géométrie sphérique

up(tu)

Jadis, on enseignait la trigonométrie sphérique parallèlement à la trigonométrie habituelle, laquelle était dénommée "trigonométrie rectiligne", mais il y a vraiment longtemps, je n'ai pas moi-même connu cela. Dans le Lebossé-Hémery de Math-Elem de 1961, il y a un reste de cette question sous le nom de "trièdres". Je ne puis tout exposer ici, j'en ai un peu parlé dans un autre fil de discussion
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,811250,811299#msg-811299,
voir sur Internet à "trigonométrie sphérique" ou "triangles sphériques".

Soit un triangle sphérique $ABC$, c'est-à-dire trois points $A,B,C$ sur une sphère de rayon $R$. Ses côtés sont des arcs de grands cercles, de longueurs $a=R \alpha$ $b=R \beta$, $c= R \gamma$ où $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ sont les angles correspondants, au centre de la sphère.

Les angles de ce triangle sphérique sont les angles des tangentes à ces grands cercles à chaque sommet, désignés par $A, B, C$. Il y a plusieurs relations entre ces six nombres $ \alpha, \beta, \gamma, A, B, C$. La relation des cosinus est : $\cos \alpha=\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A$.

Si les nombres $ a,b,c, A, B, C$ sont constants et que $R\rightarrow +\infty $, on a : $\cos \alpha =\cos \frac{a}{R}=1-\frac{a^{2}}{2R^{2}}+o(\frac{1}{R^{2}})$, et de même pour $\cos \beta$, $\cos \gamma$, et aussi : $\sin \alpha = \frac{a}{R}+o(\frac{1}{R})$.

Reportant ceci dans la formule précédente, vous trouvez : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, qui est la relation des cosinus dans un triangle rectiligne habituel, ou théorème de Pythagore généralisé.

Je dois avoir une centaine et plus de livres de géométrie de tous âges dans ma bibliothèque, plus quelques autres en version électronique, eh bien, je ne vois nulle part mention de cette dénomination exotique fantaisiste "Al Kashi", en vigueur dans le seul enseignement secondaire de la seule France depuis quelque vingt ans, on se demande bien par qui et pourquoi cette nouveauté, aussi persisterai-je à ne l'utiliser pas, et je vous conseille de faire de même.

Bonne journée
RC