sin(x)/x

Vincent7 · January 2005

Bonsoir à tous et merci à ceux qui liront et répondront.
Je dois montrer que la fonction qui à x associe sin(x)/x n est pas intégrable sur l'intervalle [1;+inf[ mais je n'y parviens pas. (par des comparaisons?)
Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci beaucoup.
Vincent.

riri · January 2005

fais un dessin, découpe ton intervalle en sommant sur les bosses, et minore brutalement, ca devrait suffir pr avoir une série divergente

Reï-Vi-Lhô · January 2005

Bonsoir,

L'intégrale $\int_{1}^{+\infty}\frac{sin(x)}{x}dx$ est convergente ! (Il suffit de faire une intégration par parties.).

Amicalement.
Olivier.

riri · January 2005

en prépa : intégrale convergente n'implique pas fonction intégrable... après c'est juste une question de définitions. en prépa c'est : intégrable = asolument convergente.
ptite précision : garde le sin(x) ds l'intégrale qd mm...

Reï-Vi-Lhô · January 2005

Ah oui, en effet... je suppose que cette définition est donnée pour coïncider avec celle de l'intégrabilité au sens de Lebesgue, non ?

Amicalement.
Olivier.

jean Lismonde0 · January 2005

bonjour Vincent

la fonction sin(x) / x est parfaitement intégrable sur l'intervalle [1;+infini]
tu connais le développement polynomial valable quelle que soit x de cette fonction: sin(x) / x = 1 - x²/3! + x^4 /5! - x^6 /7! +......

tu peux intégrer terme à terme puisque le rayon de convergence de la série est infini et trouver la primitive qui s'annule pour x=0 de ta fonction

je rappelle l'intégrale de Dirichlet: int de 0 à +infini de sin(x) / x = pi/2
et la même intégrale calculée de 0 à 1 donne avec la méthode du développement polynomial: 0,946083

tu en déduits ton intégrale calculée de 1 à l'infini: elle est égale à 0,624713.....

cordialement

ook · January 2005

Bonjour,
Effectivement il y a ambiguité. En prépa maintenant on parle d'intégrabilité si
$|f|$ est intégrable. Donc la fonction ne l'est pas.
Pour le voir tu découpes ton intervalle en $(n\pi, (n+1)\pi)$.
Apres il faut montrer que la série $\sum_n \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(x)dx$ diverge.
tu la minores en te restreginant aux intervalles $(n\pi,(2n+1)\pi/2)$ et tu dois minorer le sinus par $x/2$ sur chacun d'eux. Tu as une série divergente.

Si on ne prend pas la valeur absolue, l'intégrale converge. Le plus simple
est de faire une IPP. On peut alors majorer par une fonction $\frac{1}{x^2}$.

bisam0 · January 2005

Pour compléter (corriger ?) la remarque de ook, je suppose qu'il voulait qu'on décale de $n\pi$ avant de minorer le sinus par $2x/\pi$...

Ou alors j'ai mal compris (mais je doute fort que le sinus reste longtemps au-dessus de $x/2$ !).

manuel · January 2005

Ces problèmes de fonction dont l'intégrale converge, mais ne converge plus avec une valeur absolue, c'est pas ce qu'on appelle une intégrale semi-convergente, par hasard?

Reï-Vi-Lhô · January 2005

Pour Manuel : parfaitement !

Amicalement.
Olivier.

Vincent7 · January 2005

peut etre...mais la fonction sous l intégrale n est pas intégrable...
amicalement.
Vincent

Vincent7 · January 2005

je ne comprends pas
pour moi cette fonction n est pas intégrable sur cet intervalle puisqu'elle est minorée en valeur absolue pas la fonction qui à x associe (1-cos(2x))/2x qui n est pas intégrable sur cet intervalle.
bonne journée et merci.Vincent.

riri · January 2005

pr ook : pas besoin de minorer le sinus.
on garde l'intégrale de |sin x| sur le segmt bien choisi pr coller avec les bosses et cette intégrale vaut simplemt 2.
le dénominateur suffit amplement à faire diverger la série.

Jean-David · February 2013

Pour mq sin(x)/x est integrable il faut mq l'integrale de |sin(x)|/x diverge et pour cela on peut minorer cete intégrale par la série harmonique .

Jean

Philippe Malot · February 2013

Non, pour montrer que $x\mapsto \dfrac{\sin x}x$ est intégrable, il ne faut pas montrer que l'intégrale de $x\mapsto\dfrac{|\sin x|}x$ diverge.
C'était bien la peine de déterrer un sujet vieux de huit années pour dire une telle bêtise.

sin(x)/x

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 24