Réponses
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Oui, c’est exactement ce que j’ai compris de votre suggestion.Le mystère de monotonie de cette suite vient d’être enfin levé. Merci infiniment pour votre soutien.
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Je crois qu’il faut juste considérer que 0<x<1 au lieu de x>0 ( d’ailleurs un<=2 donc vn<=1). Ainsi 1<=t-1 , de même, f est décroissante (pour la variable t) car la dérivée a le même signe que ln x qui est <0 vu que x<1.S’il vous plait,
le passage f(n,v(n))<=f(n,v(n-1)) exige que f soit croissante ([en la] variable x) ce qui n’est pas le cas si on étudie le signe de la dérivée (par rapport à x) ou bien est-ce que je n’ai pas compris quelque chose. Me…Il semble que la décroissance commence avec u2 et u3Merci de m’avoir rassuré que ce n’est pas facile à montrer.Merci beaucoup pour la preuve de convergence vers 1, mais j’ai vraiment séché pour démontrer sue (un) est décroissante, je n’ai rien trouvé.Pardon mais il semble que la formule v(n+1)/v(n) contient une erreur , c’est plutôt :
v(n+1)/v(n)= (1/v(n)+1) (v(n))^ (-1/n) et là ce n’est plus évident de montrer que le quotient est plus petit que 1.Voici la formule plus clairement:
La suite est décroissante à partir du rang 2 si je ne me trompe pas.C’est que j’ai calculé (u(n+1)-1)/(u(n)-1) .Effectivement, c’est ce que j’ai essayé de faire, ceci m’a conduit à montrer que (u(n))^(n+1)-(u(n))^n-1>0
ce que je n’arrive pas encore à montrer.
Merci de m’aider.Merci beaucoup pour cette explication détaillée, je comprends mieux maintenant.je viens de ma part de trouver le (1/2) qui s’est perdu à côté de |u(n-1)-u(n-2)| , je n’ai pas eu recours à la fonction, j’ai juste fait des manipulations et encad…S’il vous plait, j’ai trouvé le (4/5)^(5/2) dans mes calculs, mais par contre je n’ai pas trouvé le 1/2 à côté de |u(n-1)-u(n-2)| , et je ne vois pas aussi pourquoi la série est convergente. Merci de votre aide.Votre piste de résolution semble parfaite, je vais essayer tout de même de la comprendre en détail. Merci beaucoup.Tout à fait, il s’agit bien de la deuxième expression, merci pour votre confirmation de la limite.Y a-t-il alors une idée pour montrer sa convergence.Merci pour votre éclaircissement.dans Approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel Commentaire de Sara1993 March 2023Par la famille des meilleurs approximations, vous désignez peut-être les réduites dans les fractions continues?dans Approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel Commentaire de Sara1993 March 2023Je ne cesse de me demander pourquoi ce problème n’a pas pu avoir de solution !!!
J’ai suivi la discussion sans pouvoir avancer d’un pas, est ce qu’il faut complètement abandonner la question, je resterai alors toujours sur ma soif .Si seulement on pouvait comparer cette somme infinie à la somme de 2^(n^2) .peut-être que je dis n’importe quoi.J’ai essayé d’avoir un encadrement de u(n+1)-(u(n))^2 et j’ai essayé aussi de faire apparaitre y(n+1)-y(n) pour mais rien n’a marché.J’ai remarqué que
u(n+2)=u(n+1)^2+u(n)u(n+1)-(u(n))^3
est ce que cela permet de faire avancer les choses?Cet énoncé m’est juste parvenu par un ami dans le cadre d’échanges d’exercices de défi.Merci pour le lien concernant la série d’Engel.Voici l’énoncé en détail. Je viens de rectifier la valeur de u3.Puis-je avoir une idée sur cette série?Je viens de montrer que J(2n+1)=0 mais par un autre changement de variable : t=-x+2n+2.Merci de m’avoir donné l’idée du changement de variable.
pour J(2n), vraiment aucune idée.Pour n impair, vous dites : “ des changements de variables” , est-ce que c’est si compliqué que ça ?Merci de votre aide.Je vois, effectivement vous avez raisonné différent de moi, je comprends très bien la démarche maintenant.
Merci beaucoup pour votre assistance .Pardon mais r^5<=r^4+…entraine que r<=x que si l’on suppose que r>1 , car on aura:
r^5<=( r^5-1)/(r-1) .Normalement ce raisonnement nous conduira à conclure que r=x si l’on suppose que r>1, mais où est alors la contradict…J’ai bien compris l’idée d’utilisation de Q1(X) et Q2(X) pour que Q1(X) puisse avoir exactement 4 racines différentes deux à deux puisque Q2(X) aussi, mais obtenir l’inégalité du théorème de Rouché n’est pas encore évidente pour moi , et aussi pourq…Pardon mais je n’arrive toujours pas à faire le bon choix pour $f$ et $g$ afin d’appliquer le théorème de Rouché, est-ce que $f(z)=P(z)$ et $g(z)=z^5-1$ ?Bonjour,
je reste émerveillée face à l’ensemble des solutions proposé par LOU16, et par le fil de discussion, je ne serais pas arrivée toute seule à ça !!!
Merci beaucoup pour cet enrichissement.
Bonjour depasse,
j’avais compris que c’étaient les seules solutions.
Merci pour l’éclaircissement.Bonjour,
je n’ai pas eu l’occasion de voir ce problème sur le forum, je reste toujours curieuse pour savoir pourquoi ces solutions sont les seules , quelle piste dois-je suivre pour arriver?
Merci d’avance.Oui, vous avez tout à fait raison, ça marche aussi avec ces nombres, mais alors comment peut-on trouver tous les nombres ?🤔🤔🤔Alors alpha=-1 deviendra un cas particulier de l’exercice que vous venez de proposer. Et alors c’est plus intéressant.Oui mais là c’est assez simple je crois, car il suffit d’appliquer le théorème des accroissements finis sur chacun des intervalles [0, a/(a+b)] et sur [a/(a+b),1] .Vous voulez peut-être écrire f’(x)≠0 sur [0,1/2[ , oui dans ce cas l’assertion est fausse, c’est que f’ n’est pas continue en 1/2 donc non continue sur [0,1] , mais dans l’énoncé f est de classe C1 .La réponse bien sûr est oui pour l’exemple que vous avez donné, mais le problème pour moi est ce qui est écrit en haut, je m’explique, Phi(c,d)= af’(d)+bf’(c)-(a+b)f’(c)f’(d) >0 si f’(c) <1 et f’(d)<1 à condition qu’ils soient tous les deux…Ce qui me dérange encore est le fait que le signe de f’(x) n’est pas donné par les hypothèses. Si d’ailleurs f’(x)<0 pour tout x , l’assertion est impossible . Si f’(x)>0 pour tout x, le raisonnement précédent tient parfaitement, mais si f’(x)…Donc si f(x)=x pour tout x , l’assertion est évidente.
Et s’il existe un réel x tel que f(x)≠x, alors la considération de min f’(x)<1 entraine que max f’(x)>1. Merci beaucoup pour votre aide.
Bonjour!
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