Existe ou n'existe pas ? — Les-maths.net

Existe ou n'existe pas ?

Bonjour,

On se place dans $\R^2$ euclidien, $B(a,r)$ la boule fermée, $B^o(a,r)$ est la boule ouverte.

Existe-t-il, $f \text{ : } B(0,1) \rightarrow (B(0,2)\setminus B^o(0,1))$ fonction continue et surjective ?

Bonne journée.

Réponses

  • Oui : prend ta boule fermée, envoie la sur le rectangle $[0;1]\times[0;2\pi]$ puis "enroule" ce rectangles dans ta couronne. Il faut un peu compresser le rectangle pour ça mais toutes les opérations ici sont continues.
  • Oui, bien sûr. On étire le rond de pâte dans une direction, et on en fait un anneau.
  • Même question

    2/en supposant $f$ injective.

    3/Puis en supposant $f$ bijective.
  • pourexemple a écrit:
    Même question

    2/en supposant $f$ injective.

    Tu n'as pas vraiment réfléchi à la question pour $f$ injective non ?

    Pour $f$ bijective c'est non, l'un est simplement connexe et l'autre non.
  • pour le 2/ Si, si j'ai une réponse (en changeant légerement la réponse que tu proposes)

    pour le 3/ si tu as une réponse en utilisant le programme de L3 max je suis preneur.
  • Je viens de te la donner la réponse pour la 3... Bon pour être exact il faut aussi utiliser le fait qu'une bijection continue entre deux compacts est un homéomorphisme.
  • @mojojojo : ce qui ne dépasse pas le cadre du programme de L3.
  • Oui oui je sais mais l'argument d'homéomorphisme manquait dans mon premier message pour que ce soit vraiment complet.
  • En l'absence de smileys ironiques, les lecteurs croiront qu'un L3 en moyenne comprend ça.
  • Mon message n'avait rien d'ironique. Le théorème cité par mojojojo est accessible (et même élémentaire) au programme de L3. Après je ne porterai pas de jugement sur "niveau moyen" des L3.
  • Oups pardonne-moi!
  • Ok, @Mojojojo : une idée de la rédaction, pour montrer que les parties simplement connexes et non simplement connexes ne sont pas homéomorphes, parce que j'aurais eu tendance à utiliser le goupe fondamental $\pi_0$.
  • une idée de la rédaction, pour montrer que les parties simplement connexes et non simplement connexes ne sont pas homéomorphes, parce que j'aurais eu tendance à utiliser le goupe fondamental $\pi_0$.

    Le groupe fondamental, ce n'est pas $\pi_0$, l'ensemble des composantes connexes par arcs, mais $\pi_1$. Et je ne vois pas la différence entre dire qu'un espace est simplement connexe et dire que son groupe fondamental est trivial.
  • Oui, $\pi_1$ dans les 2 cas le groupe fondamentale n'est pas le même, comme c'est un invariant topologique cela permet de conclure.

    Mais j'aurais aimé une preuve sans tous ces artifices.

    Merci.
  • Il ne faut pas avoir peur du groupe fondamental. Et même si le groupe fondamental en tant que tel n'est pas souvent abordé en L3 les lacets et les homotopies eux le sont généralement, pendant le cours d'analyse complexe par exemple.

    D'ailleurs ici on peu se contenter de lacets et d'homotopie, peu importe la structure de groupe, pas besoin de fixer de point de départ etc... Voir qu'un homéomorphisme réalise une bijection des lacets homotopes au lacet nul ne devrait pas poser de problème à un étudiant de L3. Ensuite pour voir que ta couronne n'est pas simplement connexe il suffit d'intégrer $1/z$ le long d'un cercle et voir que ça ne fait pas $0$. Je trouve que c'est un résultat qui utilise joliment topologie et analyse complexe de niveau L3 !

    Sinon moi j'aurais tendance à penser qu'il ne s'agit pas "d'artifices", voir même plutôt l'inverse : en dimension $2$ l'homotopie suffit mais en dimension $>2$ c'est plus compliqué et il faut sortir les gros outils. D'un certain point de vue c'est donc presque une chance qu'il n'y ait besoin que du $\pi_1$ pour conclure.
  • Les gens ne vont pas sauter de joie en lisant que le groupe associé à un espace topologique est "un artifice" :-D Tu peux essayer de réfléchir à prouver que le disque n'est pas homéomorphe à $C\times J$ en notant $J$ un segment et $C$ un cercle.
  • @Mojojojo : bravo et merci.
  • Hs on:
    mojojojo, en L3 on n’aborde pas nécessairement l'homotopie, je n'ai vu que la définition d'un lacet homologue à $0.$ Je n'ai encore jamais entendu parler d'homotopie, ça devrait arriver la semaine prochaine ;)
    Hs off
  • @siegfried et tu ne seras plus en L3 la semaine prochaine ? :-D
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Success message!
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