zéta

Bonjour

J'ai vu que des théories physiques (utilisant le lagrangien) traitent de l'énergie cinétique et potentielle. Serait-il concevable de les appliquer à l'arithmétique ?
- Pour quantifier en terme "d'énergie potentielle" la difficulté à factoriser un entier naturel $N$ ?
- De considérer $N$ comme une ligne de niveau (les entiers ayant beaucoup de petits diviseurs possèdent moins d'énergie potentielle que ceux étant le produit de deux grands entiers premiers)
- Du fait de la bilinéarité du produit $xy=N$, que dans le plan, des trajectoires privilégiées
sont données par les vitesses $\frac{dy}{dx}=\frac{-N}{x^2}$, donc d'essayer de coupler énergie potentielle et cinétique via le lagrangien.

Pour associer une géodésique à un problème d'arithmétique, quand on souhaite connecter deux couples de diviseurs
$24=2 \times 12 = 3 \times 8$
ce qui est simple est de suivre la courbe d'équation $xy=24$

Cette courbe hyperbole répond au problème de Cauchy $y'=-24 \, x^{-2}$, ce qui associe à une géodésique, un échange de valuations entre $(2,12)$ et $(3,8)$ (valuations arithmétique=photons en électrodynamique quantique).
L'échange de valuations $p$-adiques entre couples de diviseurs correspond au trajet
sur une géodésique (sur une courbe de niveau).
??
Par exemple, 17 étant premier, la géodésique d'équation $xy=17$ représente un chemin plus long pour connecter $(1,17)$ et $(17,1)$ que pour $xy=16$ qui passe successivement par $(1,16),(2,8),(4,4),\ldots$
De plus, quand on dessine les courbes d'hyperboles dans le plan, régulièrement indicées par leurs équations $\big(xy=N\big)_{N \in \mathbb{N}}$ et passant par les points de coordonnées entières, le quantum d'énergie entre courbes de niveau d'équation $XY=N_1$ et $XY=N_2$ ($N_1$ et $N_2$ étant supposés des entiers naturels composés) est la présence ou non d'entiers premiers entre $N_1$ et $N_2$.
Notamment, l'analogue du théorème de Pick pour les courbes hyperboles, en lieu et place de polygones réguliers, fournirait une relation simple entre nombre de diviseurs de $n$ et $n+2$, aire située entre les deux hyperboles d'équation $xy=n$ et $xy=n+2$ (aire en $n\log n-n$) et primalité de $n+1$ ou non ??

pour résumer : je considère dans le 1er quadrant, des courbes hyperboles
d'équation $xy=c$ et $xy=c'$ où $c,c'$ ont des naturels composés, les quanta entre courbes de niveau est l'existence ou non de premiers entre deux composés $c$ et $c'$

Cordialement,

PS : Mon problème est de traduire les équations phys. du Lagrangien, je n'y comprends que pouïk..(td)
AD, peux tu corriger le lien, merci d'avance ?
[Voilà qui est fait. AD]

@Félix: merci pour ta réponse.

mes buts sont élevés et mes moyens dérisoires (lol) B-)- Quant on lit l'article de la formule de traces de Selberg sur wikipédia, on est étonné que le lien entre Selberg et la fonction zéta soit obscur et incompréhensible, du moins pour l'amateur.
tout ce que l'on comprend, c'est que d'une part, ça parle d'entiers naturels, d'autre part de géodésiques sur une variété compacte.

voilà pour la terminologie. j'ai pensé à ça:

On considère un entier naturel $N=p^n$ . pour faire simple, on dit que sa
factorisation en entiers naturels premiers est $p^{n}$

je prend un couple de diviseurs entiers $(x_0,y_0)$ de $N$. les deux bougres se partagent les valuations p-adiques de $N$
on va dire que pour toutes les courbes hyperboles d'équation $xy=N,N \in \mathbb{N}$ il y a un paramètrage universel $t$.

$(x_0,y_0)=(\sqrt{N} (cos(t_0)+tan t_0);\sqrt{N} (cos(t_0)-tan t_0))$
avec $x_0=p^{\alpha};y_0=p^{\beta};\alpha+\beta=n$

$\frac{x_0}{y_0}=p^{\alpha-\beta}$

Avec un autre couple de diviseurs du même entier $N=x_1y_1$
$\frac{x_1}{y_1}=p^{\gamma-\delta}$


pour passer du couple de diviseurs $(x_0;y_0)$ à $(x_1;y_1)$ du même entier $N$
$\frac{x_1y_0}{y_1x_0}=(p^2)^{\gamma-\alpha}= \frac{cos(t_1) +tan(t_1)}{cos(t_1) -tan(t_1)} \times \frac{cos(t_0) - tan(t_0)}{cos(t_0)+ tan(t_0)}$


- ce quotient reflète les échanges de valuations p-adiques entre couple de diviseurs
- il est indépendant de $N$ (?)
on a un "temps universel" pour exprimer la multiplication/division
et sans doute une distance hyperbolique
- comme les points à coordonnées entières sont isolés, ce quotient a un aspect quantifié
- pourrait avoir une description des idéaux de $\mathbb{Z}$ en termes de métrique ?

- on espère , avec une "loi de Képler" like (la vitesse du point mobile correspond à l'aire de la surface balayée) qu'on décrira la distribution des entiers premiers avec des formules d'aires...

réciproque
je considère un polygone $K$ compact plan . on suppose que l'on connait les points du réseau qu'il contient.
on fait un graphe de points pondéré par les distances hyperboliques
(qui ont un très fort aspect arithmétique)
est-ce que l'on peut détecter sur une géodésique du point $A(x_A;y_A)$ vers
$B(x_B;y_B)$ dans le graphe pondéré , fini, compact de $K$, s'il existe des naturels premiers dans l'intervalle $[|x_Ay_A;x_By_B|]$ ??

on se dirait: bah voilà, les ensembles compacts sont des "potentiels"
et essayer de lier la théorie de la mesure (aires+graphes pondérés) aux valuations..
A+