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Petite devinette

Petite devinette:

Qui est le premier (dans l'état actuel des connaissances) à avoir publié la formule:

$\boxed{\displaystyle \zeta(3)=\dfrac{5}{2}\sum_{n\geq 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}}$

?

PS:
Personne n'a encore cité un écrit/une lettre d'Euler signalant cette formule. Euler est (pour le moment) à écarter. B-)-

Réponses

  • Ramanujan ?
  • Pas de source pour Ramanujan (à ma connaissance) mais ce n'est pas lui. B-)-
  • Simon Plouffe ?
  • Non, pas du tout. Je ne veux pas trop donner de détails pour le moment. Je m'attendais à lire une réponse bien précise (mais fausse) pour dire les choses. B-)
  • Margrethe Munthe Hjortnaes ?
  • La réponse fausse attendue était sans doute Roger Apéry ?
  • Bonjour,

    Tanguy Rivoal ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chaurien:

    Tout à fait. B-)



    Rescassol:

    Non. Comme déjà souligné par Chaurien, Roger Apéry a redécouvert cette formule à la fin des années 70 mais il n'est pas le premier à l'avoir utilisée. Cette formule a une histoire, qu'on redécouvre progressivement.
  • Que sait on de l'auteur Margrethe Munthe Hjortnaes auteur de la communication de 1953 qui decrit la formule de $\zeta(3)$ decrite par FdP? Est ce la descendante de Margrethe Munthe, l'auteur de chants norvegiens et decedee en 1931?

    Pardon une fois de plus pour les accents.
  • P.

    Ce n'est pas non plus cette personne qui a publié cette formule pour la première fois.

    Jusqu'à récemment, c'était celle qui était citée avec la plus grande antériorité pour l'avoir publiée en premier mais c'était seulement une réponse partielle.

    Si quelqu'un possède une copie de l'article de Margrethe Munthe Hjortnaes de 1953 je suis intéressé.

    Pour ce qui concerne ta question: aucune idée.
  • Apparemment, son année de naissance serait 1927 (résultat recherche Google en allemand).
  • Andreï Markov et Ernst Reichenbächer, dans les 1890 ?
  • Qu'est-ce qu'on gagne ? ;-)
  • Chaurien:

    En fait, c'est moi qui cherche à gagner quelque chose (peut-être) j'expliquerai plus tard. Il faut que j'éveille la curiosité et l'intérêt du lecteur pour que mon stratagème fonctionne (peut-être). B-)
  • @FdP : tu as fait un pari ? :-D
  • Non, pas du tout. Je vous fais partager mes lectures et en retour, vous pourrez peut-être m'aider. :-D
    (Je n'ai rien à gagner: argent, poste, honneurs... )

    PS:

    Je n'avais pas vu le nouveau message de Chaurien. Il gagne (dans l'état actuel des connaissances sur la question).
    Il s'agit bien de Markoff. J'en dirais plus, plus tard.
  • Markoff (Ou Markov à l'anglo-saxonne) aurait donné cette formule dans un mémoire:

    Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très
    convergentes. Mém. l’Acad. Impériale Sci. St.-Petersbourg, VII Sér. t XXXVII (9).
    (1890)


    On en trouve une trace récente dans cet article (téléchargeable sauf erreur)
    http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0196885804001009

    Et il y a les lettres de Charles Hermite à Markoff:
    http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1967_num_20_1_2512

    (la première lettre)

    PS:
    Ce que j'espère gagner.
    Une copie du mémoire "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très
    convergentes". Il semble qu'il y ait eu une version numérique (j'ai trouvé un lien, mort aujourd'hui, qui devait pointer sur une copie en ligne de cet article). :-)

    PS2:
    Il y a aussi cet article de Markoff de 1896 qui semble traiter d'un sujet proche (il est en Allemand):

    http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1416338147



    PS3,
    J'allais oublier. Je ne sais rien de Ernst Reichenbächer. Que vient-il faire dans cette affaire?
  • Soland:

    Tu n'as pas lu le reste des messages du fil.

    Apéry n'a fait que redécouvrir cette égalité.
    Markoff la connaissait depuis 1890 (au moins). B-)-

    Pour le moment, c'est Markoff qui l'a publiée en premier.
  • Fin de Partie a écrit:
    Pour le moment, c'est Markoff qui l'a publiée en premier.

    J'aime cette phrase.
  • @ Fin de Partie

    Je ne pense pas que Markov soit la transcription anglo-saxonne du nom du mathématicien russe MAPKOB (le forum refuse le cyrillique). C'est plutôt la transcription communément admise aujourd'hui. La transcription « Markoff » est ancienne.

    Bonne journée
    Fr. Ch.
  • Bonjour,

    Le cyrillique se trouve entre autres là.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Shah d'Ock:

    Cela signifie qu'on trouvera, peut-être, ou pas, cette formule dans un mémoire oublié d'un autre mathématicien et antérieur à l'année 1890 qui est l'année où Markoff a rendu public le mémoire mentionné plus haut.

    Chaurien:

    Je le sais bien que la retranscription anglo-saxonne, Markov, s'est maintenant imposée. J'ai des raisons personnelles d'écrire Markoff de cette façon-là. B-)-
  • J'avais bien compris. Néanmoins, cette phrase a, je le maintiens, une structure tout à fait intéressante.
  • Je sais qu'elle a un côté paradoxal, voire absurde. Un évènement passé ne peut pas être modifié.
  • J'ai fini par trouver le mémoire de Markoff. (la page 9 montre une formule très semblable à celle qui ouvre ce fil)

    (il est aussi disponible ici: https://archive.org/details/mmoiresdel73718891890impe/page/n623/mode/2up )
  • Zeilberger a aussi reconnu Markov et a fusionné sa méthode et la méthode WZ voir cet article.
  • MathSciNet n'a pas de lien vers l'article de Margrethe Munthe Hortnaes mais voici la citation complète.
    MathSciNet a écrit:
    Munthe Hjortnaes, Margrethe
    "Transformation of the series $\sum_{k=1}^\infty1/k^3$ to a definite integral". (En norvégien) Tolfte Skandinaviska Matematikerkongressen, Lund, 1953, p. 211–213, Lunds Universitets Matematiska Institution, Lund, (1954).

    The result is:\[\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^3}=10\int_0^ct^2\mathop{\mathrm{cotanh}} t\,\mathrm{d}t,\quad c=\log\frac{1+\sqrt5}2.\]

    NB : Le titre est un peu trop vague pour l'intérêt du fil !

    NB : La vérification numérique confirme...
    sage: 10*numerical_integral(x^2*cosh(x)/sinh(x),0,c)[0]
    1.2020569031595945
    sage: add(1./k^3 for k in range(1,100000))
    1.20205690310973
    
  • On trouve une formule intégrale analogue (et la démonstration me semble-t-il) à celle copiée-collée par Math Coss dans l'article :
    Values of the Riemann zeta function and integrals involving $\log(2\sinh(t/2))$ and $\log(\sin(t/2))$ de Zhang Nan-Yue et Kenneth S. Williams.
    (formule 1.2 du PDF: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1102620561 )
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