Similitude directe

Bonjour Pappus
Es-tu certain de ton énoncé?
Le cercle de similitude passant par $A$ et $B$ a des points de part et d'autre de la droite $AB$. Je pense que, suivant la position du centre de similitude $\Omega $ par rapport à la droite $AB$, l'enveloppe de $Ms\left( M\right) $ sera une ellipse ou une hyperbole (de centre la projection de $\Omega $ sur la droite $OO^{\prime }$). Bien entendu, si $\Omega $ est un des points $A$ ou $B$, la droite $Ms\left( M\right) $ passe par l'autre; il y a $2$ autres cas évidents d'exception, ceux où $s$ est une homothétie.
Amicalement. Poulbot

Bonsoir,

En bleu l'enveloppe des ellipses, en vert l'enveloppe des hyperboles, en orange le lieu des foyers.

Cordialement, Pierre.

Re-bonjour Pappus
"Je suis à peu près sûr qu'elle doit figurer quelque part dans les exercices du Lebossé-Hémery que je n'ai pas sous la main puisque, comme je l'ai dit, je suis loin de mes bases pour une période indéterminée!"
Effectivement, je viens de la trouver dans le mien (Programme $1962$); c'est le $1^{\circ }$ de l'exercice $558$.
Amicalement. Poulbot

Re-bonjour Pappus
Il est dans le chapitre Similitude plane directe.
"Maintenant qu'on sait où l'on va, il devrait être facile (??, j'en doute beaucoup!) de faire la démonstration"
Je serais moins dubitatif : avec les notations de ta figure, $m$ est l'image de $M$ par la similitude directe de centre $\Omega $ qui transforme $O$ en $\omega $.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus
"Je suis curieux de connaître celle du Lebossé-Hémery"
L'exercice est donné sans solution.
Par contre, ils donnent dans le cours le résultat suivant : le centre de la similitude directe transformant $A$ en $A^{\prime }$ et $B$ en $B^{\prime }$ est aussi le centre de la similitude directe transformant $A$ en $B$ et $A^{\prime }$ en $B^{\prime }$ (une variante de $\dfrac{a^{\prime }}{a}=\dfrac{b^{\prime }}{b}\Longrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{b^{\prime }}{a^{\prime }}$).
Du coup, on peut procéder un peu comme toi sans le dire : $\Omega $ est le centre de la similitude directe $O\longrightarrow M,s\left( O\right) \longrightarrow s\left( M\right) $; ainsi, les triangles $\Omega Os\left( O\right) $ et $\Omega Ms\left( M\right) $ sont directement semblables et, $\Omega $ étant le centre de la similitude directe $O\longrightarrow M,\omega \longrightarrow m$ est aussi celui de la similitude directe $O\longrightarrow \omega ,M\longrightarrow m$.
J'ignore si c'est ce qu'ils voulaient.
Amicalement. Poulbot

Bonjour
Etant donnés deux cercles $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ de centres $O$ et $O^{\prime }$ et de rayons $R$ et $R^{\prime }$, les similitudes directes transformant $\Gamma $ en $\Gamma ^{\prime }$ sont celles de rapport $\dfrac{R^{\prime }}{R}$ transformant $O$ en $O^{\prime }$. Le lieu de leurs centres est le "cercle de similitude" $C_{S}$, lieu des points $\Omega $ pour lesquels $\dfrac{\Omega O^{\prime }}{\Omega O}=\dfrac{R^{\prime }}{R}$. Son diamètre porté par la droite $OO^{\prime }$ a pour extrémités les centres d'homothétie des $2$ cercles.

En laissant de côté les cas particuliers, si $\Omega \in C_{S}$ et si $s$ est la similitude directe de centre $\Omega $ transformant $O$ en $O^{\prime }$, on a $s\left( \Gamma \right) =\Gamma ^{\prime }$ et l'étude précédente montre que l'enveloppe de la droite $Ms\left( M\right) $ quand $M$ décrit $\Gamma $ est (en général) une conique $\gamma _{s}$ de foyer $\Omega $, de centre la projection $\omega $ de $\Omega $ sur la droite $OO^{\prime }$ et de cercle principal l'image de $\Gamma $ par la similitude directe de centre $\Omega $ qui transforme $O$ en $\omega $.

Cette conique a pour excentricité $e=\dfrac{\Omega O}{R}=\dfrac{\Omega O^{\prime }}{R^{\prime }}$ et est donc une ellipse si $\Omega $ est intérieur aux $2$ cercles et une hyperbole si $\Omega $ est extérieur aux $2$ cercles (il est clair que $\Omega $ a même position relative par rapport aux $2$ cercles)

$\gamma _{s}$ est bitangente à chacun des $2$ cercles $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ mais les contacts ne sont pas toujours réels.
Plus précisément la corde de contact de $\Gamma $ (resp. $\Gamma ^{\prime }$) et $\gamma _{s}$ est la perpendiculaire à $OO^{\prime }$ passant par l'inverse de $\Omega $ par rapport à $\Gamma $ (resp. $\Gamma ^{\prime }$).

Les cas particuliers sont ceux où $\Omega $ est un centre d'homothétie des $2$ cercles (auquel cas la droite $Ms\left( M\right) $ passe évidemment par ce point) et où $\Omega $ est un point commun aux $2$ cercles (auquel cas la droite $Ms\left( M\right) $ passe par l'autre).
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus
Je n'ai pas trouvé de tangentes communes à toutes les coniques $H_{s}$.
Amicalement. Poulbot

Etude en vert et bleu.

On voit bien quelle est la réunion des courbes algébriques servant de support à l'enveloppe. Pour ce qui est des points ayant un contact visible avec l'une des coniques, cela est moins simple. Cordialement.

Re-bonjour Pappus
L'enveloppe des $H_{s}$ se limite aux $2$ cercles. Voir sur la figure ce qu'il en est des tangentes communes aux $2$ cercles.
J'ajoute que toute conique d'axe non focal la droite $OO^{\prime }$ et bitangente à chacun des cercles $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ (avec contact réel ou non) est une des coniques $H_{s}$.
Amicalement. Poulbot

Mon cher pappus.
Ce que l'on voit sur le dessin, c'est que les tangentes communes font partie de la frontière de la "zone d'encombrement" des hyperboles. Cela est naturel puisque les hyperboles ne traversent pas leurs asympotes (hors dégénérescence) et que ces asymptotes sont contraintes par les tangentes communes.

En fait, deux hyperboles se coupent en quatre points et pas plus. Le fait que chaque hyperbole est quatre fois tangente à la réunion des deux cercles fournit les quatre points communs entre l'hyperbole de paramètre $\nu$ et l'hyperbole de paramètre $\nu + d\nu$. Il n'y a plus d'autres possibilités.

Par contre, la procédure "eliminate" fournit un objet de degré 8, qui factorise en quatre objets de degré deux: les deux cercles et les deux produits de tangentes communes. Je regarde les détails, et je poste.

Cordialement, Pierre.

Bonsoir
Si j'ai bien compris, plus le centre de similitude $\Omega $ est proche d'un centre d'homothétie $H$, plus $H_{s}$ a tendance à se confondre sur le tracé avec la réunion des $2$ tangentes communes issues de $H$.
D'autre part, il n'est pas impossible que le fait que $2$ des $H_{s}$ soient des enveloppes réduites à un point perturbe un peu la procédure éliminatrice et lui fasse ajouter à l'enveloppe des $H_{s}$ deux paires de droites passant par ces points.
Il suffit de vérifier que ces droites n'ont rien à faire dans l'enveloppe; d'ailleurs, je pense que sinon les foyers des $H_{s}$ seraient sur le cercle de diamètre $\left[ OO^{\prime }\right] $ plutôt que sur le cercle de similitude.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus
"Mais qu'en est-il de la similitude indirecte $s_{\Omega }^{-}$? "
C'est bien plus compliqué. Bien sur on a $s_{\Omega }^{-}=s_{\Omega }^{+}\sigma $ où $\sigma $ est le symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Omega O$ mais l'enveloppe de la droite $Ms_{\Omega }^{-}\left( M\right) $ est maintenant une sextique.

En oubliant la translation, dans le cas d'une rotation $s$ (cas où $R=R^{\prime }$), les résultats sont identiques à ceux de la similitude directe, mis à part le fait que $\Omega $ étant sur la médiatrice de $\left[ OO^{\prime }\right] $, les coniques $H_{s}$ sont toutes centrées au milieu de $\left[ OO^{\prime }\right] $.

Amicalement. Poulbot

@Chaurien : en fait, tu peux corriger le titre toi-même. Et il est possible que la suite du fil garde le titre corrigé...

[En fait, seul le titre du message initial est affiché dans la liste des messages non lus. AD]

@AD : c'est vrai, mais j'ai l'impression que pas mal de monde utilise la vue par liste de nouveaux messages non lus et non pas par liste des discussions modifiées (qui était plus pratique dans le temps, avec l'affichage du nombre de vues et le lien sur le dernier message publié). On voit donc en premier le dernier titre, éventuellement corrigé par un des intervenants. Maintenant, si quelqu'un répond ensuite à un message antérieur du fil en faisant « citer », c'est le titre non corrigé qui revient, donc il n'y a pas de miracle.

Bonsoir,

pappus a écrit:

On peut imaginer que c'était dans celui consacré aux similitudes mais il est possible qu'il l'était dans un des chapitres sur les coniques si les questions suivantes portaient sur des problèmes d'enveloppe!

Dans l' édition relative aux programmes de 1945, l' exercice figure dans le chapitre consacré aux hyperboles. Il s' agit du n° 612 page 322

Et les questions suivantes portent bien sur des problèmes d' enveloppe...