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Calcul exact avec les parties entières

Bonjour,

Soit $k,\,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$\small E\Big(\frac{(n-1)^2}{n}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{(n-1)^k}{n}\Big)=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E\Big(\frac{k+1}{2}\Big)-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$

Réponses

  • Bonsoir,

    Selon que $l$ est pair ou impair, la partie fractionnaire de $\frac{(n-1)^l}{n}$ est $\frac{1}{n}$ ou $1-\frac{1}{n}$; il s'en suit que la somme des parties entières de $\frac{(n-1)^l}{n}$ et de $\frac{(n-1)^{l+1}}{n}$ égale $\frac{(n-1)^l}{n} + \frac{(n-1)^{l+1}}{n}-1$, soit $(n-1)^l-1$. La somme sur $l$ de cette égalité donne ta formule... qui est un peu artificiellement close.:-)

    Merci pour tes questions.

    Cordialement
    Paul
  • Bonjour,

    Bravo.

    En voici un, un peu plus difficile :

    énoncé 113 :
    Soit $p$ un nombre premier et $b$ un élément primitif dans $(\Z/p\Z)^*$.
    Montrer que :

    $$E(\frac{b}{p})+...+E(\frac{b^{p-1}}{p})=\frac{b^p-b}{p(b-1)}-\frac{(p-1)}{2}$$


    [size=x-small]@Depasse : merci pour les encouragements.[/size]

    Bonne journée.
  • Il doit y avoir une erreur puisque le premier membre est inférieur à la deuxième fraction du second membre.
  • @Jandri : oui merci, j'ai modifié l'énoncé.
  • Bonjour,

    $b$ étant primitif, l'ensemble des parties fractionnaires des $b^i/p$ est l'ensemble des $i/p$; leur somme est $(p-1)/2$.
    La somme des $b^i/p$ est $\frac{b^
    p-b}{p(b-1)}$.
    Comme un nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire, on obtient ta formule.
    Cordialement
    Paul
  • énoncé 114 :
    Montrer que, pour tout $n\in \N^*$ $$
    1+E\big((\sqrt{2}+1)\big)+\cdots+E\big((\sqrt{2}+1)^n\big)=E\Big(\frac{(\sqrt{2}+1)^{n+1}-1}{\sqrt{2}}\Big)-E\Big(\frac{n}{2}\Big) $$
  • énoncé 115 :
    Montrer que pour tout $a\in \N^*$ avec $a=a_0+\cdots+a_k2^k$ en base 2 : $$ E\Big(\frac{a}{2}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{a}{2^{k}}\Big)=a-a_0-\cdots-a_k$$
  • Soient $p,q$ deux entiers premiers entre eux, avec r entier tel que : $S=(q \mod p)+(2\times q \mod p)+...(r\times q \mod p)\leq p-1$ , montrer que :
    $$S=\frac{qr(r+1)}{2}-p \times E(\frac{qr(r+1)}{2p})$$
  • Ça me fait penser à ça : pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

    $$ n = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{an}{a+1} \right\rfloor}{a} \right\rfloor \right) = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{(a+1)n}{a} \right\rfloor}{a+1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{a+1} \right\rfloor \right) \text{.}$$

    Je n'ai aucune idée de comment faire, ni si c'est difficile (ça ne m'inspire pas trop). J'avais obtenu ça un jour en foirant la résolution d'un exercice. La solution était simplement n et j'avais trouvé ces deux horribles formules. Je ne me souviens plus de l'exercice, malheureusement.
  • C'est une conjecture ou tu sais le démontrer ?
  • après j'ai eu l'idée de l'extension à mod 2PI, qui a donné suite à des débats avec la valeur de part modulaire de mod -1, qui s'avère être parfaitement correspondant au groupe. C'était le jour et à l'heure du passage des ondes gravitationnels, dans un cours de logique avec Didier Gamblin à Paris 13, un professeur incroyable.
  • @Thomas : je pense que tu t'es trompé de discussion.
  • Ben ouais, non absolument pas.

    ...

    Tiens pour preuve.

    Factorisation de tous les 100^100 n pour tout a ou a = b racine c mod e.

    Allez hoop !

    https://bitbucket.org/okechoby/the-100-100-grid/src
  • Sur ce fil, il n'est pas question de RSA, ici oui : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1363378
  • @pourexemple : J'ai retrouvé l'exercice duquel la formule vient (ce n'est pas une conjecture). Je ne sais pas trop si ça a un intérêt de chercher sans l'exercice, donc je le donne (sélectionner ci-dessous pour le voir).

    Dénombrer le nombre de manières d'écrire un entier n sous la forme $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ avec les $a_i$ des entiers strictement positifs croissants (pas forcément strictement) et $a_i - a_1 \leq 1$.
  • @Champolion : en fait le but de ce fil est de proposer des énoncés de calculs exacts avec les parties entières dont on est à l'origine.

    Bonne soirée.
  • Je ne sais pas exactement ce que tu veux dire par là. Pour résoudre l'exercice, je suis parti dans une direction trop complexe, j'ai trouvé les formules compliquées, mais la réponse est simplement n. Ça donne une preuve combinatoire de la formule. Ensuite, on peut la donner sans l'exercice à l'origine. Ça n'entre pas dans le cadre du fil ?
  • Si tu es à l'origine de l'exercice (et que tu en connais une solution), tout à fait, si c'est un exercice que tu reprends, là, ce fil n'est pas dédié à ce genre d'énoncé.

    Désolé, j'allais faire le dictateur. Toi et ton énoncé, sont les bienvenus.

    Merci encore et bonne nuit.
  • Champ-Pot-Lion écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1362798,1363562#msg-1363562
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

    Oui, malheureusement, par la maléabilité des citations, une fois la source modifié, la citation s'en voit modifier. So ! ... La dernière ligne inclut désormais une définition imparfaite.

    Et ben voila ! Merci ! C'est donc bien un énoncé qu'on appelle des identités d'union. Y a tout un ensemble qui en a dérivé à la suite de mes travaux.

    Donc, merci !

    Apparemment mon propos à disparu.

    ----

    Pour rappel. Les identités d'union, se forment pour les equations rapportant par leur décomposition spécifique, le retour de la valuer d'union : 1.

    Il est également à noter que ces décompositions ont une capacité à devenir des Variétés.

    Par extensions, ces variétés par foncteurs ou compositions, se transforment en Topoï et de fait, inclut toutes les possibilités, soit par extension fonctorielle, soit par composition, etc... de devenir une catégorie, triviale ou non triviale dans l'ensemble de l'éventail de tous les groupes possibles.


    Après y a plus qu'à jouer...

    Moi j'ai modifié ma structure algébrique pour produire une membrane sur Z(n)/Z ^ /infty .
  • salut

    je vois qu'on peut poster des résultats avec les parties entières ici (bon après ça serai chouette d'ouvrir un topic comme ça mais désolé si j'ai mal compris )

    j'ai un truc sympa (ma démo 16 pages format A4 certes j'ai pas pu faire plus court mais bon à mon avis c'est faisable de faire plus court)

    pour partie entière j'utilise la notation [...]

    ci-dessous $l,m,n$ tous dans $\mathbb {N}^*$ tels que

    $0<m<n$
    $\frac {n}{m}>\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
    $r=n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
    $\frac {m}{r}>\begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
    $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
    $u_0<l$
    alors en posant

    $v=1+ \begin {bmatrix}\frac {lr}{m}\end {bmatrix}$
    $t=u_{v-2}$

    selon pour tout $i\in \mathbb {N}$ alors

    -lorsque $\frac {(i+1)m}{r}= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

    -lorsque $\frac {(i+1)m}{r}> \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i=1+ \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

    donc comme je viens de le dire $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$

    et en posant pour tout $ i\in \mathbb {N}^*$ alors $h_i$ selon

    $h_1=u_0$

    et pour tout $ i>1$ alors $h_i=u_{i-1}-u_{i-2}$

    ________________________________

    On vérifie

    -lorsque $v=4$ alors

    $\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
    suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$

    -lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

    $\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
    suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$

    -lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

    $\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
    suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$
  • Bonjour,

    @Fluo : Peux-tu expliciter le résultat que tu prouves ?
    Merci.

    Bonne journée.
  • EDIT : dans cet exemple là la valeur de $h_3=271$ est inutile
    on en a pas besoin(je l'ai calculé mais là elle sert à rien dans la formule)

    mais c'est dans cet exemple là ...

    bonjour pourexemple

    par exemple pour

    $m=20017$
    $n=40108$
    $l=50017$

    on obtiens $\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}=2 506 349 662$

    on a pas besoin de faire cette sommation pour calculer le résultat

    _______________________________

    $ \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
    suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}=2 506 349 662$

    avec
    $r=74$
    $v=185$
    $u0=271$
    $t=49772$
    $h_2=270$
    $h_3=271$
  • J'ai l'impression (peut-être à tord) que le calcul que tu fais, est aussi long que le calcul que tu proposes de simplifier.

    Bonne journée.
  • une sommation de neuf termes contre ...plus de 50000...

    c'est une façon de voir la chose lol ;-)

    bonne journée à toi
  • Peux-tu écrire de manière formelle, le résultat que tu proposes ?

    Merci.
  • je t'ai donné les formules non? ...c'est formel et je t'ai donné un exemple
  • Tu serais calculer cela avec ta formule : $k = \sum_{i=0}^r \lfloor \frac{qi}{p} \rfloor$.
  • salut camarade pourexemple

    pour voir si tu as compris mes formules

    regarde ce que donne la valeur de v et de r et verifie si $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$

    si v=4 cette derniere égalité n'a pas d'importance mais si v est supérieur à 4 là il faudra le vérifier

    sinon ces formules ne sont pas les bonnes

    je l'ai dit dans la formulation ... mais il y a d'autres formulations pour d'autres cas ...(juste que c'est pas en 16 pages la demo là ... :)o )
  • Désolé, je ne vais pas faire l'effort de la comprendre, par contre ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1355908

    Je pense qu'il se fera un devoir de la comprendre, sous-peine, de peut-être manquer, quelques choses d'assez remarquable.

    Bonne continuation.
  • merci camarade pourexemple

    sinon j'ai pris m=20017 pour la nouvelle année 20017 qui viens dans quelques jours (heu non 2017 pardon)

    bonne continuation à toi aussi (c'est sympa ce topic)

    EDIT pour éviter que l'on passe d'un résultat à l'autre d'un post à l'autre je continue là-bas http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1373738,1373740#msg-1373740
  • il y a une simplification vue par Depasse là bas -> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1374234,1374990#msg-1374990

    ça raccourci un peu les formules données ici

    c'est complètement idiot de ma part d'avoir bêtement recopié ma démo ...

    mais comment j'aurai pu construire ces formules sans tout compliquer - ? des fois pour avoir un truc faut être aussi tordu que le truc que l'on cherche
  • Salut (un peu d'humour)

    À ce propos je viens de faire une démo stupide (car j'estime que vous trouverez ça trivial -et moi aussi d'ailleurs...) et donc en plus ne servant à pas grand chose

    pourtant écrite en 27 lignes (mais franchement pas moyen de faire plus court)

    c'est tout bête pourtant j'ai eu besoin de 27 lignes

    soit $x\in \mathbb {R}^*_+-\mathbb {N}$

    alors en posant $u=\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}=0$

    ou en posant $u=1+\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}>0$

    on obtient tout simplement

    $\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$
  • Bonjour,

    Citation Fluo :
    $\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$

    Non, je ne pense pas, prend par exemple $x=0.5$ et $u=3$.

    Bonne journée.
  • bonjour pour exemple

    tu te trompe

    si x=0.5 on obtient u=2

    attention à bien lire car on ne peut pas choisir u librement (il dépend de x)
  • Bonsoir,

    Oui, en effet.

    Bon courage.
  • Bonsoir pourexemple

    merci

    j'en ai placé un qui signifie la même chose mais sans conditionnelle pour la solution de u

    je l'ai placé sur le topic "congrence de noël" en rubrique algèbre, car ça permet de mieux visualiser comment va se résoudre les sommations avec $a_i$

    bonne soirée à toi
  • Edit pour-exemple et non pas contre-exemple

    Bonjour Pour-Exemple

    deux autres résultats sur des calculs avec des parties entières

    là -> majorant et minorant d'une suite finie de réels http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392370,1392370#msg-1392370

    et là ->symbole de Levi-Civita d'ordre n http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392886


    sinon à part ça : où est passé pour-exemple ? pourquoi son bannissement ? mince! il était gentil et intelligent (c'est rare d'avoir ces deux qualités en même temps)

    Ce sujet ça l'aurai intéressé en tout cas
  • Bonjour,

    @Fluo, merci de te soucier de mon état, et j'ai été débanni... :-D

    Pour ce qui est du 114, j'ai donné la solution ici : https://www.ilemaths.net/sujet-calcul-exact-avec-la-partie-entiere-727591.html

    Bonne journée.
  • de rien pour-exemple ...

    tu est constant (pas du tout lunatique...des gens pas lunatiques, il en existe pas dans mon milieu, c'est nouveau pour moi ça)

    bonne soirée camarade
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