math65
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Je crois plutôt que cela donne ça :$b_n = \dfrac {n + 1 - p} {n + 1} (n + 1)^p = (n + 1)^p …Peut-être que cela suffit :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{2i+k \leq n, k\in \mathbb{N}, i\in \mathbb{N}} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{k=2p+q , p\in \mathbb{N}, q\in \mathbb{N}}^n a_k x^{k} +\c…@JLapin j'estime avoir fait le produit de série entière mais je n'estime pas avoir répondu à la question 2).@cailloux c'est vrai que ce DL ne sert pas trop pour la question 2) mais c'est ce qu'on demande dans la question 1) ?C'est vrai que je ne vois pas trop à …Par développement limité, on a :
$\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}
=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2(k+1)x^k + \sum_{k=0}^{n}x^k +\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k)=\frac{1}{4}(\su…J'ai trouvé :
$\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}$
Comment faire le produit des séries entières ?Je n'arrive pas à décomposer en éléments simple.Peut on vraiment avoir $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$, je ne le crois pas?Je pens…@gerard0 effectivement, j'ai corrigé. C'est ce que j'avais trouvé. Mais j'avais changé ce qui était bon car je pensais avoir fait une erreur.
Par décomposition en éléments simples, je trouve $\ \dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{x+2}{1-x^2},\ $ après ?
Dans mon cas je dois faire un DL d'ordre 3 donc$\arctan(a(1+x))=\arctan(a) + \frac{a}{1+a^2} (x-\frac{2a^2} {2(1+a^2)}x^2 +\frac{(3a^4-a^2)} {3(1+a^2)^2}x^3 + \circ(x^3))$Bonjour
Je ne sais pas si j'ai bien compris mais en dérivant $arctan(a(1+x))$, on a $a \times \frac{1} {1+ a^2(1+x)^2} $
En faisant le DL en $0$, on obtient :
$a \times \frac{1} {1+ a^2(1+x)^2} =
a \times \frac{1} {1+ a^2 +2a^2x+…Si je continue :
$\sqrt{ \dfrac{x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5) } {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ \dfrac{1+ 2/15x^2 + \circ (x^3) } {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }
=\frac{\sqrt{x^{…Je pense qu'il faut plutôt partir avec le DL de tangente à l'ordre 6 :$\sqrt{1- \dfrac{x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{\tan(x)-x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{x + x^3/3+ 2/15x^5 + \circ (x^6) -x} {x + x^3/3+ 2/15x^5 + \circ (x^6)}…@jelobreuil oui, j'ai corrigé
Reprenons. Car je n'arrive pas à retomber sur le résultat de bisam que j'ai aussi vu ailleurs.J'essaye déjà de trouver le DL de $\sqrt{1- \dfrac{x} {\tan(x)} } $Voilà comment je fais :$\sqrt{1- \dfrac{x} …Donc je suis un peu perdu. On me demande un DL d'ordre 3 en 0 mais ma fonction n'en n'admet que jusqu'à l'ordre 0. Donc l'énoncé est faux ?
Je vais essayer la technique de bisam mais c'est déroutant.@gebrane c'est ce que j'ai trouvé en utilisant $\arccos (1-x)=2 \arcsin \sqrt {\frac x2}$.Comment faire autrement ?J'ai dû faire une erreur de frappe. Le bon développement est celui que tu as donné plus haut ?
Je refais le calcul et je retrouve ce coefficient $\frac{1} {72\sqrt{3}}$
En prenant le développement :
$\arccos(1-x)= 2(\sqrt{x}/2 +\frac{1} {12\sqrt{2}} \sqrt{x} ^3 + \frac{3} {160\sqrt{2}} \sqrt{x} ^5) + \circ(\sqrt{x} ^5) $
Si il …Oui, cela donne cela en développant le $2$.Est-ce que tu parles du facteur $\frac{1} {72\sqrt{3}} $ ?Ok, donc en utilisant cela, je trouve que le DL de $\arccos(1-x)$ en $0$ à l'ordre "5/2" est :$\arccos(1-x)= 2(\sqrt{x}/2 +\frac{1} {12\sqrt{2}} \sqrt{x} ^3 + \frac{3} {160\sqrt{2}} \sqrt{x} ^5) + \circ(\sqrt{x} ^5) $
E…(Quote) Comment trouves-tu cela ?
Merci pour ces informations.Pour montrer les limites est ce qu'il ne faudrait pas utiliser les développements limités ? (analyse asymptotique donc).Pour le membre de droite, c'est rapide. Pour le membre de gauche en travaillant avec chaque terme, on y arrive.
Donc, il y a 2 polynômes ? Peut être qu'il faut distinguer $z$ et $1/z$?
Non effectivement, ce n'est pas polynomial. Comment montrer l'égalité pour des $z$ de module autre que 1?
(Quote) D'après le raisonnement que j'ai fait, on a bien deux polynômes qui coïncident pour une partie infinie de $C$ donc ils sont égaux sur $C$ ?
Ok,
Nous savons que $T_n(\cos(\theta)) = \cos(n \theta) $
On sait aussi que $ \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} {2}=\frac{1} {2} (e^{i\theta} + 1/e^{i\theta})$
Donc
$T_n(\frac{1} {2} (e^{i\theta} + 1/e^{i\theta}))…Merci pour les infos.
Est ce que quelqu'un à une piste pour la question 13)? (j'ai réussi à faire les questions d'avant)
Merci.Voici les questions suivantes.Ainsi, $\cos(\frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}) $ avec $k \in Z$ constitue l'ensemble des racines dans $[-1;1]$
Or, il ne peut y avoir plus de $n$ solutions.
Puisque cosinus est strictement décroissante sur $[0;\pi]$, les solutions
$ …Finalement, prouver que l'expression de récurrence déterminée plus haut verifie l'équation différentielle ne prouverait rien. On pourrait juste utiliser la relation de récurrence sans passer par l'équation différentielle.Si on…J'ai finalement réussi après de long calculs à montrer que l'expression proposée est bien solution.
Peut-être qu'une manière plus simple est de montrer que la relation de récurrence trouvée plus haut vérifie l'équation différentiell…J'ai vu effectivement qu'il ne faut pas que l'on prenne les conditions initiales où le coefficient de dérivée seconde s'annule.J'essaie de montrer que l'expression vérifie l'équation différentielle mais j'obtiens quelqu…@JLapin je ne vois pas en quoi cela pose un problème, il faut juste trouver des conditions sur $T_n$ et $T_n'$ que doit satisfaire l'expression du 8).A…@JLapin on sait qu'une équation différentielle de second ordre possède une unique solution vérifiant les conditions initiales $T_n(1)=1$ et $T_n'(1)=nU_n(1)=n^{2}$
Supposons que j'arrive à montrer que l'expression du 8) est solution de l'équation différentielle du 7), pourrais-je en conclure que c'est bien l'expression de $T_n$ sachant qu'une équation différentielle a plusieurs solutions ?
Merci.
Ok et voilà ce que l'on demande ensuite :Est-ce que …Je pense que les questions 5) et 6) sont faisables pour moi.Pour la question 7), je raisonne aussi avec $T_n(cos(\theta)) =cos(n\theta) $ afin de démontrer que le polynôme défini par le membre de gauche a une infinité de racin…