Un jeu avec les réglettes Cuisenaire

Aldo · August 2013

Il n'y a que quelques cas dans les petits chiffres à préciser.

1 - 4 - 2 - 5 - 10 (16)
1 - 4 - 2 - 6 - 10 (15)
1 - 4 - 2 - 7 - 10 (14)
1 - 4 - 2 - 8 - 10 (13)

1 - 5 - 2 - 6 - 9 (15)
1 - 5 - 2 - 7 - 9 (14)
1 - 6 - 2 - 7 - 9 (13)

A partir de 1-5-2-8 ou 1-6-2-8 ou 1-4-2-9, le 3 est gagnant.

jacquot · August 2013

Bonjour,

Voici un tableau récapitulatif:

  [b]n    / Diagnostic            / Stratégie[/b] 
  n<11 / Alice joue n et gagne / 
  11   / [b]Bob gagne[/b]             / complète à 11
  12   / [b]Bob gagne[/b]             / complète à 12 ou à 9
  13   / Alice joue 1 et gagne / complète à 12 ou 13
  14   / Alice joue 7 et gagne / 
  15   / Alice joue 1 et gagne / complète au plus proche de 15
  16   / [b]Bob gagne[/b]             / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,861125#msg-861125]à détailler[/url]
  17   / Alice joue 6 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859862#msg-859862]voir jaybe[/url]
  18   / Alice joue 9 et gagne /
  19   / Alice joue 8 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859869#msg-859869]voir jaybe[/url]
  20   / Alice joue 3 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859853#msg-859853]voir jaybe[/url]
  21   / Alice joue 10 et gagne/ [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860626#msg-860626]11k+10[/url] (Amtagpa)
  22   / [b]Bob gagne[/b]             / Multiple de 11 ([url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859557#msg-859557]jaybe[/url])
  23   / Alice joue 3 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859970#msg-859970]Amtagpa[/url]
  24   / [b]Bob gagne[/b]             / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860124#msg-860124]Amtagpa[/url]
  25   / Alice joue 9 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860194#msg-860194]jaybe[/url]
  26   / Alice joue 10 et gagne/ [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860273#msg-860273]Aldo[/url]
  27   / Alice joue 9 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860740#msg-860740]Multiple de 9[/url] 
  28   / Alice joue 2 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860717#msg-860717]13k +2[/url] 
  29   / [b]Bob gagne[/b]             / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860355#msg-860355]Aldo[/url] 
  30   / Alice joue 6 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860713#msg-860713]12k + 6[/url]
  31   / [b]Bob gagne[/b]             / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860625#msg-860625]Aldo[/url] 
  32   / Alice joue 10 et gagne/ [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860626#msg-860626]11k+10[/url]
  33   / [b]Bob gagne[/b]             / Multiple de 11
  34   / Alice joue 9 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860671#msg-860671]Amtagpa[/url]
  35   / Alice joue 7 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860732#msg-860732]Amtagpa[/url]
  36   / Alice joue 9 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860740#msg-860740]Multiple de 9[/url]
  37   / Alice joue 1 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860894#msg-860894]1 . 2 . 3[/url] . (Aldo) 
  38   / Alice joue 1 et gagne / 1 . 2 . 3 [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860894#msg-860894]ou 1 . 2 . 10[/url]
  39   / Alice joue 10 et gagne/ [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860975#msg-860975]étude Amtagpa[/url] 
  40   / Alice joue 1 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860717#msg-860717]13k +1[/url]
  41   / Alice joue 2 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860717#msg-860717]13k +2[/url]
  42   / Alice joue 6 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860713#msg-860713]12k + 6[/url]
  43   / Alice joue 10 et gagne/ [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860626#msg-860626]11k+10[/url]
  44   / [b]Bob gagne[/b]             / Multiple de 11
  45   / Alice joue 9 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,860740#msg-860740]Multiple de 9[/url]
  46   / Alice joue 8 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,861420#msg-861420]étude Aldo[/url] 8 . 7 . 4
  47   / Alice joue 8 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,861694#msg-861694]7 . 6 . 5[/url]
  48   / Alice joue 7 et gagne / [url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,861694#msg-861694]6 . 5 . 4 . 3[/url]
  49   / Alice joue petit & gagne/ ([url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,861081#msg-861081]Amtagpa[/url]) 
50 à 54/ Alice joue petit & gagne/ ([url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,859398,859557#msg-859557]jaybe[/url])

[ Edit: tableau complété avec les études qui suivent.]

Aldo · August 2013

Merci Jacquot Beau boulot !

Amtagpa · August 2013

Oui merci jacquot pour ce travail !

Pour 38, la stratégie d'Aldo du 1-2-3/9/10 a l'air de bien fonctionner. Peut-être faut-il juste préciser les cas où 3/9/10 sont déjà pris. Si 3 est déjà pris, Alice peut jouer 9 ou 10. Si 9 (ou 10) est déjà pris, Alice peut jouer 3 et à défaut n'importe quelle autre valeur.

Amtagpa · August 2013

jaybe a écrit:

- de 50 à 54, Alice gagne en jouant les plus petites quantités et Bob dépasse à son dernier coup.

Cette méthode fonctionne encore pour 49 il me semble :

1  .  2  .  3  .  4  .  5                &Sigma;
  10     9     8     7                   49
  10     9     8     6                   48  
  10     9     7     6                   47  
  10     8     7     6                   46
   9     8     7     6                   45

jacquot · August 2013

Bonsoir,
J'ai complété le tableau récapitulatif.
Faites-moi des remarques s'il faut le modifier... il reste très peu de cas.

Voici le détail pour le gain de Bob sur 16 :
10 + 6 ou 6 + 10
9 + 7 ou 7 + 9
8 + 4 ou 4 + 8 (reste 4) ... +2 + 1 (1)
5 + 6 (5)
3 + 10 (3)
2 + 1 ou 1 + 2 (13)

Aldo · August 2013

Concernant 46, une première remarque : 46 = (10+9) + (3x9).

Donc, si Alice commence par 10, Bob joue 9 et gagne par la suite en complétant à 9 les coups d’Alice.

Idem, si Alice commence par 9, Bob joue 10 et gagne.

Ce critère reste valable par la suite si deux chiffres ont été joués, dont la somme vaut 9.

Par exemple 6-3 et Alice ne peut toujours pas jouer ni 10 ni 9.

Ou encore (7-2) – (5-4) etc.

Par la suite, j’appellerai ce critère Y

On peut alors se demander si Bob ne gagne pas systématiquement en jouant 9 et 10 à ses deux premiers coups, indépendamment de ceux d’Alice.

Il se trouve que cette stratégie échoue d’un cheveu : toute combinaison de 5 nombres comprenant 9 et 10 est gagnante pour Bob sauf une ! Il s’agit de

10 – 9 – 4 – 7 – 8

L’ordre n’ayant bien sûr pas d’importance.

Appelons ce critère Z.

La preuve du critère Z n’est pas indispensable, il suffit de vérifier que (10 – 9 – 4 – 7 – 8) est gagnant pour Bob.

On en conclut que Alice perd si elle commence par autre chose que 4, 7 ou 8, car alors Bob appliquerait la stratégie 9 – 10.

Encore deux abréviations : A (B) pour Alice (Bob) gagne.

Par exemple BY : Bob gagne en raison du critère Y.

On commence alors à étudier ce qui se passe si Alice commence par 8.

Et la chance est au rendez-vous : Alice gagne en jouant 8.

Voici le détail de toutes les variantes.

8 – 10 – 7 – 9 – 4 (8) AZ

8 – 10 – 7 – 6 – 2 (13) – 5 - 4 (4)
.……….……………… -3 - 5 (5)

8 – 10 – 7 – 5 - 9 (7)

8 – 10 – 7 – 4 - 9 (8) déjà vu (AZ)

8 – 10 – 7 – 3 – 5 (13) – 6 – 4 (3)
………………………...-2 – 6 (5)
…………………………-1 – 6 (6)

8 – 10 – 7 – 2 – 6 (13) – 5 – 4 (4)
………………………..-3 – 5 (5)
………………………..-1 – 5 (7)

8 – 10 – 7 – 1 – 6 (14) – 3 – 5 (6)
………………………...-2 – 5 (7)

8 – 9 – 4 – 10 – 7 AZ

8 – 9 – 4 – 7 – 10 déjà vu

8 – 9 – 4 – 6 – 7 (12) 5 – 3 (4)

8 – 9 – 4 – 5 – 7 (13) – 6 – 3 (4)
……………………...- 2 – 6 (5)
………………………- 1 – 6 (6)

8 – 9 – 4 – 3 – 7 (15) - 6 – 5 (4)
…………………….. – 2 – 6 (7)
…………………….. – 1 – 6 (8)

8 – 9 – 4 – 2 – 7 (16) - 5 – 6 (5)
…………………….. - 3 – 6 (8)
………………… …. – 2 – 6 (9)

8 – 9 – 4 – 1 – 7 (17) – 5 – 6 (6)
…………………….. – 3 – 6 (8)
…………………….. – 2 – 6 (9)

8 – 7 – 10 – 9 – 4 AZ

8 – 7 – 10 – 6 (5) - 4 – 3 (3)
…………….…. – 2 – 4 (4)

8 – 7 – 10 – 4 – 9 AZ

8 – 7 - 10 – 3 (18) – 5 (13) – 6 – 4 (3)
…………………………… - 2 – 6 (5)
…………………………… - 1 – 6 (6)

8 – 7 – 10 – 2 – 6 (13) – 5 – 4 (4)
……………………… - 3 – 5 (5)
……………………… - 1 – 5 (7)

8 – 7 – 10 – 1 – 6 (14) - 4 – 5 (5)
……………………… - 3 – 5 (6)

8 – 6 – 7 – 10 – 5 (10) - 4 – 3 (3)
……………………… - 2 – 4 (4)

8 – 6 – 7 – 9 – 5 (11) – 4 – 3 (4)
…………………….. – 2 – 6 (5)

8 – 6 – 7 – 5 – 9 déjà vu

8 – 6 – 7 – 4 – 10 (11) 5 – 3 (3)

8 – 6 – 7 – 3 – 5 (17) – 10 – 4 (3)
…………………….. – 9 – 4 (4)
…………………….. – 2 – 10 (5)
…………………….. – 1 – 10 (6)

8 – 6 – 7 – 2 – 9 (14) – 5 – 4 (5)
…………………….. – 3 – 5 (6)
…………………….. – 1 – 5 (8)

8 – 6 – 7 – 1 – 10 (14) – 3 – 5 (6)
……………………… - 2 – 5 (7)

8 – 5 – 7 – 10 – 3 (13) – 6 – 4 déjà vu
……………………… - 2 – 6 (5)
……………………… - 1 – 6 (6)

8 - 5 – 7 – 9 – 6 (11) - 4 – 3 (4)
…………………….. – 2 – 4 (5)

8 – 5 – 7 – 6 – 9 déjà vu

8 – 5 – 7 – 4 – 9 (13) – 6 – 2 (5)
…………………….. – 1 – 6 (6)

8 – 5 – 7 – 3 – 10 déjà vu

8 – 5 – 7 – 2 – 6 (18) - 10 – 4 (4)
……………………… - 9 – 4 (5)
……………………… - 3 – 10 (5)
……………………… - 1 – 10 (7)

8 – 5 – 7 – 1 – 10 (15) – 4 – 6 (5)
……………………… - 3 – 6 (6)
……………………… - 2 – 6 (7)

8 – 4 – 10 – 9 – 7 AZ

8 – 4 – 10 – 7 – 9 AZ

8 – 4 – 10 – 6 – 7 déjà vu

8 – 4 – 10 – 5 – 7 (12) – 6 – 3 (3)
……………………… - 2 – 6 (4)
……………………… - 1 – 6 (5)

8 – 4 – 10 – 3 – 7 (14) - 6 – 5 (3)
……………………… - 2 – 6 (6)
……………………… - 1 – 6 (7)

8 – 4 – 10 – 2 – 7 (5) – 3 – 6 (6)
…………………….. – 1 – 6 (8)

8 – 4 – 10 – 1 – 7 (16) – 5 – 6 (5)
……………………… - 3 – 6 (7)
……………………… - 2 – 6 (8)

8 – 3 – 7 – 10 – 5 (13) – 6 – 4 (3)
……………………… - 2 – 6 (5)
……………………… - 1 – 6 (6)

8 – 3 – 7 – 9 – 5 (14) – 6 – 4 (4)
…………………….. – 2 – 6 (6)
…………………….. – 1 – 6 (7)

8 – 3 – 7 – 6 – 5 (17) – 10 – 4 (3)
……………………... – 9 – 4 (4)
……………………… - 2 – 10 (5)
……………………… - 1 – 10 (6)

8 – 3 – 7 – 4 – 10 (14) - 6 – 5 (3)
……………..………. – 2 – 6 (6)
……………………… - 1 – 6 (7)

8 – 3 – 7 – 2 – 6 (20) – 10 - 5 (5)
…………………….. – 9 – 5 (6)
…………………….. – 8 – 5 (7)
…………………….. – 7 – 5 (8)
……………………… - 4 – 10 (6)
…………………….. – 3 – 10 (7)
…………………….. – 1 – 5 (14)

8 – 3 – 7 – 1 – 6 (21) - 10 – 5 (6)
.…………………… - 9 – 5 (7)
……………………. – 4 – 10 (7)
……………………. – 2 – 5 (14)

8 – 2 – 7 – 10 – 6 déjà vu
8 – 2 – 7 – 9 – 4 déjà vu
8 – 2 – 7 – 6 – 9 déjà vu
8 – 2 – 7 – 5 – 6 déjà vu
8 – 2 – 7 – 4 – 9 déjà vu
8 – 2 – 7 – 3 – 6 déjà vu

8 – 2 – 7 - 1 – 6 (22) 10 – 5 (7)
……………………. – 9 – 5 (8)
……………………. – 4 – 10 (8)
…………………… - 3 – 5 (14)

8 – 1 – 7 – 10 – 6 (14) – 3 – 5 (6)

8 – 1 – 7 – 9 – 6 (15) – 3 – 5 (7)
……………………... – 2 – 5 (8)

8 – 1 – 7 – 6 – 9 déjà vu
8 – 1 – 7 – 5 – 10 déjà vu
8 – 1 – 7 – 4 – 9 déjà vu

8 – 1 – 7 – 3 – 6 (21) – 10 – 5 (6)
……………………... – 9 – 5 (7)
……………………... – 4 – 10 (7)
……………………... – 2 – 5 (14)

8 – 1 – 7 – 2 – 6 (22) – 10 – 5 (7)
……………………... – 9 – 5 (8)
……………………… - 4 – 10 (8)
……………………… - 3 – 5 (14)

En espérant qu’il n’y aura pas trop d’erreurs !

Aldo

Amtagpa · August 2013

C'est ok pour 46. En fait, il semble même qu'Alice peut appliquer une stratégie 8.7.4.[6] (sauf pour 8-10-7-9-4-5-3(0)), un peu comme ta stratégie 1.2.3 pour 37.

Avec une légère modification, Alice gagne pour 47 avec une stratégie 8.7.6.[5] (sauf pour 8-10-7-9-6-4-3(0)) :

8	.	7	.	6	.	5		&Sigma;	47-&Sigma;		Restent
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		9		2			47	(0)		1,3,4
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		9		1			46	(1)		2,3,4
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		4		3			43	(4)		1,2,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		4		2			42	(5)		1,3,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		4		1			41	(6)		2,3,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		3		2			41	(6)		1,4,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		3		1			40	(7)		2,4,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	10		2		1			39	(8)		3,4,9
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		4		3			42	(5)		1,2,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		4		2			41	(6)		1,3,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		4		1			40	(7)		2,3,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		3		2			40	(7)		1,4,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		3		1			39	(8)		2,4,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	9		2		1			38	(9)		3,4,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	4		3		2			35	(12)		1,9,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	4		3		1			34	(13)		2,9,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	4		2		1			33	(14)		3,9,10
------------------------------------------------------------------------------------------------
	3		2		1			32	(15)		4,9,10
------------------------------------------------------------------------------------------------

et Alice continue de gagner pour 48 avec 7.6.5.3

À vérifier tout de même..

Aldo · August 2013

C'est ok : vérifié pour 48 avec la stratégie 7.6.5.3.

Jacquot va pouvoir compléter son tableau !

jacquot · August 2013

Bonjour,

Je planchais sur le 46 quand j'ai découvert vos dernières études.
Je m'empresse donc de compléter le tableau.

Pour le 46, je plussoie l'étude d'Aldo.
J'en étais arrivé à la même conclusion avec une approche un peu différente :
même remarque préliminaire : Bob complète à 9 ou à 19 sur tous les coups d'Alice.
Cette stratégie est presque gagnante ... sauf si Alice évite de jouer 10 et 9.
Dans ce cas, Bob doit impérativement jouer 10 et 9 lui-même avant son cinquième coup, sinon il lui reste 10 ou 9 après le cinquième coup d'Alice qui est alors gagnante.
Alice peut profiter de cette obligation de Bob pour anticiper vers une finale à son avantage.

La validation de ce discours demanderait un exposé des variantes comme l'a fait Aldo ci-dessus.

Je n'ai pas étudié le 47 et le 48, mais je vous fais confiance.B-)-
jacquot

jaybe · August 2013

Bravo à tous pour ce beau travail ! Passons à présent au jeu avec des bâtons de 1 à 100 et $l$ compris entre 1 et 5500...

Amtagpa · August 2013

Merci Aldo et jacquot pour vos analyses du 46 (je crois que j'ai fini par comprendre..). En fait la même observation marche pour 47 et 48. Bon il n'y a pas vraiment de structure comme pour 46=9+10+9*3, mais Bob est encore obligé de jouer 9 et 10 lui-même s'il espère gagner. Il suffit donc qu'Alice trouve une stratégie qui fonctionne lorsque Bob joue 9 et 10. Par exemple pour 48, la stratégie 7.6.5.3 fonctionne parce qu'elle marche pour 7-6-5-3-10-9-8(0), 7-6-5-3-10-9-4(4), 7-6-5-3-10-9-2(6) et 7-6-5-3-10-9-1(7) (4 cas à vérifier au lieu de 20, et le temps de vérification est divisé par 5..).

@jaybe, merci pour ce nouveau jeu mais pour ma part, je fais juste ce cas : pour l>=5050, match nul

jacquot · August 2013

@Amtagpa
Pour 48, Alice aura même intérêt à appliquer une stratégie de
6 . 5 . 4 . 3 .
En effet, Bob est obligé de jouer 7, 8, 9 et 10 avant son cinquième coup, car s'il garde une de ces réglettes en main, Alice est gagnante à l'issue de son cinquième coup
Le statégie d'Alice est donc simple: ne jouer aucune de ces valeurs (sauf si toutes les autres ont été jouées) !
De même, je pense que tu peux simplifier l'étude du 47 en appliquant une stratégie de 7 . 6 . 5 . pour Alice, puisque Bob ne peut garder ni 10, ni 9, ni 8 pour son dernier coup.

@jaybe... passons à présent au jeu avec des bâtons de 1 à 100
... On pourra vraisemblablement définir des stratégies gagnantes pour des configurations particulières telle que les multilples de 101 etc.
Mais l'étude complète me semble trop longue (je ne serai pas disponible pour tenir à jour l'inventaire des cas: je repars en vacances...B-)- ).

Amtagpa · August 2013

@jacquot, oui tu as raison. Donc Alice gagne pour 47 avec 7.6.5.2 car 7-6-5-2-10-9-8(0), et pour 48 avec 6.5.4.3 car 6-5-4-3-10-9-8(3) (ou avec 7.6.5.3
car 7-6-5-3-10-9-8(0), ces deux dernières stratégies se valent àmha. Edit : Bon en fait elles ne se valent pas vraiment, car avec 6.5.4.3, Alice a un moyen sûr d'empêcher Bob de jouer 7 et 8 et 9 et 10. jacquot, je t'ai compris, et il est grand temps pour moi aussi de prendre des vacances..).

Pascal Ostermann · August 2013

Je n'ai pas trop envie de me casser la tête avec le problème, mais pour ce qui est de la

"Question subsidiaire : ce jeu est-il connu / porte-t-il un nom particulier ?"

C'est clairement un jeu de Nim.

jacquot · August 2013

Bonjour Pascal,

Ce jeu que nous propose jaybe est de la famille des jeu de Nim, mais il s'agit d'une variante originale.
Pour le jeu le plus connu de cette famille, souvent appelé jeu de Marienbad, il existe une stratégie gagnante basée sur l'écriture binaire des nombres d'éléments de chaque ligne, décrite dans l'article mis en lien plus haut.

Ici, nous avons su définir des stratégies gagnantes dans des configurations-type, mais pas une stratégie unique simple que l'on pourrait appliquer à tous les cas de figure...

Amicalement.
jacquot

Un jeu avec les réglettes Cuisenaire

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