Mickaël
Mickaël
Réponses
-
Intéressant. D'ailleurs la caractérisation du sinus de cette sorte est plutôt simple à voir avec Paley-Wiener il me semble, du coup les deux preuves (la tienne et celle par transformée de Fourier) ne sont pas si éloignées.
-
Excellent comme exercice ! A mon avis l'examinateur n'avait pas en tête la méthode fouriesque. Est-ce que quelqu'un a réussi à adapter une preuve sans Fourier pour le cas de $f'(x)=f(x+3)$ par exemple ?
L'exercice est vraiment bien car il est … -
En fait tu as presque tout compris :
Tu as obtenu $$\mathbb{P}(|\int_0^{T^p} (...)- \int_0^{T^p}(...)|>\varepsilon) \leqslant o(1)$$
donc maintenant la proba que $\int_0^{T^p}$ diffère de $\int_0^t$ est majorée par la proba que $T_p \… -
Oui le théorème est vrai avec la convergence p.s., je me demande seulement s'il existe un moyen facile de passer d'une convergence en proba à la convergence p.s. dans ce cas précis, qui ne demande pas énormément de travail. Je vais regarder les réfé…
-
@etanche : as-tu le fichier avec les exercices "sans étoile", comme ça on pourrait résoudre des exercices qui ne seront pas corrigés ?
-
Une variante pour le 1 : $f$ atteint son minimum $M_0$ en $m_0$ par exemple. Alors on a $m_0=0$, sinon $f(f(m_0-1))<f(m_0)$.
Maintenant plutôt que de montrer que $M_0=0$, on prend le minimum suivant $M_1$, atteint en $m_1$ par exemple, alor… -
Je suis d'accord avec john_john et Guego, cet exercice me semble hors contexte, la solution n'utilise pas du tout le contenu du programme de prépa. C'est assez déroutant en plus, je ne sais pas ce que cherche à évaluer l'examinateur sinon la capacit…
-
@totem : tu confonds facile avec classique à mon avis !
-
Je me suis toujours demandé si cet exercice peut se faire sans montrer que $f$ vérifie l'équation fonctionnelle donnée. Est-ce que quelqu’un saurait faire ?
-
@Magnéthorax est-ce vraiment le but de ce forum de lui fournir des solutions ... je ne sais pas. En tout cas les exercices sont suffisamment sophistiqués (i…
-
Magnéthorax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2123210,2123494#msg-2123494
> Quel est l'intérêt pour … -
Merci ! Donc apparemment ce n'est peut-être pas évident...
-
@gimax : effectivement, je n'avais pas du tout compris ce que tu as dit de cette façon !
Avec une telle proposition on se confronte aux objections qui ont trait à… -
@mathspe Merci beaucoup !
-
gimax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2110924,2112734#msg-2112734
> Mon idée serait la suivante : F… -
En fait je voulais utiliser ça puis Hölder, mais ça ne marche pas, je m'étais encore trompé dans les calculs. Tu ne veux toujours pas me dire d'où cet exercice est tiré, c'est agaçant.
Prenons $n=2$ et essayons de construire un contre ex… -
J'ai parlé trop vite, la version duale de Stein-Thomas ne semble rien donner. Il vient d'où l'exercice ?
En fait Hölder et Hausdorff-Young donnent bien que la fonction considérée par l'énoncé est toujours $L^2$. Mais cet exposant $2(n+1)/(n+3)… -
D'où vient l'exercice ? Par le théorème de Thomas-Stein, une telle fonction est nulle, donc la réponse est non. On aurait même pu demander des trucs plus farfelus.
-
Il faudrait retrouver l'article original d'Euler, mais a mon avis il a été malin, en remarquant (comme tu dis "homogénéité") que l'équation se réécrit de façon linéaire :
$$\frac{d^2y}{(dt/t)^2}+3\frac{dy}{(dt/t)}+5y=0\,,$$
ce qui suggèr… -
Pour le contrôle de la partie entre $1$ et $\infty$ on utilise juste $u \geqslant 1$ sauf sur les deux premiers morceaux du produit et on écrit
$$\int_1^{\infty} (\cdots)du \leq \int_1^{\infty} \frac{du}{(1+u)(1+u/2) \prod_{k=3}^n (1+1/k)}.
Je commencerais par remettre tout à l'échelle $1$. Plus précisément, on a $\mathcal{F}^{-1}u_R(x)=R^{d}\mathcal{F}^{-1}u(Rx)$ et donc
$$\|\mathcal{F}^{-1}(u_R)\|_{L^p}^p = R^{dp}\|\mathcal{F}^{-1}(u)(R \cdot)\|_{L^p}^p=R^{dp-d}\|\mathcal{F}^{-…Bonjour,
$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{k=1}^n(1+x/k)} \simeq \int_0^1 {\prod_{k=1}^n(1+x/k)} = \int_0^1 \exp\Big(-\sum_{k=1}^n \log(1+x/k)\Big)dx
$$ et
$$\int_0^1 \exp\Big(-\sum_{k=1}^n \log(1+x/k)\Big)dx \simeq \int_0^1 \exp\Bi…C'est étonnant que le problème 6 n'ait été résolu par si peu de candidats. Le problème n'est pas simple, mais certaines solutions proposées sont vraiment très simples !(Quote) Internet n'est pas fait que pour les autres !
Pour répondre à l'auteur de la question, une rapide recherche internet donne ce document : dans Les fonctions Commentaire de Mickaël October 2020Oui tu peux.Si c'est le $n-1$ ce n'est rien, $v_{n+1}-v_n$ ou $v_n-v_{n-1}$ c'est pareil.Est-ce que tu vois la démarche pour poser la suite $\frac{1}{u_n^2}$ pour obtenir un équivalent de $u_n$?Pourquoi ne pas considérer $v_n:=\frac{1}{u_n^2}-\frac{n}{3}$ et étudier $v_{n}-v_{n-1}$ ?Voici le fond de l'histoire : il s'agit de contre-exemples aux cas limites des inégalités de Strichartz. Qu'est-ce donc ?
La question est d'étudier les solutions $(u,\partial_t u)$ de $(\partial_t^2-\Delta u)=0$ (en dimension $d \geqslant 2$) …L'exemple était $f(x)=|x|^{-2}\log(|x|)^{-1} \mathbf{1}_{B(2e_3,2)\setminus B(e_3,1)}$ et pour la preuve on estime $\{|x|\sim 2^{-k}\} \cap \left(B(2e_3,2)\setminus B(e_3,1)\right)$ qui a pour mesure (volumique) $\sim 2^{-4k}$, alors que l'intersect…Il y a un fil assez récent où un intervenant (BobbyJoe il me semble) expliquait que de façon générale
$$\sum_{n \geqslant 0} e^{-a_nt} = \int_0^{\infty}\left\vert\{n,\,; a_nt \leqslant s\}\right\vert e^{-s}\,\mathrm{d}s$$
pour toute suit…Très bien, je vois mieux ce que tu fais alors, tu approches la calotte par un cercle, c'est dommage que ça ne marche pas. Je rédigerai tout à l'heure une solution.
Il y a des contre-exemples bien plus compliqués à trouver. J'essaierai d'…Alors je n'ai pas réussi à vérifié ton "$\approx$" et puis je ne comprends pas ce que tu entends par $B_{\mathbb{R}^2}\times\{0\}$ ... on est passé d'une intégrale 2d à 3d ? Peux-tu m'éclairer ?
En revanche, c'est bizarre parce que quand…Calli, merci de nous corriger ! Je n'avais pas encore lu ton message. Au moins ça exclu tout un tas d'exemples !
Pour avancer, disons qu'on souhaite garder l'idée directrice qu'il y a des fonctions dont le carré est intégrable au voisinage d'u…@Tryss : c'est un exemple très simple et qui marche bien ! oups j'ai mal lu... cf le message de Calli ci-dessous.
Calli cherchait à obtenir un contre-exempl…Cette deuxième tentative me plaît bien. Par contre ta fonction $f$ n'est pas $L^2$, il me semble que dans le carré $f^2$ tu as oublié de mettre le $n^3$ au carré, non ?
Cela dit, je pense qu'on peut réadapter ton exemple. Malheureusement, une i…Bonjour Calli,
Je suis vraiment désolé, j'ai oublié un facteur $t$ dans la définition de $u$ ... cela change la donne.
Cela dit, le contre-exemple connu n'est pas si compliqué, mais je ne le comprends pas complètement du coup je demande …Le théorème de Lévy auquel je fais référence est le suivant : le théorème de Lévy
Quand je parle de gaussiennes, le résultat standa…Il ne faut pas espérer une preuve vraiment "super simple", de toute façon cet exo est la partie "difficile" du fait que une limite de variables gaussiennes est une gaussienne. C'est plus ou moins une version du théorème de Lévy (et une application d…@zestiria : en fait c'est $u_n$ que tu changes en $y(t)$. L'équation $yy'=t^{-\alpha}$ n'est pas linéaire, pas de "variation des constantes" ici. En revanche tu peux…