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Composition non entière et régulière.

Bonjour,

Soient $a,b \in \R_+^*$.
Déterminer une fonction $C^\infty$ de $\R^2$ dans $\R$ tel que :

$\forall x,q,r \in \R, f(1,x)=ax+b \text{ et } f(q,f(r,x))=f(q+r,x)$

Bonne journée.

Réponses

  • Si $a\neq 1$ : $$(q,r)\longmapsto a^qx+ \frac{a^q-1}{a-1}\,b\;.$$
    Si $a=1$, on peut passer à la limite dans la formule ci-dessus ...
  • Bravo.

    Ce qui est étrange c'est qu'il n'y a pas une seule façon de le faire, mais celle là me semble la plus économique en symbôle.

    Bonne journée.
  • Sinon avec la solution de GaBuZoMeu on ne comprend pas, d'où elle vient.

    en fait on se sert du point fixe pour construire la solution : $$f(x,y)=a^x(y-x_0)+x_0$$ avec $x_0=ax_0+b$
  • Il manque une condition à imposer à $f$ pour que la solution "canonique" proposée par GaBuZoMeu soit la seule.

    Quelqu'un voit il une telle condition, peut-être imposer que la fonction soit DSE ?

    Merci.
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