Récréation : extension de corps sur $\Q$ — Les-maths.net The most powerful custom community solution in the world

Récréation : extension de corps sur $\Q$

Bonsoir,

Existe-t-il un $a\in \R$ tel quel que $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\Q(a)$ ?

Bonne soirée.
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Réponses

  • C'est ce que dit le théorème de l'élément primitif.
  • Le théorème est constructif ?
    Si non, j'aimerais en avoir un explicite... Merci.

  • > k := RationalField() ;                                             
    > kX<X> := PolynomialRing(k) ;                         
    > L<r2, r3, r5> := NumberField([X^2-2, X^2-3, X^2-5] : Abs := true) ;
    > s := r2 + r3 + r5 ;
    > MinimalPolynomial(s) ;
    X^8 - 40*X^6 + 352*X^4 - 960*X^2 + 576
    > Degree(L) ;
    8
    
  • Il me semble que dans des cas comme celui-ci on peut obtenir une construction explicite.. par exemple sauf erreur $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) =\Q(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ (en effet on remarque que $1/(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ).
    La question est donc ramenée à $\Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{5})$, je te laisse trouver pour celuilà
  • Bravo, $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
    Comment on fait à la main, on calcule, $A=\{1,a,a^2,a^3,...,a^7\}$ et on montre que cette ensemble engendre $\{\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\}\subset \text{Vect}_{\Q}(A)$.

    Bonne soirée.
  • Ne pas confondre $[\mathbb Q(a) : \mathbb Q] \le 8$ et $[\mathbb Q(a) : \mathbb Q] \ge 8$.
  • pourexemple a écrit:
    Le théorème est constructif ?

    Soit $n = 3$ si la conjecture de Goldbach est vraie, $5$ sinon.
    Considérons un élément primitif de $\mathbb Q[\sqrt 2, \sqrt 5]$...
    Si tu es cohérent avec tes propres propos incohérents, je vois mal comment tu pourrais prétendre que le théorème de l'élément primitif est constructif.
  • Je ne prétends rien je pose une question...
  • En plus je rappelle à notre ami, que par exemple l'axiome du choix n'est pas du tout constructif, cela n'empêche qu'il peut exister des théorèmes où l'on sait expliciter la fonction choix...

    En espérant que maintenant tu comprennes.

    Pourexemple.
  • @pourexemple Tu as corrigé ton post après avoir lu mon dernier post ?
  • Cher pourexemple, il n'y a pas de bornes aux limites inexistantes de ta mauvaise foi.
  • Peux-tu être plus explicite, où ai-je fait preuve de mauvaise foi, manière de ne pas rester dans l'accusation gratuite ?
  • Si $x, y$ sont algébriques sur $\Q$, on peut expliciter par un calcul de résultant (à partir de $P, Q \in \Q[X]$ unitaires séparables vérifiant $P(x) = Q(y) = 0$) un polynôme non nul $D \in \Q[X]$ tel que $\Q(x,y) = \Q(x + ty)$ pour tout $t \in \mathbb Q$ non racine de $D$. Moyennant finance. Variante : au lieu du résultant, utilisation (constructive, ah, ah) des fonctions symétriques élémentaires.

    Ajout Cela remonte à Kronecker. J'arrête de faire le cachotier (puisque je n'y suis pour rien). On introduit deux indéterminées $t,Z$ (ah, Kronecker !), et on pose:
    $$
    \chi(t,Z) = \mathrm {Res}_X(P(X), Q(Z - tX))
    $$
    La lettre $\chi$ pour polynôme caractéristique ``quelque part''. Et on prend pour $D$ le discriminant en $Z$ de $\chi$. Il s'agit d'un calcul universel (polynôme caractéristique et pas polynôme minimal) qui fournit le certificat d'appartenance de $x$ à $\Q[x + ty]$. Je mets des crochets car la théorie des corps n'a pas grand chose à voir avec cette histoire puisqu'en fait, on travaille (attention je change les définitions de $x$, $y$) au dessus de :
    $$
    \Q[x,y] = \Q[X,Y] / \langle P(X), Q(Y)\rangle
    $$
    Je veux dire par là que l'on n'a pas à supposer $P,Q$ irréductibles (et même s'ils le sont, l'anneau ci-dessus n'a aucune raison d'être intègre).
    On peut remplacer $\Q$ par n'importe quel corps $k$ infini.

    Peut-être que Zariski-Samuel ont rapporté cette démonstration de Kronecker un peu tombée aux oubliettes ? Je vais vérifier.
  • $t$ est dans quel ensemble ?
  • Raisonnablement (?), c'est pour $t \in \Q$. Mais j'ai apporté la précision et une variante.
  • A noter que t=1, ne marche pas tous le temps, mais qu'il y a une infinité de valeur de $t$ pour lesquels cela marche et un nombre fini de valeurs pour lesquels cela ne marche pas, donc il me semble raisonnable en terme de calcul, de prendre un "t" quelconque, quitte à en changer si cela ne marche pas.
  • J'ai apporté des précisions à mon dernier post. Oui, bien sûr, il faut dire ``pour tout $t \in \Q$ sauf pour un nombre fini, alors ..''. Histoire d'être en paix avec Kronecker.
  • Merci, Claude pour le partage.
  • Merci du partage Claude,

    J'allais poser la question, est ce que les solutions sont non racines d'un certain polynôme ?
  • Une partie finie d'un corps a tendance à être toujours l'ensemble des racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.
  • Vérification : la méthode de Kronecker (utilisation d'indéterminées) pour le théorème de l'élément primitif (dans le cadre séparable, sinon il est faux) figure bien dans le Zariski-Samuel, Commutative Algebra, Volume I. C'est très exactement le théorème 19 de la section 4 (The theorem of the primitive element), chap. II (Elements of Field Theory), p. 84.
    A ma connaissance, cela ne figure pas partout.

    PS : quelqu'un sait pourquoi les auteurs sont écrits dans l'ordre Zariski-Samuel et pas Samuel-Zariski ?
  • La démonstration du théorème de l'élément primitif est à moitié constructive

    Tu as un corps de nombre $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$
    et tu veux montrer que $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=\mathbb{Q}(\gamma)$ pour un certain $\gamma = \alpha+\lambda \beta$ avec $\lambda \in \mathbb{Q}^*$.

    La démonstration dit qu'avec $f,g$ le polynôme minimal de $\alpha,\beta$ dans $\mathbb{Q}$, que si $\lambda$ ne marche pas alors il est de la forme $\lambda=\frac{\alpha-\alpha'}{\beta-\beta'}$ où $\alpha',\beta'$ sont d'autres racines de $f,g$
    et donc qu'il suffit d'essayer $(deg(f)-1)(deg(g)-1)+1$ valeurs différentes pour $\lambda$ et qu'il y en aura forcément une qui marchera.

    Et ça me fait dire que si on arrive à montrer que les racines de $f$ sont dans $|z| < R$ et que $g(z)$ n'a pas de racines dans $0 < |z-\beta| < r$ alors il suffit de prendre $\lambda > 2 R/r$
  • J'ai l'impression que certains devraient se retenir d'utiliser trop l'expression "constructive" sans la connaitre :-D (Je vous suggère, reuns et PE d'utiliser peut-être le mot "concret" à la place, ou trouvez-en un zoli qui vous convient).

    Encore une fois, je dis ça avec en tête la visite des fils du forum dans un an-2ans-10ans par des gens qui n'ont rien demandé et seront influencés.
  • Constructive veut dire "explicitement constructive" (ie sans exploiter des fonctions de choix tombées du ciel).
    J'ai l'impression que tu fais référence à

    h ttps://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Diaconescu
    mais je peux me tromper.

    NB: j'arrive pas à créer proprement le lien, le forum refuse de mettre les accents dans les URL pour une raison inconnue
  • @pe, cc, Foys, reuns (dans le désordre) J'ai fait en sorte de ne pas utiliser l'adjectif ``constructif'' en rapportant la méthode de Kronecker sauf à un moment donné, mais c'est pour un calcul de résultant, j'ai écrit `` ...utilisation (constructive, ah, ah) des fonctions symétriques élémentaires ...''.

    J'ai essayé de bien préciser les données : deux polynômes unitaires séparables $P, Q \in k[X]$ ($k$ est un corps infini) et surtout pas $x$, $y$. Et une construction précise (un résultant puis un discriminant). Les calculs ont lieu dans le quotient suivant (il y a 4 indéterminées au numérateur) :
    $$
    {k[t,Z, X, Y] \over \langle P(X), Q(Y) \rangle}
    $$
    Et le résultat (que je n'ai pas précisé !) est de la forme, avec $x$ la classe de $X$, $y$ la classe de $Y$ dans le quotient ci-dessus et $\chi(t,Z)$ le polynôme de mon autre post
    $$
    \chi'_t(t, tx+y) + x\chi'_Z(t,tx+y) = 0
    $$
    Tout est prêt pour exprimer $x$ en fonction de $tx + y$ i.e. comme fraction rationnelle en $tx+y$ à coefficients dans $k]$ par un choix judicieux de $t \in k$. J'espère ainsi n'avoir pas trop dénaturer la méthode de Kronecker.

    C'est en fait un résultat qui concerne les $k$-algèbres (commutatives de dimension finie) séparables ; plutôt qu'un résultat sur les extensions séparables de corps.

    Ajout : peut-être que dans mon autre post, j'ai confondu $x+ty$ et $tx + y$, j'ai la flemme d'aller voir.
  • @ClaudeQuitté Merci. En reprenant les notations de la démonstration du théorème de l'élément primitif

    Ce que tu proposes c'est de calculer explicitement à partir de $f ,g \in \mathbb{Q}[X], f(\alpha)=0,g(\beta) = 0$ un polynôme $h \in \mathbb{Q}[X]$ tel que $h(\lambda) \ne 0 \implies \mathbb{Q}(\alpha+\lambda \beta) = \mathbb{Q}(\alpha,\beta)$

    et donc qu'il suffit d'essayer $\lambda = 1,\ldots,N+1$ où $N=deg(h)$ pour avoir une solution.

    Donc on a bien un algorithme pour construire ce qu'on voulait.

    Alternativement, ma méthode tient toujours : trouver $r,R$ tel que $f(z)$ n'a pas de racine pour $|z| > R$ (facile) et $g(z)$ n'a pas de racine pour $0< |z-\beta| < r$ (un peu moins facile, mais faisable) et choisir $\lambda > 2 R/r$.


    @CC : blablabla cause toujours
  • Sinon en plus de "cet algorithme" avec les conjugués ça fonctionne assez bien!
  • Bonjour,

    Citation Shah d'Ock :
    Soit n=3 si la conjecture de Goldbach est vraie, 5 sinon.

    On dirait que n=5 (cf ma signature).

    Bonne journée.
  • @reuns: quelle courtoisie :-D

    C'est aux visiteurs que tu adresses ton "bras d'honneur" pas à moi. Je ne lis pas tes posts pour mieux connaitre le mot "constructif". Par contre des gens tapent "constructif, constructivisme" sur google et tombent sur ton post.
  • Bonjour,

    Existe-t-il, $R\in \Q(X)$ tel que $\forall a,b \in \Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$ ?

    Bonne journée.
  • @pourexemple ???

    Les fonctions rationnelles à coefficients rationnels sont naturellement inclues dans les fonctions rationnelles à coefficients complexes. Et si $f \in \C(z)$ alors il existe $n \in \Z$ tel que $\lim_{|z| \to \infty} f(z)z^{-n}$ existe.
  • pourexemple écrivait:
    > Existe-t-il, $R\in \Q(X)$ tel que $\forall a,b \in \Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$ ?

    Bof. En particulier, pour tout $a\in \Q$, $R(a)=a$ et donc $R=X$. Ce qui entraîne $R(\sqrt2)\neq 0$.
  • Que ta question est assez foireuse : la réponse est évidemment non. Mais peut-être l'as-tu posée sans trop réfléchir.

    P.S. Fidèle à son habitude, pourexemple a modifié son message en effaçant le message initial auquel je répondais et qui était "Et tu en déduis quoi ?".
  • Qu'il n'y en a pas.
  • Ok, existe-t-il une telle fonction $R : \R \rightarrow \R$ continue en au moins un point.

    PS1 : le message que j'ai éditer s'adresser à Reuns.
    PS2 : @GaBuZoMeu : il s'agit de récréations mathématiques...
  • Moi, j'ai bien une petite question .. qui s'éloigne du sujet initial (mais est ce que l'on ne vient pas de s'en éloigner à l'instant ?). Cette petite question semble anodine mais à mon avis, la réponse n'est pas simple : pourquoi pourexemple poste-t-il (parfois) ce qui lui passe aussitôt par la tête ?
  • le message que j'ai éditer s'adresser à Reuns.
    Comment avoir un discours mathématique cohérent quand on a une syntaxe aussi incohérente ?
  • @Claude : peut-être pour alimenter ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849 ?

    PS : en général, quand je pose une question, je pense en avoir une réponse, sinon je le précise.

    Bonne journée.
  • ``Une fonction $\R \to \R$ continue en au moins un point'' : je le comprends comme une fonction pour laquelle il existe au moins un point en lequel elle est continue. J'ai tort ? Par exemple, la fonction constante (par exemple la constante 1951), elle est continue en au moins un point. Je comprends rien de rien ?
  • Oui, mais il faut, aussi, que $R$ vérifie $$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$
  • @pourexemple
    Je ne regarde jamais (ou presque), en tout cas je ne participe pas, le fil ``Il est facile de, la preuve''. Pourquoi ? Parce ce que.
  • Ok.

    Bonne journée.
  • Je mets la question complète :

    énoncé 133 : continuité et extension de corps
    Existe-t-il une fonction $R$ de $\R$ dans lui même continue en au moins un point tel que :

    $$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$

    Bonne journée.
  • Quelle est l’intérêt de cette question :

    1/Dans le cas ou la réponse serait non : donc la fonction $R$ n'appartient pas, à l'ensemble minimale contenant les constantes, les fonctions racines, puissances, partie entière (et donc avec la fonction reste de la division euclidienne, pgcd...) et stable par combinaisons linéaires et géométriques finis, ainsi que par compositions... ($R$ ne serait pas récursives primitives)


    2/Dans le cas ou la réponse est oui, cela à peu d’intérêt.

    PS : je pense que la réponse n'a pas peu d’intérêt...
  • N'importe quoi. Si tu veux nous convaincre d'arrêter de lire tes posts, t'es sur la bonne voie.

    Autrement, qu'as-tu essayé ?

    [small]Et une fonction $R$ de $\R$ dans $r$ tu as le droit de faire des efforts pour les notations[/small]
  • Je pense qu'il y a méprise, cela n'est absolument pas un énoncé que je dois résoudre (car je pense savoir le résoudre), mais que je propose à votre sagacité.

    Bonne journée.
  • énoncé 133. Il n'existe pas de telle fonction $R$.
    En effet, soit une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$.
    Supposons que $R$ soit continue au point $u \in \mathbb R$.
    Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$. D'où : $R(u)=u$.
    Il existe une suite $b_n \in \mathbb Q$ telle que $b_{n}\sqrt{2}\rightarrow u$. D'où : $R(u)=0$.
    Par suite : $u=0$. La fonction $R$ est donc continue en $0$.
    Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
    D'où : $c_{n}=R(c_{n}-d_{n}\sqrt{2}) \rightarrow R(0)=0$. Or il est clair que $c_{n}\rightarrow +\infty $.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
    NB Et s'il te plaît, écris :
    [small]Si vous aimez les casse-tête niveau agreg, pas classiques du tout, c'est ici...[/small]
    Merci.
  • énoncé 133. Autre rédaction.
    Une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$, n'est ni majorée ni minorée sur aucun intervalle de $\mathbb R$.
    Démonstration. Soit $u \in \mathbb R$. Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$ ; cette suite $a_n $ est bien sûr bornée.
    Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$, d'où : $c_{n}\rightarrow +\infty $. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
    La suite $x_{n}=a_{n}+c_{n}-d_{n}\sqrt{2}$ a pour limite $u$, et $R(x_{n})=a_{n}+c_{n}\rightarrow +\infty $.
    La suite $y_{n}=a_{n}-c_{n}+d_{n}\sqrt{2}$ a aussi pour limite $u$, et $R(y_{n})=a_{n}-c_{n}\rightarrow -\infty $.

    La nuit porte conseil. Bonne journée. Courage pour les pairs parisiens et proches.
    Fr. Ch.
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