Réponses
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Oui c'est ça mais par contre, il semble y avoir une infinité de $k$ impair pour lesquels $\sigma(k) \geq \frac{e^\gamma}{2}\ln(\ln(k))$, d'où une tentative avec $1$ à la place de $e^\gamma$ qui m'a mené au genre d'inégalités dont il est question dan…
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@Bibix
Et pourtant! Ca semble être le cas!
J'ai fait des tests numériques et pour les nombres impairs entre 4097 et 4000000, on a toujours $\sigma(k) &… -
Bahhh on dirait bien que c'est 2 -
@P.2
Oui c'est ça effectivement, par contre il me semble que c'est $e^{-Z}$ plutôt que $e^Z$ dans l'expression. -
@Bibix
Bien vu! Je ne dirai pas que j'ai la prétention de montrer RH, ce serait fixer la barre infiniment trop haut pour mes petites ailes de mathématicien … -
La vraie question est donc de trouver la constante $C$ la plus petite possible vérifiant :$$\forall e < x\leq y,\quad (2y-x)\ln(\ln(x)) < C y\ln(\ln(y))$$On peut vérifier assez facilement que $C=2$ convient mais est-ce optimal ?
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En fait, la véritable inégalité que je voulais montrer est celle-ci :$$\forall e < x\leq y,\quad (2y-x)\ln(\ln(x)) < e^\gamma y\ln(\ln(y))$$Mais je ne savais pas comment m'y prendre avec le $e^\gamma $, alors j'ai essayé de montrer une inégali…
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Et voilà, tout tombe à l'eau! Non seulement coriace mais fausse... Merci à tous pour votre aide.
Cordialement -
Wow! Ok je vais essayer de voir ça. Encore merci!
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Ok je comprend, en dérivant deux fois j'ai trouvé que si $x<17$ alors l'inégalité est vérifiée, mais dans le cas contraire je n'ai aucune idée.
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Peut-être en utilisant la convexité de $x\mapsto x\ln(\ln(x))$ ? Et donc que la fonction est au dessus de toutes ses tangentes.
Etant donné qu'on cherche l'inégalité $f(x,y)>0$ pour $x$ et $y$ "proches"... -
Merci pour ta réponse Bibix, en effet si $y \geq e^{{(\ln(x))}^{4/3}}$, le résultat vient facilement.
Pour le cas $y < e^{{(\ln(x))}^{4/3}}$, j'ai dérivé par rapport à $y$ la différence, voici ce que j'obtiens:
Si $f(x,y) = 3y\ln… -
Mes excuses, je viens de voir que j'ai posté ma question dans la rubrique arithmétique, ce qui n'a rien à voir avec l'arithmétique...
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Oups nos messages ont du se croiser ^^ Mes excuses.
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Bonjour Paul
Oui, tu as raison, j'ai simplement déduit des informations contenues sur la page wikipédia que $M_{M_{19}}$ n'est pas premier.
Cependant, la première colonne du tableau indique le rang des nombres de Mersenne, ai… -
Mais avouez tout de même qu'ils ont l'air a priori plutôt rares ces contre-exemples !
Si des gens sont motivés, j'ai trouvé une liste des nombres qui vérifient la propriété jusqu’à 1499962847419, il faudrait voir si parm… -
Bonjour à tous et merci pour vos réponses.
Le suite A069051 nous donne effectivement les nombres qui sont premiers et qui vérifient p(p-1) divise 2^p - 2.
Mais la question … -
Ah oui Chaurien, au temps pour moi, il faut rajouter un "-1" dans chaque puissance de deux, merci.
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Yes! le premier est bon (selon Wolfram Alpha), merci de ton aide.
Une autre conjecture qui tombe à l'eau... -
Ok merci Math Coss!
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De façon plus explicite, si on note $n=p_1p_2p_3$ où $p_1,p_2$ et $p_3$ sont premiers et distincts, il faut qu'on ait :
$p_1\mid 2^{p_1}-1$
$p_2\mid 2^{p_2}-1$
$p_3\mid 2^{p_3}-1$
$p_1p_2\mid 2^{p_1p_2}-1$<… -
Tout d'abord, merci pour ta réponse Math Coss.
Les nombres que tu as donné ont tous 3 diviseurs premiers distincts: ça c'est ok.
Ils vérifient que chaque diviseurs premier $p$ est tel que $p | 2^{\frac{p-1}{2}}-1$: ça c'est… -
J'ai oublié de mettre le lien wikipédia sur les super-nombres de Poulet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_et_supernombre_de_Poulet
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Ah c'est bon j'ai trouvé!
En fait c'est vrai et ça se démontre directement avec le théorème d'Euler:
https://fr.wikipedia.org/wi… -
On pourrait même conjecturer que:
"Pour tout entier naturel impair n, il existe un entier naturel k non nul et strictement inférieur à n tel que n divise (2^k - 1)"
Bonjour!
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