point fixe et théorème de Brouwer

pat1 · April 2002

Voilà il ya plusieurs ennoncé du point fixe :par exemple si f :X-> R et si X est complet et f contractante alors il existe un point fixe . Mais le problème c'est qu'on a vu un autre théorème du à Brouwer qui dit la chose suivante . Soit f : X->X et si X compact,convexe et f continue alors il existe un point fixe. Le premier la démonstration je la connais mais pour le second je l'ai pas trouvée. Surtout je voie pas en quoi la convexité intervient?? Si vous avez une référence ou je peux trouver la démo ou si vous la connaissez ,n'hésitez pas ...

Hyacinthe Lau0 · April 2002

<HTML>Il y a une démonstration sur ce site :
<http://www.les-mathematiques.net/pages/node18.php3#SECTION001116100000000000000>
mais je constate qu'elle n'est pas disponible à l'heure où j'écrit.

En attendant, voici un autre lien :
<http://www.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num4/MonierJME4/MonierJME4.html>

Sinon il y a le bouquin de Stéphane Gonnord & Nicolas Tosel, Thèmes d'Analyse Fonctionnelle pour l'agrégation, Ellipse. La démonstration est de Hervé Pépin ; elle se distingue par sa limpidité : on y voit comment des opérateurs analogues à ceux du calcul différentiel extérieur agissent pour donner ce théorème. (On la rapprochera de celle faite avec le calcul différentiel extérieur et présente sur le site ci-dessus). La convexité intervient pour permettre d'utiliser les coordonnées barycentriques de x et de f(x) (une fois qu'on a réduit le problème à un simplexe).