Réponses
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Certains lauréats (prix, mentions, accessits) des années 90 m'ont dit n'avoir résolu que trois exos sur les cinq (mais je n'étais pas dans le jury!).
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En 2015, pour l'exercice 2 (arithmétique), l'un des candidats avait une solution fausse à peu près à chaque ligne (calcul, signe, légères omissions de cas...), mais en reprenant toutes les idées, dans le même ordre avec des calculs justes, ça d…L'équipe de 2015
Vincent Bouis, Florent Noisette, Félix Breton, Colin Davalo : ENS puis recherche.
Adrien Lemercier, Julien Portier : X
Plusieurs ont des pages linkedin pour en savoir plus.Pour être chef de délégation …Ah oui, j'avais lu "intervalle" et pas la partie "de la forme..."
$f(x) = x$ si $x \in \mathbb{Q}$$f(x) = x-1$ si $x \notin \mathbb{Q}$ ?Ou alors, on veut obtenir $n+1$ lancers identiques avec une pièce équilibrée et on raisonne selon le rang d'arrêt $p+1$, qui ne peut dépasser $2n+1$ (d'après le principe des tiroirs). Il s'agit de répartir les $n$ lancers qui ont donné le même …Pour la 2), c'est toujours parce que l'on parle d'entiers entre $1$ et $1987$. Dès qu'on utilise $f \circ f$, on dépasse $1987$.Ce n'est donc pas un "ou bien" c'est un soit l'un soit l'autre.
Pierre.Bonjour
Si $f(k) = g^m(n)$ alors, pour cause d'injectivité, on a $k = g^{m-1}(f(n)) = f(n)+1987(m-1)$.
Puisque $f(n) \in \mathbb{N}^*$ et que $k \in\{1,2, \dots , 1987 \}$, cela ne peut arriver que pour $m-1 \leq 0$.Pour le…Juste qu'il y a peut-être un lien entre $P$ et $Q$...et que le $b$ dont il est question provient de $P$.
Pierre.Il ne s'agit pas d'un polynôme quelconque, mais d'un dont la courbe contient les quatre sommets d'un carré ABCD.Pierre.Je ne vois pas en quoi le 3) est une conséquence du 2).Moi, j'aurais plutôt dit que $n+x_i = 1+1 + \cdots + 1 + x_i \geq (n+1)(x_i)^{1/(n+1)}$ (via 1)).Puis multiplié toutes les inégalités.Pierr…On a $f(f(0))=1$ et $f(1)=f(f(f(0)))=1-f(0)$.S'il existe $a$ tel que $f(a)=0$ alors $f(0)=1$ et donc $f(1)=0$.Mais $f(1)=f(f(0))=1$. Contradiction.Ainsi, $f$ ne s'annule jamais et on en déduit facilement que $f$…A la description de JLT, on peut ajouter que la participation française a été initiée par des personnes comme Denis Gerll, André Warusfel et Claude Deschamps, tous professeurs à LLG, ce qui explique le biais important sur l'origine scolaire de…C'est un énoncé qui apparaît dans le dernier numéro du Coin des Problèmes de Quadrature...Pierre.dans Entiers représentables par (ppcm(a,b)+ppcm(b,c))/ppcm(a,c) Commentaire de PierreB December 2022Pour le problème de Quadrature, voir fichier ci-joint.
Pierre.Pour le problème initial de $10$ droites et $20$ intersections, il suffit de choisir $7$ droites parallèles, disons horizontales, puis une droite $D_1$ verticale. Elles déterminent $7$ points d'intersections. On choisit une droite $D_2$ ni vert…Pour info
- Dans Quadrature, pb. E-367, pour $n \geq 3$, les entiers $k \in \{0,1, \cdots, n\}$ pour lesquels il existe $n$ droites du plan qui déterminent exactement $k$ points d'intersections sont $k=0$, $1$, $n-1$ et $n$.
- Pour le…Chaurien va bien, il est juste débordé par des travaux à son domicile. Il reviendra sur le forum dès que possible.
Une solution de George Evagelopoulos apparaît dans le livre de Ross Honsberger "From Erdös to Kiev", p.239-241.Essentiellement, c'est une récurrence sur $n$.
Par contre, la suite des $x_i$ est supposée décroissante.
Pierre.…Cet énoncé est issue de la liste courte OIM 1997.La conclusion reste valide pour des puissances $m \geq 2$ et $n \geq 2$ avec $m$ en $n$ premiers entre eux.De plus, la conclusion n'est plus assurée si $m$ et $n$ ne …@Verdurin : Tu veux sans doute dire centre du cercle circonscrit au lieu d'inscrit, mais oui.Des points alignés sont des points qui appartiennent à u…La suite est donnée au départ, elle contient une infinité de points. Qu'ils soient distincts est une évidence à laquelle le jury n'a pas osé demander de justification.Pierre.En quoi ?On considère une suite donnée de points ayant une propriété particulière.On demande juste de prouver que, sous ces hypothèses, on peut toujours affirmer un truc. Le toujours peut apparaître redondant, mais il n'es…Ce n'est pas une coquille du tout.Reste à savoir quel pourcentage de candidats va y répondre.L'an dernier, lorsqu'on demande de prouver qu'une suite vérifiant $\displaystyle{u_{n+1} = \dfrac{e^{u_n}}{n+1}}$ est à termes st…Joli problème, surtout si je ne me suis pas gouré
Bon alors, l'inégalité à prouver est équivalente à $\displa…On suppose en effet que $f$ est injective afin de la définir sur $\mathbb{R}$.On vérifie facilement que $f(1)=1$, que $f(0)=0$, que $f(-1)=-1$ puis que $f$ est impaire.Puisque $\dfrac{x+y}{x-y}$ est homogène, on en déduit …Par contre, concernant le problème polonais, tout triplet $(a,b,c)$ peut se transformer en $(x,0,0)$ (je considère par ailleurs que la position du $x$ est sans importance) en une suite finie d'opérations.On note tout d'abord que l'on…On peut même aller jusqu'à dire Paul.dans Nouvelles parutions chez Cassini (mise à jour printemps 2022) Commentaire de PierreB December 2021De façon générale, les solutions d'élèves retenues sont celles ayant été reconnues comme complètes.Par contre, ont été re-rédigées de façon à les rendre aussi claires que possibles.Pierre.Il a été mon premier colleur, en sup... et c'est le seul dont j'ai retenu le nom. Pas du tout terrorisant, mais très déstabilisant, d'autant que première colle oblige, on ne savait pas trop à quoi s'attendre. Je me souviens qu'il nous avait par…Bonjour,
le livre a connu plusieurs annonces de parutions erronées. C'est pourquoi il apparaît parfois sous le titre "2006-2018" ou "2006-2019", qui ne correspondent pas à la réalité. Le livre définitif et existant est celui qu…
Bonjour,
c'est effectivement le cas (pas de solution en entiers premiers entre eux et $xyz \neq 0$).
C'est un cas particulier de la conjecture de Beal, Granville et Tijdeman-Zagier. Je ne sais pas s'il existe une approche plus simp…La conjecture initiale est fausse pour $n \geq 4$.
Pour $n = 4$, on peut choisir $a_0 = 3$, $a_1=5$, $a_2=6$ et $a_3 = 7 < 2^3$.
Par récurrence, on peut alors, à partir d'une suite strictement croissante et adéquate $a_0, \cdots ,a_{n…$2(a^2+bc) = 2a^2 + 2bc \leq 2a^2 + b^2 + c^2$ et pareil pour les deux autres facteurs.
Pierre.Bon, ok, ils sont 4 je crois à avoir gagné une médaille d'or à 13 ans. Au nombre de jours, c'est Tao qui gagne.
https://en.wikipedia…Il me semble que le "petit" péruvien de 2011 devait aussi avoir 13 ans :
https://en.wikipedia.org/wiki/Raúl_Chávez_Sarmiento
Il a aussi gagné les t…
Bonjour!
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