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Soit $a\in\Q$. En fait, j'ai réussi à trouver une paramétrisation d'un ensemble infini de solutions rationnelles de l'équation
$$(\mathcal{E}_a) \ :\quad wxyz(w+x+y+z)=a$$
L'idée est d'essayer de trouver une égalité polynomiale de l…Sinon, une investigation informatique permet d'obtenir les solutions suivantes de $(E_4)$ :
$\left(\dfrac{1}{6}\,;\dfrac{1}{3}\,;2\,;2\right)$ , $\left(\dfrac{1}{6}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;3\right)$ , $\left(\dfrac{1}{12}\,;\dfrac{1}{4}…Notons $(E_n)$ l'équation à solutions $(x_1\,;\cdots\,;x_n)$ dans $\mathbb{Q}^n$ :$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k=\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_k}\,.$$ Grâce à l'égalité $27^5+84^5+110^5+133^5=144^5…Pour tout $t\in\mathbb{Q}$,
$(x\,;y\,;z)=\left(\dfrac{6 t^3 (t^4-2)^2} {(4 t^4 + 1) (2 t^8 + 10 t^4 - 1)}\,; \dfrac{ 3 (4 t^4 + 1)^2} {2t (t^4-2) (2 t^8 + 10 t^4 - 1)}\,;\dfrac{ 2 (2 t^8 + 10 t^4 - 1)} {3t (4 t^4 + 1)}\right)$Il semble qu'il y ait aussi beaucoup de solutions où $x$ est l'inverse d'un entier. Outre les précédentes, il y a :
$\left(\dfrac{1}{204}\,;\dfrac{24}{17}\,;\dfrac{34}{3}\right)$ , $\left(\dfrac{1}{336}\,;3\,;\dfrac{147}{16}\right)$ , $\left(\d…Pensez-vous qu'il existe des solutions $\left(x\,;y\,;z\right)$ de l'équation d'étanche différentes de celle de JLT mais moins "monstrueuses" que les précédentes ?
Edit : oui, et il y en a une flopée ! Par exemple $\left(\dfrac{1}{6}\,;\…En utilisant le raisonnement de LOU16, on peut voir que si les entiers strictement positifs $a$, $b$, $c$ et $d$ vérifient $a^4+b^4+c^4=d^4$ (il y a une infinité de solutions avec $a$, $b$, $c$ et $d$ premiers dans leur ensemble[*] : voir …Chouette ! Ça paraît tellement simple lorsqu'on lit ta solution !Oh mais oui ! Merci beaucoup, c'est parfait !(Quote) Quelque chose me chiffonne (certainement à tort !). Est-il impossible que $q$ divise $b$ ?Soient $a\approx0,518$, $b\approx0,648$ et $c\approx0,857$ les trois racines réelles du polynôme*
$P=-4x^{15}+28x^{14}-112x^{13}+302x^{12}-626x^{11}+1032x^{10}-1396x^9+1571x^8-1476x^7+1159x^6-752x^5+396x^4-164x^3+50x^2-10x+1,$
$u\approx2,…(Quote) Je pense que oui.
Notons $p_n=\lfloor {\sqrt {(n-1)!}} \rfloor \times \lfloor {\sqrt {(n+1)!}} \rfloor$.
Il est assez simple de voir que $p_n-n!\sim\frac{(n-1)!}{2}$.
Sauf erreur, en minorant très grossièrement, on obtient…@JLT Deux fois mieux que moi
Comment pro… (Quote) Contrexemple : $\left\{\sqrt{12!}\right\}\approx0,10518114164$.
(Quote) C'est-à-dire $\{\sqrt{n!}\}>\frac19$ ?(Quote) Qu'appelles-tu $\gamma$ ? J'imagine qu'il ne s'agit pas de la constante d'Euler qui vaut environ $0,577$... Et comment prouves-tu un tel résultat ? As-tu une référence ? Merci.
Effectivement. Le problème est la condition $b>1$.Bonjour
Bravo à LOU16 pour l'ensemble des solutions.
Cela me fait penser au problème proche suivant :
(Quote) L'ensemble des solutions est plus simple à décrire : il s'agit des couples de la forme $(F_{2k-1},F_{2k+1})$ pour $k\…Si $n\equiv 0\,[4]$ (resp. $n\equiv 2\,[4]$), prendre $p=\dfrac{n}{2}-1$ (resp. $p=\dfrac{n}{2}-2$).Je suis désolé pour le dérangement, sauf erreur, je viens de m'apercevoir que le résultat se démontre vraiment très simplement en utilisant le théorème des restes chinois.
Soit $\alpha$ le produit des facteurs premiers de $a$ qui ne divisent pa…J'ai posté une démonstration ici (au bas du fil) : démoMerci Ga? pour ta réponse. N'étant hélas pas familier de la notion de caractéristique d'Euler, je dois dire que ta preuve me dépasse un petit peu. N'y a-t-il pas une façon de présenter les choses plus "élémentaire" ?:-( Personne ?Toto :
Montrer qu'il existe un réel $y$ dont le nombre total d'antécédents par $f$ est un entier impair.
[Inutile de répéter le message précédent. AD]
Bonjour!
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