Résultats surprenants en mathématiques
Bonjour à toutes et à tous
Je propose de faire un fil où chacun puisse donner des résultats mathématiques étonnants et/ou contre-intuitifs !
Je commence avec trois résultats que je trouve amusants :
1. La somme de deux convexes de $\R^2$ de frontière $\mathcal C^\infty$ a une frontière de classe $\mathcal C^6$ mais pas $\mathcal C^7$ en général (en fait on n'a pas mieux que $\mathcal C^{20/3}$).
2. Une variété différentiable homéomorphe à $\R^n$ est difféomorphe à $\R^n$, sauf pour $n=4$.
3. On a les sept égalités suivantes \begin{align*}
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x & = \frac{\pi}{2}; \\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2}; \\
&\cdots \\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3} \times \cdots \times \frac{\sin(x/13)}{x/13}\,\mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2}; \\
\text{Mais cependant }\hspace{8cm} &\\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3} \times \cdots \times \frac{\sin(x/15)}{x/15}\,\mathrm{d}x& = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\end{align*} À vous de jouer !
Je propose de faire un fil où chacun puisse donner des résultats mathématiques étonnants et/ou contre-intuitifs !
Je commence avec trois résultats que je trouve amusants :
1. La somme de deux convexes de $\R^2$ de frontière $\mathcal C^\infty$ a une frontière de classe $\mathcal C^6$ mais pas $\mathcal C^7$ en général (en fait on n'a pas mieux que $\mathcal C^{20/3}$).
2. Une variété différentiable homéomorphe à $\R^n$ est difféomorphe à $\R^n$, sauf pour $n=4$.
3. On a les sept égalités suivantes \begin{align*}
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x & = \frac{\pi}{2}; \\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2}; \\
&\cdots \\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3} \times \cdots \times \frac{\sin(x/13)}{x/13}\,\mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2}; \\
\text{Mais cependant }\hspace{8cm} &\\
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{\sin(x/3)}{x/3} \times \cdots \times \frac{\sin(x/15)}{x/15}\,\mathrm{d}x& = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\end{align*} À vous de jouer !
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Réponses
Le centre de gravité d'un triangle isocèle est aux 2/3 de son axe.
Le centre de gravité d'un triangle isocèle est aux 3/4 de son axe. (Archimède)
Si $F(P,V,T)=0$ est une surface où chacune des variable est fonction implicite des deux autres$^1$, alors
$$\dfrac{\partial P}{\partial V}\times\dfrac{\partial V}{\partial T}\times\dfrac{\partial T}{\partial P} = -1 \quad \text{ et } \qquad \dfrac{\partial P}{\partial T}\times\dfrac{\partial T}{\partial V}\times\dfrac{\partial V}{\partial P} = -1.$$
(mon prof de thermo)
e.v.
$^1$ C'est-à-dire tout le temps ! (mon prof de thermo)
1) Il suffit d'ajouter à $\mathbb{R}$ une solution à l'équation $x^2+1=0$ pour pouvoir résoudre toutes les équations polynomiales (autrement dit, $\mathbb{C}$ est une clôture algébrique de $\mathbb{R}$).
2) Il existe une courbe $C^{\infty}$ dense dans le plan.
3) Il existe un espace métrique contenant deux boules $B_1(r_1) \subsetneq B_2(r_2)$ avec $r_1>r_2$.
4) Dans un espace vectoriel normé de dimension infini, le complémentaire d'un compact est connexe par arcs.
5) La sphère $\mathbb{S}^{\infty} = \{(x_1,x_2, \dots) \in \mathbb{R}^{\infty} \mid \sum\limits_{i \geq 1} x_i^2 =1 \}$ est contractile.
6) Il est possible de retourner une sphère (cf. la vidéo The sphere Inside Out sur youtube).
7) Il existe un espace topologique connexe $X$ contenant un point $p$ tel que $X \backslash \{p\}$ devient totalement discontinu.
8) La rigidité des fonctions holomorphes est également surprenante : une fonction holomorphe est automatiquement analytique, est nécessairement constante si elle est bornée, etc.
9) L'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans $C^0([0,1])$ (pour la norme sup).
10) Il existe un graphe dénombrable $G$ tel que la probabilité qu'un graphe dénombrable aléatoire soit isomorphe à $G$ soit 1 (cf. graphe de Rado).
11) Si $P$ est une proposition du premier ordre pour les graphes, alors la probabilité pour qu'un graphe aléatoire fini vérifie $P$ vaut 1 ou 0 (dans la même idée que le point précédent).
12) L'ensemble des matrices diagonalisables est de mesure pleine dans $M_n(\mathbb{C})$ (et en particulier dense).
13) Le groupe $(\mathbb{R},+)$ peut être muni d'une topologie de groupe compact.
14) Un groupe libre de rang fini (>1) contient toujours le groupe libre de rang dénombrable (infini).
15) Soient $\gamma$ une courbe fermée simple dans le plan et $T$ un triangle. Alors le domaine délimité par $\gamma$ contient un triangle similaire à $T$.
16) Tout domaine du plan délimité par une courbe fermée simple contient un rectangle.
17) Théorème de Pick : Soit $P$ un polygone du plan dont les sommets sont à coordonnées entières. Notons $b$ (resp. $i$) le nombre de points à coordonnées entières qui sont au bord (resp. à l'intérieur) de $P$. Alors l'aire de $P$ vaut $i+b/2-1$.
18) Il n'existe de mesure définie sur tous les ensembles du plan.
Alors pour moi (j'aurais mis le 2 de Héhéhé, mais il est déjà pris) :
- existence d'hyperplan dense dans des ev de dimension infinie ; maintenant, je m'y suis habituée, mais quand j'ai découvert ça dans mes jeunes années (ça devait être en L2 ou L3), ça m'a scotchée...
- existence du retournement de la sphère : là ça me scotche toujours !
@ ev : sympa tes exemples !
EDIT : j'avais pas encore vu le post de Seirios...
> @Héhéhé : As-tu une source pour le premier
> résultat ? Merci.
Oui, voir Kiselman, Smoothness of vector sums of plane convex sets
Citons quand même un exemple (qui est dans le papier) de régularité $\mathcal C^{20/3}$ exactement : la somme de l'épigraphe de $x \mapsto x^4/4$ et de l'épigraphe de $x \mapsto x^6/6$.
- Le phénomène de bifurcation de Poincaré
- Courbe qui remplit un carré
- Existence de propriétés indécidables
- Mécanique relativiste et quantique.
PS: On ne pourra jamais retourner une sphère ! essayez sur un ballon
Je ne sais pas je vais regarder.
@ AitJoseph
Si, si, c'est possible.
1) La suite de Conway.
2) L'algorithme de Brent-Salamin pour $\pi$.
3) La constante de Khintchine
4) Le théorème d'Apéry.
Peux-tu préciser le numéro18?
Les autres sont jolis, mais sont-ils vraiment surprenants?
Voici un énoncé surprenant: "il existe des énoncés surprenants"
Pour les autres numéros, savoir s'ils sont ou non surprenants, c'est surtout une question de sensibilité mathématique. De la même manière, je ne suis pas nécessairement surpris par d'autres résultats énoncés dans ce fil.
e.v.
2) Que la distribution des nombres premiers soit gouvernée par la position des zéros non triviaux de $\zeta$, situés dans une région où cette fonction n'est pas définie initialement, et sans qu'on soit foutu de démontrer depuis plus de 150 ans que ces zéros sont alignés...
je propose des résultats mathématiques pas forcément surprenants mais intéressants :
il s'agit de la comparaison de séries dont le terme général est lié successivement
aux entiers naturels, aux entiers impairs et aux entiers premiers
à propos des entiers premiers je considère que $1$ en fait partie
comme on l'admettait dans les années 1960 (voir les livres de Lespinard et Pernet)
premières séries très classiques : il s'agit de la série alternée des inverses (dont la convergence est implosive)
$0,69314718.... = ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ...........+ \frac{(-1)^{n-1}}{n} +.......$
$0,785398163..... = \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - ..............+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} + ........$
$0,7305..... = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ...........+ \frac{(-1)^q}{p_q} + ........$
avec $p_q$ le qième entier premier
secondes séries moins classiques : il s'agit de la série alternée des nombres eux-mêmes (dont la convergence est explosive)
$\frac{1}{4} = 1 - 2 + 3 - 4 + .............. + (-1)^{n-1}n + ..........$
(démonstration simple avec la dérivée de la série géométrique liée à $\frac{1}{x+1}$)
$0 = 1 - 3 + 5 - 7 + .......... + (-1)^{n-1}.(2n-1) + ..........$
(démonstration là aussi avec la dérivée de la série géométrique liée à $\frac{1}{1 + x²}$) et enfin
$- 1,27156...... = 1 - 2 + 3 - 5 + .............+ (-1)^{q - 1}p_q + ...........$
(calculé par utilisation de l'équivalent analytique $p_q \sim q.ln(q) + q$)
troisième séries (de Bertrand) : il s'agit de la série alternée des logarithmes (donc la convergence est explosive)
$0,225791352.... = \frac{1}{2}ln\frac{\pi}{2} = ln2 - ln3 + ln4 - ln5 + ..............+ (-1)^nln(n) + ..........$
(la démonstration peut se faire avec les intégrales de Wallis ou encore par la fonction Gamma)
$0,39159439..... = ln\frac{2\omega}{\sqrt{\pi}} = ln3 - ln5 + ln7 - ln9 + ........... + (-1)^nln(2n - 1) + ..........$
avec $\omega$ la constante de la lemniscate (la démonstration là aussi peut se faire par la fonction Gamma)
$0,592 486 22..... = ln2 - ln3 + ln5 - ln7 + ln11 - ln13 + .......... + (-1)^qln(p_q) + ............$
(le calcul se fait par utilisation du même équivalent que précédemment)
on constate dans la série alternée des nombres eux-mêmes
que la limite décroît avec la densité des nombres parmi les entiers
avec un résultat négatif concernant la série des entiers premiers
on constate aussi dans les séries des logarithmes
que la limite croît avec la densité des nombres parmi les entiers
mais il est difficile d'en tirer des conclusions
cordialement
je trouve surprenant que $(-2)\times(-3)=nombre$.
En dehors de l'algébrisation de $d=v\times t$, je ne vois aucune notion du monde sensible susceptible d'utiliser ce genre d'égalité.
S
2) Dans un quadrilatère complet, les milieux des 3 diagonales sont alignés, les orthocentres des 4 triangles sont alignés et les 2 droites ainsi définies sont orthogonales.
3) Soient C et C' deux cercles, avec C à l'intérieur de C'. On part de P sur C', on trace une tangente a C passant
par P et on prend le point d'intersection avec C', on recommence en partant de ce nouveau point et ainsi
de suite. Si la suite de points de C' ainsi définie est périodique pour un P, alors elle l'est pour tout P.
4) Les suites de Goodstein http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Goodstein tendent vers 0.
Et un truc auquel j'ai jamais cru : la trace d'une matrice est invariante par changement de base.
$0,1000001000002000005000014000042000132000429001430 \cdots$
On y voit les premiers nombres de Catalan (suite A000108 de l'OEIS)
$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430$
$142857 * 2=285 714$
$142857 * 3=428 571$
$142857 * 4=571 428$
$142857 * 5=714 285$
$142857 * 6=857 142$
$142+857=999$
$14+28+57=99$
$142857*7=999999$
$142857*142857=20408122449$ et $20408+122449=142857$
- Le fait que le théorème fondamental de l'algèbre n'ait pas de preuve algébrique. (En fait ce n'est pas si étonnant que ça car $\R$ donc $\C$ sont quand même d'essence analytique mais quand même!).
- Le fait qu'il n'y ait pas d'algèbres à division de dimension finie sur $\R$ autres que $\R$, $\C$ les quaternions et octonions et que cette question en apparence algébrique se résoud en fait par de la topologie très sophistiquée.
- L'existence d'un nombre fini de groupes sporadiques dans la classification des groupes finis simples.
- L'apparition en physique d'objets de nature a priori purement mathématique typiquement issu de la théorie des nombres. Ex: le Monstre en lien avec la théorie des cordes, les nombres polyzetas qui apparaissent en lien avec la théorie conforme des champs ou les intégrales associés aux diagrammes de Feynmann, les groupes de Galois qui apparaissent via les algèbres de fusion en théorie conforme des champs.
- L'existence et les propriétés du mouvement brownien. En particulier, le fait qu'alors qu'on parte d'un truc on ne peut plus régulier (la densité de la loi normale), pour arriver à une mesure de caractère universel sur $C^0(\R_+;\R)$ où les fonctions différentiables sont de mesure nulle.
Bien sûr, je ne donnerais pas en premier la définition donnée par Ga?, qui est sans doute réservée pour le haut du panier des algébristes, et qui ne met pas en lumière tout l'intérêt de ces nombres. Il me semble qu'elle est dans ma liste de 15 mais je n'en suis pas certain, tant elle me semble anecdotique. Il y a des définitions bien plus parlantes pour le matheux moyen.
Je ne pense pas que Catalan et Lucas voyaient ainsi ces nombres.
Bonne soirée.
RC
Bien à vous.
Ca se discute. Bien sûr il y a de l'analyse, mais on peut la circonscrire au fait que le corps des réels est ordonné, que tout élément positif a une racine carrée et que tout polynôme de degré impair a une racine.
A partir de là on peut faire une démonstration purement algébrique et bien connue.
[large]Question philosophique: Pensez-vous qu'un résultat mathématique surprenant n'est plus surprenant dès que l'on connaît une preuve de ce résultat ?[/large]
@Ga. Il me semble que la démonstration que tu cites utilise de façon essentielle le théorème des valeurs intermédiaires qui est quand même fondamentalement topologique (l'image d'un connexe par une application continue est connexe). Mais encore une fois j'ai personnellement accepté le fait qu'il n'y ait pas de preuve purement algébrique car la définition de $\R$ ou $\C$ elle même n'est pas purement algébrique. Le côté surprenant vient en grande partie de l'appellation "théorème fondamental de l'algèbre".
Bonne nuit.
RC
Pas facile non plus de définir ce qu'on entend par surprenant (mot émotif), mais peut-être que c'est "inattendu" et que c'est moins vague de le dire comme ça.
Regarde le cas du théorème de Wedderburn ("tout corps fini est commutatif"). Si je me souviens bien "la" preuve utilise des théorèmes de Sylow qui ne sont pas simples. Si on déroule la preuve en une succession de trivialités, y compris la preuve des théorèmes de Sylow qu'on utilise, ça fait une sacrée longueur.
Le truc surprenant c'est que quand on ne connait que la définition d'un corps, on est vraiment coincé si quelqu'un nous pose cet exercice. L'énoncé du théorème est élémentaire, mais la preuve utilise des connaissances poussées et des constructions intelligentes. Et après ça le résultat est-il moins surprenant ?
Un exemple de preuve avec laquelle le résultat n'est plus surprenant c'est quand on démontre le résultat en question comme cas particulier d'un fait bien plus général et pas trop difficile (je n'ai pas d'exemple précis).
- un mouvement brownien
- la filtration d'un processus stochastique
- une martingale dans une filtration
et une fois qu'on connait ces notions on comprend sans peine le théorème suivant :
- toute martingale dans la filtration d'un mouvement brownien est continue
Pourtant, pour quelqu'un qui n'a pas de connaissances plus poussées que ça en calcul stochastique, ce théorème est sidérant. Mais pour quelqu'un qui sait que toute martingale dans la filtration d'un brownien a une représentation en intégrale stochastique, c'est immédiat.
Une parenthèse ouvrante correspond à un déplacement de 1 vers le haut sur la grille, et à une descente d'un étage vers la gauche sur le parcours d'arbre. Une parenthèse fermante, à un déplacement de 1 vers la droite et à une descente d'un étage vers la droite (je dis ça pour Raymond, parce que je crains qu'il ne comprenne pas sinon).
S'il y a plus de soixante interprétations combinatoires des nombres de Catalan, il est bien évident qu'il existe des démonstrations du fait que ces divers dénombrements sont régis par les mêmes nombres.
Je suis navré d'enfoncer ainsi des portes ouvertes, mais apparemment elles ne le sont point pour tous.
En particulier, je connais bien les démonstrations de l'équivalence des trois-quatre définitions qui ont ma préférence. Peut-être les connaissais-je, que Ga? n'était pas né.
Ce que je voulais dire, c'est qu'il ne me semble pas opportun de définir ces nombres par je ne sais quels arbres à noeuds et tout ça, alors que les parenthèses, les triangulations, les trajets, c'est quand même plus parlant pour démarrer.
Ensuite, on peut étaler ses vastes connaissances dans les soixante et quelques autres interprétations.
Ouf ... fatigue du sens ...
RC
[size=x-small]Auriez-vous donc la goutte à l’imaginative ?
Edmond Rostand[/size]
Heureusement qu'il y a le "peut-être", sinon ces deux phrases seraient contradictoires.
Je la trouve en tout cas bien adaptée pour trouver l'équation $S=1+xS^2$ dont la série génératrice des nombres de Catalan est solution, et c'est bien de ça dont il était question avant que Raymond tienne à nous faire partager son aversion des arbres binaires.
Mon propos, c'était de souligner que l'équation n'est que la réécriture de la définition du type $B$ "arbre binaire" :
Un des problèmes des dialogues sur Internet, c'est qu'on ne connaît pas l'âge de l'interlocuteur. Je conjecture que Ga? est un brillant jeune algébriste. S'il est un brillant vieil algébriste, évidemment j'ai tort.
Bon, je vais revoir ça, peut-être suis-je sujet à une arborophobie dommageable - mais qui n'est pas encore illégale en l'état actuel de la législation (:P).
Bonne journée.
RC
> Il est difficile de prouver que $\ln 2$ et $\ln 3$
> sont irrationnels mais il est très facile de
> montrer qu'au moins l'un d'entre eux l'est.
Dans un genre proche, le fait que l'un au moins des nombres $e+\pi$ et $e \pi$ soit transcendant est facile à partir d'un théorème que Ga? m'a enseigné il y a quelques années, mais on ne sait toujours pas lequel des deux l'est (ou si les deux le sont), je crois.