Réponses
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Salut @gebrane , je n'y suis pour rien dans la preuve. J'ai recopié. Avec des questions intermédiaires, l'exo devient accessible.
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Bonsoir
J'arrive un peu tard voire trop tard. J'étais bien incapable de trouver une preuve et depuis 2 ou 3 semaines j'avais peu de temps.Bravo aux contributeurs, inégalités partielles incluses. Cette inégalité est bluffa…En voyant la nouvelle version je suis tombé par hasard sur ce fil.Bon courage Gebrane et prompt rétablissement complet.Merci Chaurien !
J'avais le vague souvenir d'une somme de carrés... et de $u_{43}$ !C'est un peu vague "deux fois dérivable par rapport à $t$" non ?
J'imagine que c'est pour récupérer la condition initiale ?Quelle régularité pour $u_m$, $u$ ?Vu qu'il y a unicité, qu'est-ce qui en empêche ?Ne connaissant pas l'EDP étudiée, ça va être impossible de répondre. Mais il y a des choses, juste les mots clefs (en anglais) dans un moteur de recherche...Qu'est-ce que $<\cdot,\cdot>_V$ ? un produit scalaire ?Par contre si on passe à du $L^\infty$ et à l'intégrale de Lebesgue, l'hypothèse $L^\infty$ n'est pas suffisante car l'intégrale $\int_0^{+\infty} f(t+a)-f(t)dt$ n'est pas forcément définie.merci pour le livre. En ces temps d'enseignement à distance, pour des QCM j'avais rédigé quelques exos avec une correction juste (j'espère) parmi plusieurs corrections fausses (j'espère). Ce n'est pas facile à faire (je veux dire des corrections jus…Merci Gebrane. Apprécier et taquiner ne sont pas incompatibles !
C'est bientôt l'heure du goûter !Bonjour
Pour savoir si c'est vrai, j'étudierais $g_\varepsilon$ en remplaçant $f$ par $f+\varepsilon$, puis faire tendre $\varepsilon$ vers 0.Bonsoir
Il faudrait tout de même préciser les hypothèses sur $a_0$, $a_1$...
Sinon il y a une erreur dans la fonctionnelle à minimiser, remplacer $v$ par $u_\varepsilon$.
Avec les hypothèses d'ellipticité de $a_0$ (j'imagine) auxqu…De rien. Finalement c'est Gebrane qui avait besoin d'aller déjeuner (:P)Bonjour
Si la question est : (1) implique-t-elle (2) ?
la réponse est oui (faire $t$ dans $]0,1[$ puis $t$ dans $[1,+\infty[$) ou alors je suis miro et mieux vaut que j'aille déjeunerIl faut tout d'abord transformer cette EDO (dimension 2, ordre 2) en une EDO d'ordre 1 (dimension 4). Ensuite on applique la méthode d'Euler...À ma connaissance rien de bon. Il suffit de voir l'EDO $y'=y^2$ pour s'en convaincre.
Il y a des versions de Gronwall mais avec des exposants $\leq 1$, j'avais aperçu cela dans le livre de Cazenave-Haraux sur les équations d'évolution semi-lin…La dimension 1 pose problème, car c'est $L^1$. Prendre $u_n$ paire, continue, $0$ sur $]-\infty,-1/n]$, $u_n(0)=1$, affine sur $[-1/n,0]$. Il me semble que $u_n$ vérifie les hypothèses mais $u_n$ ne tend pas vers 0 faiblement dans $W^{1,1}$ (à cause…@Gebrane : désolé si j'ai mal compris.Mais peut-être que pour $N=1$ il y a un souci (manipuler $L^1$, la dualité)....Ici il n'est pas demandé de cv pp du gradient. Uniquement convergence faible. Je n'ai pas écrit les détails, mais il me semble que c'est juste une histoire d'identification de limites et que la limite faible si elle existe est forcément égale à zéro…@Gebrane : ici pour ton exemple le $u_n$ n'est pas $W^{1,1}$ ?La suite est bornée dans $W^{1,N}(\R^N)$ ?
Si c'est bien le cas il faut jouer avec la convergence faible, les théorèmes d'injection compacte (en se plaçant sur un borné), des suites extraites...Ce qui suit n'a rien d'original
cas 1 : $\text{supp}(u)\subset[\varepsilon,1-\varepsilon]$ avec $0<\varepsilon<1/2$. On procède alors par convolution
cas 2 : général. On se ramène au cas 1) avec un choix judicieux de $u_n=G_n(u)$. …@Gebrane : un autre fil sur les Sobolev !@Gebrane :
Les Sobolev ça me fatigue à la fin... C'est pas $H^{1/2}$ mais $H24$ :-D
Mais pour l'énoncé ad-hoc faudra bien s'y prendre ($I$ fermé, le…@Gebrane : sans plus de détail (sur une copie) je dirai non, car $1/t$ n'est pas très régulière... Mais comme $f\geq 1$, oui car on triche en modifiant $1/t$ en une f…Bonsoir
J'arrive un peu tard mais pourquoi ne pas utiliser la règle de la chaîne. Si $f\geq 1$ pp, alors $1/f=\phi(f)$ avec $\phi(r)=\max(0,\min(1,1/r))$ qui est une fonction lipschitzienne ...@Gebrane, désolé j'étais occupé mais oui il me semblait qu'il n'y a pas de pb. Pour le cas réflexif, $Y'$ s'injecte continûment dans $X'$ donc ça devrait fonctionner …Si on prend $X$ et $Y$ des $L^p$ et $L^q$ (ouvert borné) le résultat est vrai ?
(c'est très réducteur comme Banach)Je veux bien un exemple scabreux de Banach... Dans les $L^p$ c'est bien vrai non ?Bonjour Gebrane, j'aurai tendance à dire que oui, non ? (même s'il faut se méfier avec l'identification du bi-dual)Dans le cas limite où $X=Y$ c'est faux en général. La convergence faible-étoile est plus faible que la convergence faible....
Dès que les espaces ne sont pas réflexifs, c'est vite moche. C'était dans quel but ? Avec quels types d'espaces ?Pour le 7) que je n'ai jamais croisé, n'est-ce pas un peu bizarre d'avoir $[-1,1]$ ?
Pour le 5), sauf erreur de la part, regarder $u{n-m}$, $n>m$ en lien avec 4).- pour la question 5), peut-être commencer par démontrer que 0 est une v.a. À partir de 4) et d'inégalités entre $u_n-u_m$ et $u_{quelquechose}$. Une fois que 0 est une v.a., il y a encore une inégalité.
- 6) bien choisir $a$ (irrationn…Bonjour
En général on ne peut pas extraire pour tout $t$ (sinon Aubin-Lions ne servirait à rien) et conclure ($t$ ne vit pas dans un dénombrable). Ici je pense que l'on peut, à une sous-suite près, avoir $u\in L^2(0,T;H^1(\R^d))$, puis e…Pour pouvoir appliquer Lax-Milgram, il faut déjà connaître la formulation variationnelle et donc les espaces en jeu.
Ici je partirais d'une fonction test nulle sur $\Gamma_0$, intégration, IPP et prise en compte des deux conditions sur le bord…L'expression de la fonction change, difficile de répondre.
Donc c'est bien une fonction à valeurs vectorielles et pas à valeurs réelles ? Donc le $0$ n'est pas le $0$ de $\R$ mais le $0$ de $\R^n$ ? Si c'est le cas ce n'est pas $H^{1/2}(\Omega…
Bonjour!
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