partager un carré en carrés

Audrey2 · November 2001

bonjour

J'ai un problème pour résoudre cet énoncé : partager un carré en carrés.
J'ai remarqué que partagé un carré en deux, en trois et en cinq (tout le reste est possible) n'était pas possible mais je ne comprends par réellement pas pourquoi. Avez-vous une explication précise à me fournir??

Merci d'avance
Audrey

Christophe3 · November 2001

<HTML>Il me semble que le problème est un problème d'arithmétique. Il
signifie trouver des carrés entiers (différents de 0) tels que
la somme soit un carré. Par exemple pour partager un carré en deux carrés, on utilise la formule :
(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2

Jean-Louis BERNOU · November 2001

<HTML>
Salut,

,Comment fais-tu pour partager un carré en 7
Jean-Louis.

Audrey2 · November 2001

<HTML>alors on partage un grand carré en 4
On prend une partie qu'on resubdivise en 4 ET voilà ça fait 7
Ce sont des carrés de grandeur inégales mais l'énoncé l'autorise

Audrey

JJ0 · November 2001

<HTML>Bonjour,

On peut partager un carré en (n) carrés d'aires égales d'une façon purement géométrique (à la règle et au compas), avec (n) quelconque.
On partage un des cotés en (n) segments égaux (construction classique).
Ceci permet de tracer un rectangle dont le grand coté est égal au coté (c) du carré et dont le petit coté vaut b=c/n
Ensuite, on construit un carré ayant la même aire que ce rectangle : C'est un problème classique :
"Etant donné un rectangle de cotés b et c, construire un carré de même aire".
La construction bien connue est la suivante :
Tracer le rectangle BCDE avec BC=DE=b et CD=BE=c. Tracer EF=DE sur la demi-droite issue de B et passant par E, F étant du coté opposé de B par rapport à E. Tracer le point M milieu de BF. Tracer un cercle de centre M et de rayon MF. La droite ED coupe le cercle en deux points I et J. La longueur d=EJ (ou EI) est celle recherchée : c'est le coté (d) d'un carré de même aire d²=bc.
Dans le cas de la question posée d²=c²/n.

Pierre RENFER · November 2001

<HTML>L'énoncé précis est :
Pour quels entiers n, un carré (de côté a) peut-il être décomposé en n carrés (dont les côtés sont parallèles au grand carré donné).

1) On remarque que si n convient, alors n+3 convient aussi : il suffit de partager l'un des n carrés en quatre carrés.
2) Les nombres pairs 2n supérieurs ou égaux à 4 conviennent : il suffit de construire le long de deux côtés adjacents du grand carré des carrés de côtés a/n .
3) Les trois nombres consécutifs 6,7,8 conviennent, car 6 et 8 sont pairs et 7=4+3.

Donc, d'après 1), tous les nombres supérieurs ou égaux à 6 conviennent.
Par ailleurs 1 et 4 conviennent.

Le seul souci d'Audrey était de prouver que 2,3 et 5 ne conviennent pas !

Pour 2 et 3, c'est clair : dès qu'on trace un trait de séparation, on devra tracer au moins un trait perpendiculaire et l'on obtiendra au moins quatre carrés.

Pour n=5 : on peut considérer les quatre carrés aux quatre sommets du grand carré; s'ils ont tous a/2 comme côté , il n'y en aura que quatre et sinon il en aura au moins six.

Audrey2 · December 2001

<HTML>bonjour

j'ai toujours un problème avec ces histoires de carrés.

je suis certaine que votre démonstration est valable mais je bloque au niveau de F

Merci d'avance
Audrey

Louis A · December 2012

N'y a -t-il qu'une seule façon de partager un carré en 7 carés?

Fin de partie · December 2012

Elle doit être retraitée maintenant Audrey

Louis A · January 2013

Donc, toujours pas d'algorithme permettant de déterMiner le nombre U(n) de partage d'un carré en n carrés?

jacquot · January 2013

Salut Louis,

Je te propose cet exercice comme entrée en matière:

Il y a quatre façons de partager un carré en 9 carrés.
Deux partages sont équivalents s'ils utilisent les mêmes carrés.
Trouve ces quatre solutions.

@ suivre

Louis A · January 2013

Je connais les 4 façons de partager un carré en 9 carrés.
La question est : N'y en a-t-il que 4 ? Si oui, quelle est la démonstration, Si non, combien ? Peut-on trouver ce nombre ? Est-ce infini ?
Et même question pour les autres partages...

[Corrigé selon ton indication. AD]

jacquot · January 2013

Bonjour Louis,

Pour le partage d'un carré en 9 carrés, il y a une solution qui n'est ^pas franchement évidente, nous sommes bien d'accords?

Comme toi, je me suis alors posé la question: est-on bien sûr qu'il n'y en a pas une cinquième?
J'en ai l'intime conviction,, mais je n'en ai pas de preuve rédigée.
D'abord cette propriété: si un carré de côté unitaire est découpé en un nombre fini de carrés, tous les côtés de ces carrés sont des nombres rationnels (voir .pdf )

partager un carré en carrés

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Bonjour!

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