Réponses
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$x=\exp(-1/y^2)$
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On peut aussi montrer par la même méthode du produit de séries entières que le coefficient de $x^k$ dans le développement en série entière de $\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^2)(1-x)}$ est le nombre de triplets d'entiers $(p,q,r)$ tels que $5p+2q+r=k$
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Considérer le produit des séries entières de $\dfrac{1}{1-x^2}$ et de $\dfrac{1}{1-x}$
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penser au produit de 2 séries entières
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$E=M_m(C)$ donc de dimension finie
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je n'avais pas compris quelle était ta démarche ...
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la condition pour que la courbe d'équation $ f(x)=P(x) \exp(-x)$ soit tangente à la droite $Ox$ est que $P$ et $P'-P$ aient une racine commune d'où une première relation entre $A$ et $B $. Le point où la courbe est tangente à $Ox$ n'est pas…
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@LeVioloniste erreur de calcul
$f"(x)=f(-x) $ -
poser $ u_n=\frac{1}{h_n}$
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A étant symétrique définie positive est le carré d'une matrice symétrique définie positive C .
$A^{-1} B=C^{-1} C^{-1}B $
$C A^{-1}B C^{-1}=C^{-1}B C^{-1}$ qui est symétrique réelle donc diagonalisable ,il en est donc de même de $A^{-1… -
pourquoi 3 dans ta formule ? c'est $3^2$ ,,, comme je l'ai écritM=(x,y,z) H son projeté orthogonal sur D .H=(a,a,a) avec OM.OH=0 soit 3a=x+y+z
enfin ||OH||=1/2 |OM|| donne le résultat
Epreuve pratique ENS 1984
Je l'avais posée à mes étudiants , le problème a été la musique , pas les maths ...Ou écrire $\det(I+tA)=\det_e(e_1+tv_1,e_2+tv_2,\ldots,e_n+tv_n)$, où la famille des $v_i$ est la famille des vecteurs colonnes de $A$, et utiliser la multilinéarité du déterminant.
On peut aussi dériver $(1+x)^n$ ,une fois ,deux fois ...puis prendre la valeur en 1$8x^4-8x^2-x+1=(x-1)(8x^2(x+1)-1)$
On vérifie que $8x^2(x+1)-1=0$ a une unique racine l entre -1 et 1
puis méthode analogue pour montrer que ni 1 ni l ne peuvent être limites de la suiteSi r est inférieur à R alors la suite $c_n r^n$ est bornée cela suffit pour conclure pour la première questionPour le changement de variable, j'avais commencé par poser $x=\cos(\theta)$ à cause du $\sqrt{(1-x^2)}$ et ensuite $t=\tan(\theta/2)$.On peut poser $x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
Alors $\displaystyle I=\int_0^1 \ln\Big(\frac{1-t^2}{1+t^2}\Big) dt$
En intégrant par parties $I=(t-1) \ln\Big(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big) \Big]_0^1+ J=J$,
où $J$ est l'intégrale d'une fraction rat…J'avais lu une fois dans une copie "la série est convergente d'après la CSCSA" il parait que cela voulait dire la "Condition Suffisante de Convergence des Séries Alternées"dans Démonstration critère des séries alternées Commentaire de lale May 2022
Poser $x=1+t^2$ et simplifierl'équation du cercle est $ x^2+y^2-2px+q=0$
si $q=mp+h$ c'est à dire si le point M appartient à la droite $y=mx+h$ alors le cercle appartient au faisceau des cercles $C_p$ d'équations
$x^2+y^2+h-p(2x-m)=0$ d'axe radical $x=m/2$
le…Par récurrence sur n en calculant $S_{n+1}-S_n$Après quelques calculs (que je n'ai pas mené au bout), le cas $p=0$ intervient alors $q=-1$
il est donc surprenant que dans la condition écrite plus haut, $p$ ne soit pas en facteur...Mais $f(2)=0$?J'ai cherché P sous la forme $ P(x) =x(x^2-4)^2 Q(x)$ où Q est pair.
Avec $ P(1)=1 $ et $P'(1)=0$ on obtient les valeurs de $Q(1)$ et $Q'(1)$ et en choisissant $Q$ pair et de degré 2 on obtient
$P=\frac{x}{54} (x^2-4)^2(x^2+5)$
…Il y a un polynôme de degré 7 qui convient, mais sans la notion de dérivation je ne sais pas comment on pourrait trouver la solution !Il faut supposer que la parabole initiale a pour équation $ y^2=2px$
La normale au point $(\frac{t^2}{2p},t)$ a une équation de la forme indiquée si l'on pose $t=-pm$En effet , je l'avais supposée continue ...f admettant une fonction réciproque est strictement monotone .
Si f est croissante x<y implique f(x)<f(y) alors $y=f(x) $ et $x=f(y)$ implique $(y-x)=-(f(y)-f(x))$ donc contradiction
Les points de concours éventuels sont donc …Soit $ a \in\, ]0,1[$ alors $f_n(a) =a^{2n+1}\exp(a)$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
On en déduit qu'à partir d'un certain rang $x_n>a$, cela étant vrai pour tout $ a \in\, ]0,1[$, la limite est 1Ce n'est pas une égalité mais un équivalent, car y tend vers 0 d'où l'équivalent de $\sin^2(y^2/2)$Déjà on peut simplifier par $ t^2+2$,
la fraction s'écrit $ \frac{ t^3}{(t^2-2)(t^4+4)}+\frac {1}{t^4+4}= \frac{ t^3}{(t^2-2)(t^4+4)}+\frac {1}{(t^2-2t+2)(t^2+2t+2)}$.
Dans la première, changement de variable et décomposition en éléments…$u_n=\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n n}$ donc $u_n= \frac{1}{\sqrt{n}} + o(\frac{1}{\sqrt{n}})$
La série est donc divergente ...
[Il ne s'agit pas de la série de l'énoncé ! AD]
Edit : c'est bien la même série mais j'ai fait u…Joyeux Noël à tous !Essaie sur le site http://concours-maths-cpge.fr/Ils sont sur le serveur de fichiers de l'union des professeurs de spéciales : concours-math-CPGE.frPour le 161 en écrivant la relation $A^{-1}BA=-B$ on déduit que le polynôme caractéristique de B est pair et, bien sûr ,celui de A doit l'être aussi . C'est nécessaire mais je n'ai pas(pas encore ?) montré que c'est suffisant .Et en continuant les IPP on a les termes suivants ...
Bonjour!
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