Norme d'algèbre

poltaj · February 2013

Bonsoir.
Existe-t-il une norme $||.||$ d'algèbre sur $M_n(\mathbb{C})$ telle que $||I_n||=1$ et qui ne soit pas une norme subordonnée à une norme sur $\mathbb{C}^n$ ?

poltaj · February 2013

Je rappelle juste qu'une norme d'algèbre est par définition une "norme sous-multiplicative", c'est-à-dire qu'elle vérifie en plus des axiomes d'une norme classique la propriété $\forall (A ,

\in M_n(\mathbb{C})^2 ,\ \|AB\|\leq \|A\|.\|B\|$.

Magnolia · February 2013

Bonjour

Prends $N(A)=\sup|a_{i,j}|$ pour $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$.

dSP · February 2013

Magnolia : ce que tu proposes n'est pas une norme d'algèbre.

Un exemple valable consiste à prendre le sup entre la norme subordonnée à $\|-\|_1$
et celle subordonnée à $\|-\|_\infty$, autrement dit $N(A)$ défini comme la plus grande somme des modules des coefficients sur une rangée (ligne ou colonne).

Magnolia · February 2013

Oui, j'ai mal lu!

egoroffski · February 2013

Salut dSP,

Est-ce facile de voir que ta proposition n'est subordonnée à aucune norme sur $\C^n$ ?

dSP · February 2013

Si c'était une norme subordonnée, il devrait y avoir deux normes $N_1$ et $N_2$ sur
$\K^n$ telles que $N(X{}^tY)=N_1(X)N_2(Y)$ pour tous $X$ et $Y$ dans $\C^n$.
En prenant des matrices à colonnes toutes nulles sauf une, on prouve que $N_1$ est proportionnelle
à $\|-\|_1$, et de même pour $N_2$. La contradiction s'obtient ensuite assez facilement.

Plus généralement, on peut montrer, grâce à Hahn-Banach, qu'étant donné deux normes $N$ et $N'$ sur un espace vectoriel $E$ (de dimension finie), si les normes subordonnées $N_s$ et $N'_s$ vérifient $N_s \leq N_s'$, alors $N_s=N'_s$ et les normes $N$ et $N'$ sont proportionnelles.

egoroffski · February 2013

Merci beaucoup dSP. Je comprends à peu près le premier argument ; on peut prendre pour $N_1$ la norme de départ et pour $N_2$ la norme duale sur $(\C^n)^*$. Il faut encore que je médite sur la généralisation.

poltaj · February 2013

Bonsoir,
Je n'ai pas compris le premier argument. " il devrait y avoir deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $\mathbb{C}^n$ telles que ..."

egoroffski · February 2013

Salut Poltaj,

En fait il suffit d'écrire la définition de la norme subordonnée à une norme $\nu$ pour voir que dans le cas d'un endomorphisme de rang $1$, de la forme $u \, : \, x \mapsto \varphi(x)e$ ($\varphi \in E^*$ et $e \in E$), la norme subordonnée de $u$ se "factorise" en une partie dépendant seulement de $\varphi$ et une autre dépendant seulement de $e$, et ces deux parties sont des normes sur $E^*$ et $E$.

poltaj · February 2013

Merci. J'ai compris cette partie.
Mais pourquoi $N_1$ serait-elle proportionnelle à $||.||_1$? ...
Edit: Ah, c'est parce que $|||A|||_1=sup\{\sum_{i=1}^n |a_{ij}|, j\in [1,n]\}$!
J'ai compris. Il me reste à trouver la contradiction.
Quelle est-elle?
Il me semble avoir trouvé la réponse:
On note $N_1=\mu ||.||_1$ , $N_2=\lambda ||.||_{\inftu}$.
Donc en prenant la matrice Atilla on trouve $\mu \lambda= \frac{1}{n}$ , alors qu'en prenant une matrice avec une seule colonne non nulle qui ne contient que des $1$, on trouve $\mu \lambda = 1$ !

poltaj · February 2013

J'ai du mal à comprendre comment "on peut montrer, grâce à Hahn-Banach, qu'étant donné deux normes $N$ et $N'$ sur un espace vectoriel $E$ (de dimension finie), si les normes subordonnées $N_s$ et $N'_s$ vérifient $N_s \leq N_s'$, alors $N_s=N'_s$ et les normes $N$ et $N'$ sont proportionnelles."
Pour moi, Hahn-Banach dit que dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé, si on prend $C$ un compact convexe non vide, $C'$ un convexe fermé qui ne coupe pas $C$, alors il existe une forme linéaire $\phi$ telle que $\displaystyle \sup_{x\in C} \phi(x) < \inf_{x\in C'} \phi(x)$.

xp90 · February 2013

Il y a la norme de Schur.

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