai pour Feit-Thompson et pas du tout pour le théorème des nombres premiers.

    Quoi qu'il en soit, ces parties combinatoires ne sont pas l'essentiel : une preuve formalisée, cela consiste à faire refaire à l'ordinateur toutes les étapes élémentaires du raisonnement, avec la précision que souhaitaient atteindre Russell et Whitehead.

    Encore une fois, le fait de rejeter les démonstrations physiques, ce n'est pas du tout se priver de l'intuition (en principe, l'intuition ne joue plus de rôle pour contrôler si une démonstration est correcte, même si elle est indispensable pour l'élaborer), de l'heuristique, des méthodes de calcul « à la physicienne », des problèmes posés par la physique, etc. Ce n'est pas rejeter l'interaction

    Tiens, quelques remarques de plus : nombre de travaux de Cédric Villani, notamment ceux sur l'équation de Boltzmann et sur l'amortissement Landau, ou de Laure Saint-Raymond, consistaient ou consistent à donner des démonstrations mathématiques de phénomènes décrits par les équations de la physique – en gros et sous réserve, comment faire émerger rigoureusement des comportements macroscopiques à partir de descriptions microscopiques. De même, un problème majeur pour les équations de Navier-Stokes, c'est de montrer l'existence d'une solutions régulières en général, ce qui est « physiquement évident ». C'est une bonne indication que les preuves de physiciens ne sont pas considérées comme des preuves mathématiques et que cet état d'esprit n'est pas du tout la négation des interactions entre mathématiques et physique.
  • Tiens, le critère de vérité en mathématiques, c'est la cohérence interne d'une théorie. En sciences expérimentales, c'est la cohérence (des prédictions) de la théorie avec l'expérience.

    Bien sûr, on peut construire des théories mathématiques parfaitement cohérentes et parfaitement sans intérêt. La plupart des théories mathématiques intéressantes ont des avatars vérifiables expérimentalement. Pour Vladimir Arnold, les mathématiques se meurent de s'éloigner de la (réalité) physique – on n'est pas obligé de le suivre : comme tu l'as souligné, il a souvent été commode pour les physiciens d'avoir à leur disposition des concepts désincarnés, ou pas encore incarnés, pour exprimer les nouvelles théories. Un exemple (peut-être) : la géométrie riemannienne pour la relativité.
  • Merci pour ces éclairages.
    De toute manière, la discussion est devenue beaucoup trop philosophique pour un forum de maths, et à moins de cibler un aspect technique, je pense que cela ne servira à rien de continuer à opposer des points de vue.
    Malgré tout, pour ce qui est de la physique statistique, domaine qui m'intéresse personnellement, les physiciens sont toujours embarrassés par les fondements de cette discipline , et les arguments de Boltzmann au sujet du théorème H, et de l'hypothèse ergodique, ne les convainquent guère. C'est d'ailleurs pour combler cette insatisfaction des physiciens eux-mêmes que d'importantes recherches purement mathématiques se ont développées autour de ces questions.
  • Je n'ai pas tout lu ce qui précède, alors je répète peut-être http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1749408,1749700#msg-1749700 . Voici un théorème qui se démontre par la physique.
    ....................................................................................................................................................................................
    Dans tout polyèdre convexe, il y a nécessairement au moins une face telle que le centre de gravité du polyèdre se projette, sur le plan de cette face, à l'intérieur de cette face.
    ....................................................................................................................................................................................
    Démonstration : sinon, posé sur un plan, le polyèdre ne cesserait de rouler, et ce serait le mouvement perpétuel, connu pour être impossible.
    Il me semble avoir vu ça autrefois dans un livre russe, mais lequel ? Va savoir...
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Bonjour Chaurien. Heureux de te revoir sur le forum.

    > connu pour être impossible.
    Moi, je ne sais pas que c'est impossible. Tu peux le démontrer (disons dans ZFC)?
  • Désolé d'avoir redit ce qui avait déjà été dit, mais je n'avais pas le courage de lire les développements philosophiques, alors que l'intérêt me semble plutôt de collecter des exemples, comme dans l'article de Delahaye.
    Maintenant non, je ne sais pas démontrer l'impossibilité du mouvement perpétuel. Il faut le demander à incognito, qui a cité cette propriété avant moi.
    Et ce serait bien de retrouver une référence pour cette propriété.
    Bonne journée de lendemain de fête.
    Fr. Ch.
  • Bonjour.

    l'impossibilité du mouvement perpétuel n'est pas une propriété mathématique, ni même prouvée en physique. C'est un "principe" de physique, une de ces idées qui est à la base de certaines parties de la physique (généralement plutôt traduite par la croissance de l'entropie). Donc elle sert à justifier des propriétés physiques. Par idéalisation d'une boite polyédrale convexe, on comprend que le centre de gravité se projette sur au moins une face, mais c'est de la compréhension : Une boite physique n'est pas un polyèdre mathématique.(*)

    Cette compréhension est très utile, elle peut même guider la rédaction d'une preuve, ce n'est pas une preuve mathématique.

    Cordialement.

    (*) On doit pouvoir d'ailleurs transformer cette explication en un raisonnement sur l'énergie potentielle, qui lui peut se géométriser.
  • ignatus a écrit:
    Si l'on prend l'exemple des matrices pour la mécanique quantique, ou la géométrie riemannienne pour la relativité générale, il est faux de dire que les interactions entre mathématiques et physique se font dans un seul sens.
    Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire: les échanges entre les deux disciplines se font dans les deux sens certes, cependant:
    ignatus a écrit:
    je me permets d'ouvrir un fil que j'aurais plutôt voulu intituler : La physique peut-elle démontrer des théorèmes mathématiques ?
    Le présent fil est a priori consacré à ce que peut apporter la physique aux maths et non l'inverse. Mon message s'inscrivait dans ce cadre.
  • Foys,
    j'ai eu l'occasion de parcourir certaines de vos interventions sur ce site : il me semble que vous pouvez mieux faire.
    Se contenter de dire que la physique ne démontre rien n'apporte rien au débat. C'est évidemment la doxa du mathématicien, et mon titre, volontairement provocateur, avait pour but de faire réfléchir sur cette "évidence". J'espérais, à partir d'un débat général, faire naître des questions plus précises sur lesquelles des mathématiciens puissent juger sur pièces. Que de telles problématiques puissent intéresser des logiciens aussi fameux que Leonid Levin, spécialistes de la question des démonstrations mathématiques, m'autorisent à penser qu'elles ne sont pas fumeuses.
    C'est en ce sens, qu'en vous répondant, j'ai voulu souligner que la physique ne pouvait être conçue uniquement comme un auxiliaire intuitif pour les mathématiques.

    Il me semble que la proposition de Chaurien est intéressante : donner des exemples de prétendues démonstrations par la physique et examiner ce qui ne va pas.
    ignatus.

    PS : Apparemment, Leonid Levin et Cristian Calude s'intéressent à la question de la physique pour évaluer l'impact des théorèmes d'incomplétude. Ce n'est pas exactement le raisonnement physique qui les occupe (à vérifier), mais dans quelle mesure un protocole physique pourrait atténuer les effets des théorèmes de Gödel, c'est-à-dire compléter une théorie mathématique, et donc avoir moins de propositions vraies indécidables.
  • Pour faire suite à l'intervention de Chaurien, le principe du mouvement perpétuel ne fait évidemment pas partie de l'axiomatique mathématique de la géométrie euclidienne, et donc le raisonnement proposé n'est pas une preuve mathématique bien sûr.
    Je ne connais pas l'origine exacte de cet exemple, il avait été soumis à de jeunes stagiaires agrégés de mathématiques (dont je faisais partie à l'époque...) lors d'un stage autour de la notion de preuve.
  • Bonsoir,

    je ne sais pas si mon raisonnement est valable, mais j'aurais tendance à voir l'impossibilité du mouvement perpétuel comme une conséquence du principe de conservation de l'énergie. L'énergie de l'univers étant finie et conservée, il ne peut pas y avoir une dépense d'énergie infinie...
    ignatus.
  • Ça, ça n'est justifié que si tout mouvement dissipe de l'énergie, c'est-à-dire s'il y a des frottements. Pas si clair pour un photon dans l'espace intersidéral.
  • Bonjour,

    @ignatus : même si l’énergie de l’Univers était finie et conservée, un mouvement perpétuel serait possible. Un pendule oscillant depuis une minute et perpétuellement n’a pas une énergie infinie, n’est-ce pas ?
    Si un système est isolé, son énergie est conservée et on peut trouver un mouvement perpétuel. C’est parce qu’un système n’est pas isolé qu’il échange de l’énergie et les pertes empêchent le mouvement perpétuel.
  • Oui YvesM, je crois avoir compris. Merci pour la rectification.
  • Bonsoir,

    il a été question plus haut de preuve formalisée. Je joins un article de vulgarisation qui date un peu :la vérité et la machine

    J'ai du mal à comprendre cette notion de preuve formalisée, et sans doute qu'il faudrait comprendre un minimum la structure des preuves vérifiées pour se faire une idée de quels types d'implications ont été formalisées.
    Dans quelle mesure les preuves par la physique ne pourraient pas être formalisées, si l'on assimile par exemple les principes de la physique à des propositions vraies non démontrables ?
    ignatus.
  • Sur les preuves formelles, il y a des textes plus abordables que celui-ci – qui a l'avantage d'être écrit par un expert. En voici par exemple trois par Jean-Paul Delahaye : ici (2000), ici (Interstices, 2012) ou ici (2017). Il y a aussi au moins quatre autres articles sur Images des mathématiques, celui-ci d'Aurélien Alvarez et trois qu'il cite en plus de celui de Benjamin Werner.
  • Le projet d'introduire des méthodes innovantes de preuve (physique ou autre) permettant de démontrer des résultats qui seraient hors de portée de la logique classique est tué dans l'oeuf par le théorème de complétude.

    Si $T$ est une théorie formelle quelconque sur un langage $L$ et $B$ un énoncé formel, il y a équivalence entre:
    1°) tous les modèles qui satisfont tous les éléments de $T$ satisfont également $B$
    2°) $B$ est prouvable dans $T$ (en logique classique, par exemple en déduction naturelle).

    Ce résultat fondamental dû à Gödel et connu depuis les années 30, s'appelle le théorème de complétude.

    Donnons un résumé informel de la preuve (lorsque $L$ est dénombrable ce qui est le cas de toutes les théories de la vraie vie): on se donne une famille dénombrable de lettres $(c_n)_{n\in \N}$ n'ayant aucune occurence libre dans $T$, puis on énumère toutes les formules possibles du langage (en ajoutant ces nouveaux symboles de constante: on met les formules sous forme de liste $(F_n)_{n \in \N}$), ensuite on pose $T_0:=T\cup \{\neg B\}$ et $T_{n+1} = $
    -$T_n \cup \{\neg F_n\}$ si $T_n \cup \{F_n\}$ est contradictoire
    -$T_n \cup \{F_n \}$ si $T_n \cup \{F_n\}$ n'est pas contradictoire et si $F_n$ n'est pas de la forme $\exists x G$
    -$T_n \cup \{G[x:=c_p]\}$ où $p$ est le plus petit entier tel que $c_p$ n'apparaisse pas dans $T_n \cup \{F_n\}$, lorsque $F_n $ est la formule $\exists x G$ et que $T_n \cup \{F_n\}$ n'est pas contradictoire.
    Soit $T_{\infty}$ la réunion des $T_n$.
    Si $T \cup \{\neg B\}$ est non contradictoire, par induction il en va de même de chaque $T_n$ pour tout entier $n$ (cf règle d'élimination du quantificateur existentiel pour le 3ième cas ci-dessus) et donc de $T_{\infty}$, de plus:
    pour tout énoncé $H$, l'un des deux $H, \neg H$ est prouvable à partir de $T_{\infty}$, et pour toute formule $K$ayant $x$ comme variable libre, $\exists x K$ est prouvable à partir de $T_{\infty}$ si et seulement si il existe un terme clos $\tau$ du langage tel que $K[x:=\tau]$ est prouvable dans $T$ (c'était le but de la troisième clause de la définition de $T_{n+1}$ ci-dessus).
    On construit un modèle à partir du langage et des $c_n$, en prenant simplement les termes clos du langage lui-même et en
    déclarant , si $\varphi$ est un symbole de relation à $d$ variables du langage et $\tau_1,...,\tau_d$ des termes, que $\varphi(\tau_1,...,\tau_d)$ est vraie si et seulement si elle est prouvable dans $T_{\infty}$. La vérité des formules non atomiques est définie par induction sur la taille des formules eninterprétant les symboles logiques dans leur sens intuitif ($H$ est vraie si $\neg H$ est fausse et vice-versa, $P\wedge Q$ est vraie ssi $P$ et $Q$ sont vraies et $\exists x R$ est vraie ssi $R[x:=\sigma]$ est vraie pour un terme $\sigma$ du langage).
    On vérifie (grâce aux considérations qui précèdent) que toutes les formules de $T_{\infty}$ sont vraies dans ce sens, ce qui inclut toutes les formules de $T$ mais aussi $\neg B$, en particulier $B$ est fausse dans ce modèle qui pourtant valide $T$ dans son ensemble.

    Ce résultat est montré dans n'importe quel cours de théorie des modèles et de nombreux bouquins de logique, comme (liste non exhaustive)
    https://www.amazon.fr/démonstrations-algorithmes-Introduction-logique-calculabilité/dp/2730215697
    https://www.amazon.fr/Logical-Labyrinths-Raymond-Smullyan/dp/1568814437


    L'usage de notions de théorie des ensembles peut susciter des critiques.
    En fait il y a eu des améliorations récentes et on sait que le théorème de complétude admet une preuve intuitionniste en logique du second ordre, dans un formalisme vraiment minimaliste: consulter par exemple cet article de J.-L. Krivine:

    https://www.irif.fr/~krivine/articles/completude.pdf

    Les programmes informatiques correspondant à ce théorème (dans la correspondance de Curry Howard) sont des désassembleurs interactifs de programmes.
    ignatus a écrit:
    Foys,
    j'ai eu l'occasion de parcourir certaines de vos interventions sur ce site : il me semble que vous pouvez mieux faire.
    Se contenter de dire que la physique ne démontre rien n'apporte rien au débat.
    Merci pour le bon point. Au contraire je pense qu'invoquer d'emblée une raison qui fait que in fine un projet quelconque n'aboutira pas apporte quelque chose au débat. La conversation respectueuse ne consiste pas à préserver l'idée que la théorie d'autrui est vraie. Dans une discussion portant sur comment les licornes permettront aux gens d'aller dans l'espace, l'individu qui attire l'attention des participants sur leur inexistence n'est pas un saboteur de débat à mon avis.
  • Bonjour Foys,

    merci pour votre réponse détaillée.
    Il me semble que cela revient un peu à ce que disait au départ Math Coss :
    Math Coss a écrit:
    Enfin, ce que je veux dire, c'est qu'il y a une différence de nature entre une preuve par la physique et une preuve mathématique : dans le deuxième cas, on pourrait si on le souhaitait préciser l'argument pour en arriver à une démonstration où les évidences sont de vraies évidences, une démonstration fondée exclusivement sur un nombre restreint de règles de déduction et d'axiomes, alors que dans le premier cas, il faut s'en remettre à un moment ou un autre à des « évidences » qui reposent sur la connaissance de la réalité, voire une expérience (au sens des physiciens).
    Les procédures formelles ne changeront pas ; ce qui peut être modifié, ce sont les axiomes. Dans quelle mesure pourrait-on accepter des principes physiques comme nouveaux axiomes, et user de concepts physiques qu'on pourrait formaliser à l'extrême pour démontrer "plus" de théorèmes, c'est-à-dire pour simplifier des preuves, et pour démontrer des théorèmes plus difficiles, ou bien rendre des propositions indécidables démontrables?
    Grâce aux références que Math Coss a généreusement ajoutées à son propos, notamment celui-là théorème de Fermat qui montre que le grand théorème de Fermat utilise la notion d'univers de Grothendieck qui nécessite des théories beaucoup plus fortes que ZFC, on voit que cette question d'axiomes est essentielle,même pour des mathématiques "traditionnelles". Toute la question est de savoir si le théorème de Fermat est démontrable dans ZFC, ou même l'arithmétique de Péano.
    Est-ce-qu'il y a un moyen d'évaluer des axiomes issus de la physique avec des axiomes de grands cardinaux par exemple ?
    D'après cet article, incomplétude et physique, le recours a la physique ne servirait à rien et irait dans votre sens. Mais la question ne semble pas totalement tranchée.
    ignatus.
  • Bonsoir,
    - « Vous semblez concevoir les mathématiques comme un instrument pour extraire du réel ou de la complexité m’échappe forme, des concepts ».

    Ignatus, en voyage, je n’ai pas pu répondre et j’ai aussi du mal à suivre des commentaires dont la logique emploie des signes ou des mots qui me sont inconnus.
    Si la physique a pour référent les mathématiques, cette mathématique (qui est bien plus qu’un outil et qui n’est pas tout non plus) pourrait prendre dimensions sur les deux caractéristiques du vide à l’instar de deux canaux, pourrait donc prendre corps sur l’espace-temps avec ses limites (unités de Planck).
    Or l’observateur, lié à l’espace-temps, est bien la seule interface qui convertit l’information et appréhende la géométrie. Question : l’espace-temps, les paradoxes, seraient-ils liés à l’observateur ?

    Voilà qui fait déjà beaucoup de limites pour remonter la chaîne des signifiants jusqu’à la cause, la naissance des choses, si nous sommes un problème à résoudre puisqu’il sera de toute façon le plus souvent impossible de démontrer une physique qui n’est pour nous que fort partiellement commutative, évidemment.
    Et pourquoi donc le serait-elle même partiellement. Parce que sa forme harmonieuse nous est adressée comme une intention de dialogue ? Ou parce que nous sommes faits du même moule dans un même miroir depuis électron et positron, émetteur et récepteur forcément synchronisé par-delà un référentiel autorisé ?
  • @Robusta :

    Mes préoccupations de drosophile ne m'ont pas permis de répondre plus tôt. Je cite le passage auquel tu fais référence :
    ignatus a écrit:
    @Robusta :
    Vous dites :
    "Tout cela sans doute parce que la physique est une structure mathématique qui a pris forme et que la forme ne dit pas tout du concept qu'elle contient."

    Votre phrase est vraiment très jolie et profonde, et je ne suis pas sûr de l'avoir comprise. A priori, vous semblez concevoir les mathématiques comme un instrument pour extraire du réel ou de la forme, des concepts. La physique, même sous forme mathématique, et donc idéalisée, n'est pas assez formalisée pour que puisse émerger les idées importantes pour la production ( démonstration ?) mathématique.
    Je ne sais pas si j'ai compris votre pensée, mai cela me permet effectivement de préciser que lorsque l'on parle de physique, à quoi se réfère-t-on ? A des lois bien établies mathématiquement et expérimentalement, ou à la physique en train de se faire, parfois hautement spéculative, et où la différence entre physiciens et mathématiciens n'existe pratiquement plus (cf Witten par exemple) ? Pour ma part, et c'est le point où je voulais en venir, lorsque je parle de physique, je fais référence à des théories qui marchent, qui permettent de prédire des tas de phénomènes, qui ont contribué à l'essor des technologies, et sur lesquelles on s'appuie pour évaluer rationnellement une situation.
    La relativité générale a été longtemps perçue comme une théorie ésotérique, particulièrement spéculative. Sauf qu'elle marche ! Elle a permis de construire le système GPS qui est devenu incontournable dans notre mode de vie. Quand on dit que la preuve du pudding, c'est qu'on peut le manger, on veut surtout dire, que la preuve de ma théorie, c'est qu'elle marche ! On doit dès lors distinguer le problème de la démonstration mathématique et celui de la vérité. Les mathématiques nous donnent accès à la vérité, mais une théorie physique qui marche si bien qu'on l'utilise tous les jours, ne donne-t-elle pas accès à la vérité également ? Doit-on dire qu'il existe une vérité proprement mathématique ? Ou doit-on distinguer entre efficacité et vérité ? Le problème posé par la déraisonnable efficacité des mathématiques ne plaide pas pour une distinction entre plusieurs types de vérité.

    Non content de ne pas répondre à mon commentaire, j'ai pris le début de ta réponse comme une façon de disqualifier ce que j' avais écrit. Je n'ai donc pas envie de faire l'effort de lire le reste, je perds déjà assez de temps à écrire ce message.
    Je te mets en garde cependant sur un point. Il est évident que tu as un égo surdimensionné. Or, ma conviction, est qu'on ne peut réellement réussir en mathématiques ou en physique qu'en étant modeste. La difficulté de ces matières rend humble. Si tu es si orgueilleux, il y a fort à parier que tu n'as rien fait d'intéressant jusqu'à présent dans ces matières. Si tu ne veux pas passer le reste de ta vie à t'énorgueillir d'avoir intégré telle grande école tout en ne produisant rien de significatif, je t'invite à retrousser tes manches et à te mettre au travail. De même que le riche et le pauvre sont sur un même pied d'égalité face à la mort, l'homme ordinaire et le spécialiste le sont aussi face à la difficulté des mathématiques. Le spécialiste pourra toujours se voiler la face en se rassurant sur le fait qu'il en sait toujours plus que l'homme ordinaire, il n'en reste pas moins qu'il y a certainement plus de différence entre ce qu'il reste à découvrir et ce qu'il peut comprendre, qu'entre lui et l'homme ordinaire. Et ça, le spécialiste qui aime vraiment les maths le sait.
    ignatus.
  • @Ignatus, il s'agit là forcément d'un énorme malentendu. Je n'ai à aucun moment disqualifié votre commentaire.
  • Bonsoir,

    je tente de relancer un peu ce fil.
    Je résume où en était la situation : si l'on veut admettre des principes physiques ou des raisonnements faisant intervenir des concepts physiques dans un processus de démonstration, la seule manière de le faire est de rajouter ces principes comme axiomes à divers systèmes formels. Des tentatives ont été faites dans ce sens. Certainement pour évaluer l'importance pratique des ordinateurs quantiques, des processus aléatoires ont été rajoutés comme axiomes. Ces derniers ne permettent pas d'éviter l'incomplétude. Cependant, l'aléatoire est fortement liée à la complexité, et des résultats de 2014 montrent qu'un indécidable complexe bien choisi, comme axiome, permet d'améliorer la force démonstrative d'une théorie. On n"évite pas l'indécidable, mais on rend décidables de nombreuses questions. Voici le lien vulgarisé et l'article spécialisé ( que je n'ai pas lu ) dont il parle. J'ai repéré chez JPD au moins deux autres articles reliés à cette question que je lirai plus tard.
    J'attends l'avis des spécialistes.

    ignatus.
  • Bonjour

    Le cerveau économise naturellement son énergie du mieux qu'il peut, comment faire confiance à ses intuitions alors que celles-ci cachent surtout sa faculté à faire des économies d'étapes de raisonnement ?

    Ce qui tombe sous l'évidence tombe sous l'évidence du cerveau mais ça arrange bien ses affaires de constater qu'une plume tombe moins vite qu'un kilo de plomb et d'en déduire des tas de trucs complètement faux

    Plus quelque chose est évident pour lui plus on peut être certain qu'il y a une entourloupe quelque part
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