Réponses
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Merci @jandri
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On trouve aussi dans LA FONCTION ζ D’APRÈS RIEMANN le schéma suivant
Comme exemple, considérons la fonction $\zeta$ de Riemann définie par l'intégrale sur le contour de Hankel $C_1$ de la manière suivante : $$\zeta(z)=\frac{\Gamma(1-z)}{2i\pi}\int_{C_1}\frac{s^{z-1}}{e^{-s}-1}\text{d}s.$$…jandri : As-tu des références (articles) qui parlent ou traitent de la formule $$\frac{1}{x^n}+\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{(x+k)^{n}}+\frac{1}{(x-k)^…Très belle formule. Bravo !
A première vue, ça ne marche pas pour $n=2$ et $n=3$. Est ce que $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière inférieure ?
Probablement, ces polynômes $P_n(X)$ sont liés d'une manière ou d'une autre aux polynômes eulériens $A_n(X)$. Dans l'expression explicite, on voit l'apparition des coefficients des $A_n(X)$ (pas tous).
jandri : Je ne vois pas la raison de distinguer les cas pair et impair. Oui, on peut le dire.Il existe une formule explicite générale qui donne…D'après le développement d’Euler de $\cot(\pi x)$, à savoir $\frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n+x}-\frac{1}{n-x} \right)=\pi\cot(\pi x)$,$$\frac{1}{\ln(2)}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \fr…john_john : Je rectifie la grave erreur
dans Calcul historique de $\zeta(2)$ par Euler
Commentaire de L2M
December 2023
Pour $\cos(x)$, ça donne $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.$$
Pour la fonction holomorphe $g(z)=e^z-2 = -1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\dots$ Cette fonction possède une seule racine $x_0=\ln(2)$. Mais $\frac{1}{\ln…@cargol : Peut-on généraliser la formule des sommes des inverses des racines à une série entière? En particulier à une fonction entière.La premi…Il suffit de faire une simple substitution pour tomber sur un système à deux inconnues.On parle ici de la topologie induite. Merci.
gerard0. Je comprends très bien maintenant.JLapin : Ok. Oui c'est absolument ça la cause de la confusion.
J'ai appris quelque chose aujourd'hui. Merci.Il y a aussi cette référence : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./e/extremum.html
Tu as dit :1) Pas "sur un intervalle quelconque", sur un voisinage de $a$ dans $D$.
$-$ La notion de voisinage $V$ de $a$ (en maths) suppose l'existence d'un intervalle ouvert …D'après votre définition : Un extremum local en $a$ est un extremum sur un intervalle quelconque contenant $a$.Voici la définition sur laquelle je m'appuie.
Soit $f$ une fonction réelle à variable réelle définie sur un ensemble $D$, et $a\in D$.
$-$ On dit que $f$ atteint en $a$ un maximum local s'il e…
D'accord. Merci.Je n'arrive pas à voir, par un contre-exemple, pourquoi la réciproque n'est pas vraie.Selon mes connaissances, les extremums locaux d'une fonction correspondent aux pics et aux creux de la courbe de cette fonction.
Oui, je l'ai merci.
Il y a une grande confusion. La définition d'un extremum local dans le PDF est complètement différente de celle que je connaissais.
Voir la définition dans dans Points d'inflexions et monotonie Commentaire de L2M December 2023Je sais bien ce qu'est un extremum local et un extremum global. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu dis que "... en −3 tu as un extremum local, ..."zeitnot a dit : Par rapport à ta dernière remarque, en −3 tu as un extremum local, observes-tu un changement de variation ?zeitnot : Quel est l'extrémum dans la courbe qui ne correspond pas au changement de variation ?
ev : ... et si on ajoute locaux !Les extremums locaux se trouvent aux points où la courbe change de variation.La courbe de $f$ est convexe. Elle n'admet pas de points d'inflexions. Je te présente les clés de la réponse :
$-$ Tu montres que pour tout $x>-1$ ($x\not=0$), $$f''(x)=\frac{h(x)}{x^3(x+1)^2}=\frac{xh(x)}{x^4(x+1)^2},$$ où $h(x)=2(x+1…Comme la fonction $x\mapsto x^3$.Tu peux utiliser le cas particulier suivant.
Propriété. Si la dérivée d'une fonction dérivable s'annule en un point $a$ et ne change pas de signe en ce point, alors sa courbe admet un point d'inflexion en $A(a,f(a))$.$-$ Les extremums se trouvent aux points où la courbe change de variation.$-$ Les extremums locaux se trouvent aux points où la courbe change de variation.$-$ Les points …Une Intelligence artificielle payante !
Les définitions des suites $(v_n)_n$ et $(w_n)_n$ imposent que $(u_n)_n$ soit à valeurs réelles.
Une petite remarque. D'après wolframalpha, on au…En détaillant ce qu'a dit LOU16 : $$\oint_{\gamma_{u,a}}e^{-z^2/2}dz=\int_{0}^{a}e^{-x^2/2}dx+i\int_{0}^{u}e^{-(a+it)^2/2}dt+\int_{a}^{0}e^{-(x+iu)^2/2}dx+i\int_{u}^…
etanche : Tu es très fort en psychologie !
Ok. Je me suis déjà posé la question ici il y un an. Que fait etanche par toutes ces réponses ? Je m'en doutais.Ma réponse est fausse @bibix l'a déjà signalé. C'est qu…
Bonjour!
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