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Réponses
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@gebrane : $p-1=2k$ où $k$ est un entier ...
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Si $m$ et $k$ sont des entiers naturels tels que $k$ est impair et au moins égal à $3$, alors $v_2(\binom{2^mk}{2^m})=\dots$
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(Quote) La deuxième égalité est fausse, on trouve plutôt : $-1+s(k)+s(n-k)$, ce qui conclut permet immédiatement de conclure. Pourquoi ?
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(Quote) J'ai alors cru bien faire en postant cette proposition ; en effet, pour $k\in\N^*$, si $k+2$ est pair, alors $k+2=2t$ avec $t\in\llbracket2,k+1\rrbracket$ et : $$v_2(k+2)=v_2(t)+1, \quad s(k+1)=s(2t-1)=s(2(t-1)+1)=s(t-1)+1 \quad \text…
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Pour tout $n\in\N^*$, $$s(2n)=s(n) \quad \text{et} \quad s(2n+1)=s(n)+1.$$
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@LOU16 : Il me semble qu'il faudrait supprimer les "$\int_{-\pi}^{\pi}$" dans la dernière ligne de votre message précédent.
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Et pour la première formule de @LOU16, on peut fixer $u$ et considérer la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(t)=\left(1-tu\right)\mathrm \exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty}…
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@gebrane : j'ai voulu montrer que les résultats bien connus sur les noyaux itérés suffisent. Pas de théorème du rang, pas de polynôme caractéristique, pas de "si…Sauf erreur, $(BA)^{n+1}=0$ suffit, merci @jandri ! Supposons $(AB)^{n-1}\neq 0$ et $(BA)^{n-1}\neq 0$. On a : $$\{0\}\varsubsetneq \ker B\subset \ker AB\varsubse…Par contre, la solution de 11.(b) proposée me semble nettement meilleure dans l'autre corrigé. J'avais bien aimé ce sujet et l'avais cherché. Je recopie ici ma solution pour cette question, sans récurrence, si cela peut intéresser quelqu'un.Bonjour
Vous aviez peut-être TexMakerX sur votre ancien PC et non TexMaker.Sans \makeatletter avant "\newcommand{\nvParagraphe}{", lorsque le texte de remplacement de \nvParagraphe est saisi directement dans le document, @ est une lettre grâce au \makeatletter, donc TeX définit la macro interne \ dans Problème pour choisir le nom d'une référence Commentaire de Audeo August 2022Bonjour,
Cela semble fonctionner en plaçant "\makeatletter" devant "\newcommand{nvParagraphe}{" (et "\makeatother" après l'accolade fermante).Bonjour,
Peut-être en redéfinissant \contentsline de la façon suivante dans le préambule, après \usepackage{hyperref} :
\let\oldcontentsline\contentsline
\renewcommand{\contentsline}[4]{\oldcontentsline{#1}{\color{#1}#2}{\color{…Soit $n$ un entier naturel et $a,b$ des réels strictement positifs. Rappelons l'inégalité de Bernoulli : pour tout entier $N\geq 1$, pour tout réel $q>0$, $q^N\geq 1+N(q-1)$. En prenant $N=2^n$ et $q=\frac{b^2}{a}$ : $$\frac{b^{2^{n+1}}}{a^{…On en déduit l'existence d'un réel $c>0$ tel que $\dfrac{u_n}{n^{n+1/2}\mathrm e^{-n}}\to c$. On peut alors conclure avec les développements limités.Bonjour,
Partant de $\dfrac{n!}{n^{n+1/2}\mathrm e^{-n}}\to\ell\,'>0$, j'obtiens que la suite en question tend vers $\mathrm e^{-1}$.Bonjour,
Finalement, on peut montrer que $f$ est continue sur $\R$ et en déduire que $f$ est dérivable sur $\R$ et que $f\,'=f$.
Ce fil rejoint dans Continuité d'une fonction à variable réelle Commentaire de Audeo August 2021Bonjour,
Le numéro 120 est sorti il y a déjà quelques temps. Disons que l'on attend le numéro 121 qui, sauf erreur de ma part, aurait dû paraître au début de ce mois. Pour le reste (numéros épuisés), je pense à un problème du site de la …Pour montrer que $I_n\to I$, on peut procéder comme suit : Comme $\int_n^{+\infty} \mathrm e^{-t}\ln t\mathrm dt\to 0$, il suffit de montrer que :$$D_n:=\int_0^{n} \left(\mathrm e^{-t}-\biggl(1-\frac tn\right)^n\,\biggr)\ln t\mathrm dt\xrightarrow[n…Bonjour,
Autre possibilité pour le calcul de $I=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t}\ln t\mathrm dt$ (le lemme 1 de Chaurien) suite …@hunter** : Je pense aussi que Dedekind93 conclut par convergence dominée. Sinon, on peut observer que pour tout $x\in[1,2]$, $$\left\lvert\frac{\varepsilon}{\ma…@Julia Paule : Attention, c'est $\varphi_n(s)=\int_n ^{n+1} (\dfrac{1}{n^s}-\dfrac{1}{x^s}) \mathrm dx$ et non $\varphi_n(s)=\int_1^{+\infty} (\dfrac{1}{n^s}-\dfrac{1}{…Bonjour,
Comme $(u_n)$ est de limite nulle, $\sum_{k\geq n} (u_k-u_{k+1})$ converge et a pour somme $u_n$. Et comme $(v_n)$ converge vers $v$, $\sum_{k\geq n} (v_{k+1}-v_k)$ converge et a pour somme $v-v_n$.Moi aussi je trouve cela intéressant, il fallait y penser !Bonjour,
Dans ce fil, il est mentionné une autre méthode où la difficulté, s'il doit y en avoir une, est absorbée par le théorème des fermés emboîtés.Si $f''\geqslant 0$, alors $f$ est convexe et majorée (car bornée), donc constante, et sinon, $(-f)''\geqslant 0$, $-f$ est convexe et majorée (car $f$ est bornée) donc constante, d'où $f$ constante.@MrJ : Merci ! (tu)@MrJ Soit un entier $1\leq k\leq n$. Soit $x\in\mathopen[\frac{k-1}n,\frac kn\mathclose[$. Il existe un réel $c$ strictement compris entre $x$ et $\frac kn$ tel que $$f(…Bonjour,
Il me semble que c'est bon.
Pour tout $\alpha>0$, soit $M(\alpha):=\sup_{\substack{u,v\in[0,1]\\\lvert u-v\rvert\leq \alpha}}\lvert f''(u)-f''(v)\rvert$. Comme $f''$ est uniformément continue sur $[0,1]$, $M(\alph…Bonjour,
D'après la deuxième formule de la moyenne, il existe $c\in[A,nA]$ tel que $$\int_A^{nA}\frac{\cos x}{x}\mathrm dx=\frac{1}{A}\int_A^c\cos x\mathrm dx$$ d'où $\displaystyle \left\lvert\int_A^{nA}\frac{\cos x}{x}\mathrm dx\right\r…Évidemment je rejoins Thierry et marsup. Grâce à votre travail, Brian, ce sous-forum est devenu une référence pour toute question concernant LaTeX.
Je m'interrogeais simplement sur le "Bla bla : 1)" dans le troisième "bloc" de "retraits …Justifiez l'existence d'un réel $c_1$ tel que $$f(a)=f\left(\frac{a+b}2\right)-\frac{b-a}{2}f'\left(\frac{a+b}2\right)+\frac{(b-a)^2}{8}f''\left(\frac{a+b}2\right)-\frac{(b-a)^3}{48}f'''(c_1).$$Bonjour,
Il doit être possible, pour $c_1$, de travailler sur $[\frac{a+b}{2},a]$.Bonjour,
Autre construction possible par les suites :
1. Inégalité de Bernoulli : pour tout $n\in\N^*$, pour tout $x\in\mathopen]-1,+\infty\mathclose[$, $(1+x)^n\geq 1+nx$.
Pour tout $n\in\N^*$ et tout $x\in\matho…Bonsoir,
On peut aussi s'en sortir en partant comme cela : $$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=\mathrm e^x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1})=\mathrm e^x\biggl(1-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1})\biggr).$$ Ajout : D'où $$\ln\biggl(…Bonjour,
On peut introduire la fonction définie sur l'intervalle $[0,2]$ par $f(t)=d(t+2)-d(t)$ et calculer $f(0)+f(2)$.