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agreg Analyse 2005

Le voilà, tout beau tout chaud!
Schuss

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«1

Réponses

  • Merci à ceux qui mettent les sujets en ligne.

    Alors ça s'est passé comment ?

    J'ai l'impression que cette année ils ont fait des sujets qui touchent à beaucoup de choses en même temps.

    H.
  • Bon, eh bien je vois que Schuss m'a précédé de quelques minutes.

    Je n'aurai qu'un commentaire à faire: le concepteur a bien choisi son titre: c'était effectivement tordu...

    J'ai quand même l'impression qu'avec un peu de travail, on pouvait s'en sortir (je veux dire, se sortir des flopées d'indices que le blaireau que je suis s'est traîné tout au long de l'épreuve). Ca me semble quand même bien long, contrairement au sujet 2004.
  • Réjouis-toi Ulrich, c'est peut-être que tu en a fait plus.

    Bruno
  • trop d'indices à manipuler. La partie I est "normale", la partie II est très compliquée avec toutes ces notions d'approximations..etc. Bon l'épreuve de 2004 était plus jolie, c'est dommage!!
  • Quelqu'un a-t-il une rédaction propre pour le II A 1 c ?
    J'ai tourné pendant des plombes, pour obtenir un résutat lourd et moche.

    Volny
  • Cependant l'idée du sujet me semble venir tout droit du traitement numérique d'image. Ca m'a rapellé plein de choses que j'avais oubliées depuis 1989, lorsque je pensais encore m'inscrire en thèse après mon DEA.

    Hélas je me suis souvenu de l'existence des notions en questions mais pas de leurs démonstrations, zutalor.

    Pour vous dire je ne me souvenais même plus de l'inégalité de Schwartz, pour les premières questions ;-)

    Volny
  • Très joli sujet ! Honnêtement j'ai bien aimé celui d'hier et celui-là est encore plus joli. La définition de la somme d'une famille sommable avec prolongement par densité c'est excellent je trouve.

    Pour Volny : effectivement il y a une feinte là-dessous, à vrai dire je ne suis même pas sûr que mon raisonnement pour la II A 1 b soit bon ; tu fais comment ?

    Moi c'est la II A 2 b où je ne vois pas trop l'idée... Je conjecture $1/ \alpha$ mais au pif.
  • <!--latex-->Salut à tous !
    <BR>J'ai trouvé le sujet bien plus difficile qu'hier !
    <BR>
    <BR>Pour la II A 1 c on applique la question précédente à l'ensemble des kt pour k variant de 0 à n, ce qui nous donne d((i - j)t) = d((j - i)t) < 1/(n+1) avec 0 < j - i < n
    <BR>
    <BR>Pour la II A 2 b je trouve <!-- MATH $q^{-\alpha}$ --><IMG WIDTH="31" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/03/31/54831/cv/img1.png&quot; ALT="$ q^{-\alpha}$"> . Tu fait la somme de q intervalles centrée sur k/q et de longueur <!-- MATH $q^{-\alpha -1}$ --><IMG WIDTH="47" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/03/31/54831/cv/img2.png&quot; ALT="$ q^{-\alpha -1}$">, en distinguant le premier et le dernier.
    <BR>
    <BR>Sinon je me suis arrété au II b 3. Quelqu'un a une idée pour calculer ces adhérences ?
    <BR>
    <BR>a+
    <BR>
    <BR>Joss<BR>
  • J'ai trouvé le sujet tres joli contrairement à hier, mais aussi tres dur.
    Dans la premiere partie, j'ai compris au bout de 3h qu'il fallait utiliser la densité de A dans A1 et A2, apres coup c'est beaucoup mieux passe. Sinon, il y a beaucoup de questions ou je me suis arreté au milieu.....

    Niko
  • En réponse à Niko:
    Mouais... Moi, j'ai l'impression d'avoir compris tout de suite cette histoire de densité, mais ça n'est jamais passé...
    "Sinon, il y a beaucoup de questions ou je me suis arreté au milieu.....": itou!

    En fait, je n'ai touché qu'à la partie I, le reste m'a donné un mal de crâne terrible (en surcroît de celui provoqué par le sujet d'hier).

    J'ai quand même l'impression qu'il y a, sinon des erreurs, du moins des imprécisions dans le sujet:
    III.A.2. : Rigoureusement, on devrait préciser B dans A1, ce que je ne vois pas.
    III.C.1.(a) : c'est bien beau de nous parler de morphisme d'algèbres, mais elle est où la structure d'algèbre sur A1?

    Voili voilou
  • Ahhh..y'a pas à dire, c'est quand même mieux l'analyse( on se refait pas)...
    Par contre un truc m'a chiffonné : Comment montre t'on que l'application linéaire Psi (question B2-a) est continue ?
  • "III.A.2. : Rigoureusement, on devrait préciser B dans A1, ce que je ne vois pas."

    tu parles du produit scalaire? si oui, on te donne la norme et on nous que c'est un Hilbert donc ce produit scalaire est bien définit (par une formule de polarisation par exemple)

    Sinon j'ai trouvé le sujet assez sympa et il y avait quelques question cadeaux (exemple II A.1)
  • Bonjour,

    pour Ulrich, la structure d'algèbre sur A1 est donnée par le produit de convolution. C'est l'objet de la partie I-A.

    En revanche, j'aurais aimé savoir comment répondre I-B-3-a sans démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz de la question suivante.
  • Pour I-B2a ca m'a bluffé car on sait
    que la serie des coeff de Fourier va etre ds l2(Z) mais ds l1 ??
    ca marche vec 1 calcul classique d'int. par partie si f C2 , mais
    avec C1 ???
    Du coup moi j'ai montré la continuité de B vers A2 !!! -)

    Bon attendons la correction ds le rapport du jury en mars 2006!!

    Bon courage à tous pour la suite

    Bruno
  • Pour la question sur la sommabilité des coef de fourier, je me suis demandé si le lemme de Riemann-Lebesgue n'en dit pas un peu que la limite tend vers 0 .....
  • Pour YB: "la structure d'algèbre sur A1 est donnée par le produit de convolution": je m'en vais me taper la tête contre le mur...
    "En revanche, j'aurais aimé savoir comment répondre I-B-3-a sans démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz de la question suivante." idem!

    Pour steph: il fallait lire b et non B. Ce que je veux dire, c'est que Pi est définie sur A1, donc pour donner un sens au Pi(b) qui apparaît dans l'égalité à établir, il faut bien supposer que b est dans A1. Mais l'énoncé ne le dit pas. C'est tout, et c'est sans doute du pinaillage de bas étage.
  • En fait j'ai noté ds mon cours que la suite des coeff de fourier est ds l1(Z),
    mais je n'ai pas de ref. et l'enoncé exact...

    bonsoir.
  • J'ai regarde le sujet, je trouve ca hyper dur, surtout par rapport a l'epreuve
    d'hier qui etait plutot elementaire. La seule question qui me semble faisable est B1a, le reste c'est trop complique pour moi. Je suis etonne par vos reactions mais bon tant mieux. Bonne chance pour l'oral.

    Mauricio.
  • Damned, y'a pas à dire l'analyse c'est plus facile que l'algèbre (non en fait c'est plus beau :p)
  • Pour Alban,
    Psi linéaire + continue en 0 => Psi continue.
    Or, tu majores assez facilement Norme1(Psi(f)) par NormeSup(f) sur R, elle-même majorée par NormeN(f), ce qui montre que Psi est continue en le O de B.

    A+
  • Salut les jeunes,

    j'ai entendu parler de coefficients de fourier!! Pourtant je ne vois pas de structure euclidienne avec la norme considéree ( Quest IB2a ).
    Par contre pour résoudre IB2a, on peut utiliser la question précédente.

    Je voudrais savoir si quelqu'un à trouvé la question II A1b. j'ai utilisé une ruse, je voudrais savoir si je me suis pas trompé
    A+*-/
  • Pour Pitou

    L'idée est celle qui justifie le vernier (c'est le battement des acousticiens) on a un "signal" de période 1 (les entiers) et un signal de période epsilon avec epsilon compris entre 0 et 1 (c'est la partie fractionnnaire de t)

    On sait que sur n périodes du premier signal, le second va répartir ses "zéros" de façon régulières.

    A partir de cette idée, on peut caractériser les positions successies de epsilon, 2epsilon, 3epsilon, etc, en fonction de l'ordre de la "case" où il se trouve. (Il fera K tours en N étapes, et le K dépend de l'ordre d'un élément du groupe $\Z/(n+1)\Z$)

    Ca commence déjà à devenir lourd et touffu, et ça ne fait que commencer, puisque il reste à regarder comment se comporte epsilon sur ces intervalles de taille 1/(n+1).

    Et pendant tout le temps où je travaillais sur ça, je me disais bon sang il est EVIDENT qu'il faut utiliser 1a et 1b pour le 1c, mais je ne voyais pas comment aller au delà de (n-p)t proche de 1/(n+1).

    Ca ne fait rien c'était quand même un très joli sujet.
  • Moi j'ai trouvé le sujet assez complexe et assez pénible (surtout au niveau des notations). Par ailleurs j'ai bien galéré avec la question II.B.2.a qui pourtant ne me semblait pas trop complexe ! J'ai utilisé une méthode pénible et en plus je suis pas certain qu'elle soit bonne (je suis passé un peu vite sur la dernière étape).
  • Je me demande si on a tous eu le même sujet. Dans le mien, il n'y avait pas de question II.B.2.a. C'est quand même bizarre...
  • Oups !
    Erreur de ma part : II.A.2.a ... Désolé !
  • pour II A 1 b, j'ai posé $s_i=t_i-E(t_i)$ ou E est la partie entière
  • Bonjour,
    quelqu'un peut-il m'envoyer un scan des sujets de l'externe afin que je les mette sur le site? Je n'arrive pas à produire un pdf de qualité satisfaisante avec les images de Schuss. J'accepte tout les formats ( jpeg, gif, ps, pdf....).
  • pour II A 1 b

    et après tu as considéré le minimum de d(ti-tj) ??
  • pour steph,
    "pour II A 1 b, j'ai posé $s_i=t_i-E(t_i)$ ou E est la partie entière"
    j'ai eu la même idée qu semble logique mais je n'ai pas réussi à conclure sachant qu'on a alors n+1 point et non n+2 comme dans le a/.....
    alors je veux bien savoir comment tu as fait....

    gilou
  • pour II A 1 b, j'ai posé $s_i=t_i-E(t_i)$ ou $E$ est la partie entière
  • moi je poserais plutot $s_i= t_0+t_i-E(t_o+t_i) pour i=1...n et s_0=t0-E(t_0)$ non?
  • salut

    j'ai définit ~ti = ti - E(ti) i=0..n
    puis il existe k et l tel que delta (~tk - ~tl ) = min delta ( ~ti - ~tj) (i,j variant de 0 à n, i différent de j)
    puis ~t(n+1) = ~tk
    maintenant on a n+2 points et on utilise la question précédente.
    je crois que ca marche.
  • peut être, cela t'évite de faire la différence mais tu n'a toujours que n+1 points..... idée à creuser
    il fallait peut être aussi considérer toute les différences des t_i et t_j avec i<j et on a alors n(n+1)/2 points dans [0,1/2] me semble t'il (dénombrement à vérifier)....
  • moi je poserais plutot $s_i= t_0+t_i-E(t_0+t_i)$ pour $i=1...n$ et $s_0=t_0-E(t_0)$ non ?
  • La dernière page. Alain2272
  • Bonjour à tous,

    Pour ma part j'ai préféré le sujet d'hier à celui d'analayse aujourd'hui...

    Pour YB > « En revanche, j'aurais aimé savoir comment répondre I-B-3-a sans démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz de la question suivante. »
    Comme il n'y a pas de question I-B-3-a, je suppose que tu parles de I-A-3-a. Pour ma part j'ai déduit de $(\vert a_{p,q}\vert -\vert b_{m-p,n-q}\vert )^2\geq 0$ que $\vert a_{p,q}b_{m-p,n-q}\vert \leq \frac{1}{2}( \vert a_{p,q}\vert ^2+\vert b_{m-p,n-q}\vert ^2)$ puis j'ai raisonné à l'aide de parties finies $J$ de $\Z^2$.

    Cordialement,
    J.-M. B.
  • Moi j'ai trouvé ça beaucoup trop long!! Et aussi moins intéressant qu'hier. Les notations étaient pénibles et on ne voyait jamais le bout des démonstrations.

    Un truc qui aurait pu être intéressant était que la convolution était tordue mais finalement je n'ai pas vu trop l'intérêt apparaître.

    J'ai la même question que Bruno concernant la sommabilité des coefficients de Fourier : pour la question I.B.1.b) j'ai eu l'impression qu'il fallait au moins f de classe C^1 et C^2 par morceaux... je n'ai pas vu l'astuce.

    François.
  • Pour Emmanuel : "Or, tu majores assez facilement Norme1(Psi(f)) par NormeSup(f) sur R".
    Ah bon ? C'est quoi cette majoration?
    Chaque coefficicient de Psi(f) est majoré par N(f), ça oui, mais après ??

    AHH; ca yest je viens de percuter..il fallait (enfin je pense) utiliser la densité de B, et montrer la continuité sur B, puis prolonger...:(
    Tout comme pour montrer la question d'avant, on pouvait travailler avec f C2 puis approcher f C1 par g C2 (dans B)...

    C'est fou comme la nuit porte conseil...on devrait avoir le droit de faire les épreuves en plusieurs fois..!
  • ba moi j'ai trouvé ça super élémentaire...

    un MP* moyen aurait pu en venir à bout....

    que du calcul basique ou de l'intégration avec mesure du cardinal... bref du vu et revu...

    je suis juste un peu deçu de n'avoir eut le tps d'encadrer la réponse de la partie IV... il m'a manqué quelque minutes.

    que de trivialités finalement... pour de l'analyse c'était incroyablement simple... presque comme de l'algèbre.

    j'espère que tout le monde bénéficiera de chance et réussite contrairement à moi qui devrait hélas passé à coté de tout ça.. =D Bluff master


    t-mouss
  • A propos de trivialités de MP*, je rappelle que la série de Fourier d'une fonction continue et C1 par morceaux converge normalement, ce qui règle le problème de montrer que Psi(f) est un élément de A1 (question IB2a)
  • Bonjour

    Pour MB pour II.A.2.a ... cad $\R \subset Y_1$

    $\Z \subset Y_1$ facile a voir

    Sinon on applique A1c a $t \in \R-\Z$ et $n$ entier et on a

    $\forall n \in \N $ $ \exists q_n $ tel que $ 1\leq q_n \leq n $ et
    $\delta ( q_nt)\leq \frac {1}{n+1}
  • " Psi(f) est un élément de A1 (question IB2a)" heu ça oui je pense qu'on est d'accord sur le fait que c'était trivial.
  • Pour Alban, je viens de repenser à la majoration que j'ai faite pour la continuité de Psi: je me suis planté comme un débutant (sortie de NormeSupf(f) aux forceps du module de l'intégrale. Pas beau du tout. Je pleure)
  • Said, il y a une erreur dans ton raisonnement, car rien ne nous assure que d(qt) ne soit pas nul. C'est pourquoi il faut séparer les cas, t rationnel et t non rationnel, et non, t entier ou pas.

    Ton exemple est faux car si t est rationnel, il existe q tel que d(qt)=0, et donc tous tes qn peuvent etre egaux à q.
  • oui Pollux tu as raison , il faut distinguer
    $t \ìn \Q$ et $t\in \R-\Q$ ,

    Merci

    Said
  • oui Pollux tu as raison , il faut distinguer $t \in \Q$ et $t\in \R \setminus \Q$,

    Merci

    Said
  • Pour Alban (Q I.B.2.a): pour montrer la continuité de $\psi$, tu peux utiliser la relation classique entre coef. de Fourier de $f$ et de $f'$, qui s'écrit ici $|\psi(f)_{m,0}| = \frac{1}{2\pi m}|\psi(f')_{m,0}|$. Un petit coup de Cauchy-Schwarz permet de majorer par $|\psi(f)_{0,0}| + C\|f'\|_2 \leq (1+C)N(f)$.

    VK
  • OK c'est à peu près ce que j'ai fait. J'ai en effet isolé le cas ou t est rationnel qui est évident à traiter. Par contre, la où je suis resté un peu évasif c'est sur la manière d'obtenir clairement la contradiction en supposant que l'ensemble des q soit fini.
  • (c'est bien sûr $\|\psi(f)\|_1$ que je majore...).
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