Comme promis à Pablo
Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,773411,773873#msg-773873
J'ai hésité entre rubrique pédagogie et fondements. "fondements" m'a paru plus approprié et moins insultant dans la mesure où c'est la recherche pour toi d'une convention d'échange concernant les preuves irréfutables si indispensables aux maths et dont il est "respectable" d'être passé à côté du poids qu'elles pèsent en science.
Exo1: Soit $a\in \R$. On suppose que $\forall x\in \R: ($ si $x>0$ alors $a\leq x)$. Prouve alors irréfutablement à partir de cette hypothèse que $a\leq 0$ (en rédigeant parfaitement et en n'omettant aucun détail)
J'ai hésité entre rubrique pédagogie et fondements. "fondements" m'a paru plus approprié et moins insultant dans la mesure où c'est la recherche pour toi d'une convention d'échange concernant les preuves irréfutables si indispensables aux maths et dont il est "respectable" d'être passé à côté du poids qu'elles pèsent en science.
Exo1: Soit $a\in \R$. On suppose que $\forall x\in \R: ($ si $x>0$ alors $a\leq x)$. Prouve alors irréfutablement à partir de cette hypothèse que $a\leq 0$ (en rédigeant parfaitement et en n'omettant aucun détail)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
exo2: prouve irréfutablement l'énoncé suivant: il n'existe pas d'applications $g,h$ allant de $\R$ dans $\R$ telles que pour toute application $f$ dérivable sur $\R$ allant de $\R$ dans $\R: g\circ f\circ h = f'$ où $f'$ désigne la dérivée de $f$
a étant donné dans R
- Montrons que R*+ est inclus dansB= [a,+00[ ,en effet , soit x supérieur à 0 strictement , alors a est inférieur à x au sens large , d'après Hypothèse .
- R*+ inclus dans B donc inf R*+ sup ou égal à inf B , les bornes inférieures existent car les ensembles en question sont minorés et valent respecivement 0 et a , a qui est plus petit élément . CQFD
Nous sommes tous plus au moins Pablo -D
Autre exo Demain
Salut
Après mes six premiers posts inutiles (lien de Christophe Chalon) ici je peux le dire :
je pensais sincèrement t'aider dragon (pablo) mais je ne maitrise rien du L1 (seul dans ma solitude je pourrais arriver) alors ici tu pense ... si j'avais su que tu parlais d'algebre tensoriel ou de Lie ... mais même rien qu'en comprenant ton premier post tu as pus constater j'ai du mal et en plus je me suis planté dès le premier post!
je remercie tous les participants de ce fil car après vous avoir tous lus je peux le dire :
vous m'avez aidés à voir clair
c'est aussi la raison pour laquelle je suis revenu pour ce septième post : vous remercier
cela n'empêche que je peux toujours faire l'exo 1
exo1
si j'admet un a >0 et que je continue à dire que $\forall x \in \mathbb {R}$ tel que x>0 alors $0<a \leq x$
je suis alors obliger d'affirmer $\nexists y >0 $ tel que $0<y \leq a \leq x$
et comme y > 0 il est identifiable à a > 0
par conséquent en admettant a > 0 j'admet qu'il n'existe pas
l'exo 2 est trop difficile pour moi de sorte que j'ai la L1 qui m'attend tans mon tipy
Raisonnons par l'absurde et supposons l'existence de deux applications f et g vérifiant : gofoh=f' , pour toute application dérivable .
En particulier pour une application Cte quelconque ( yo quelconque) : il existe yo / Cte(x)= yo, pour tout x et d/dx Cte (x)=0 .
pour x dans R , (goCteoh)(x)=g(y0)=0 , ce qui prouve que g est nulle , car yo est fixé mais quelconque .
Finalement , on obtient f'=0 , pour toute fonction dérivable , ce qui est absurde ]
On est tous sphinx plus au moins -D
Bonne journée
il est demandé des preuves irréfutables utilisant le moins possible de prérequis. Certaines de tes étapes utilisent des choses trop sophistiquées et non prouvées dans ta preuve pour exo1:
* que $A\subseteq B$ =>$inf(A)\geq inf(B)$
* que les ensembles non vides minorés ont une borne inférieure
L'énoncé est aussi vrai dans $\Q$
Ce serait bien que tu modifies ton post-idée pour l'exo2 en encre blanche par exemple
suite exos pour Pablo
Exo3: prouver qu'il n'existe pas de fonction $f$ polynomiale injective de $\R$ dans $\R$ vérifiant $\forall (x,y)\in \R^2: f(x+y)=f(x)\times f(y)$
Exo4: Soient $A,B$ des matrices carrées ayant 50 lignes et 50 colonnes. On suppose connu la multiplication usuelle des matrices. Tous les coefficients de $A$ sont dans $\Q$ et tous ceux de $B$ sont dans $\C$. De plus, on suppose $A\times B=$ la matrice identité à 50 lignes, 50 colonnes. Prouver que tous les coefficients de $B$ sont dans $\Q$ (utilisation possible de culture générale de L1)
Exo5: soit $E$ un ensemble contenant au moins 2 éléments. Prouve qu'il existe une application $f$ de $E$ dans $E$ qui soit bijective et telle qu'il n'existe pas d'élément $x\in E$ tel que $x=f(x)$ (tu as le droit à l'axiome du choix)
Exo6: soit $(K,+,\times)$ un corps commutatif et $D$ une application de $K$ dans $K$ telle que:
1) $\forall (x,y)\in K^2: D(x\times y)=x\times D(y) + y\times D(x)$
2) $\forall (x,y)\in K^2: D(x + y)=D(x)+D(y)$
3) Le seul sous-corps de $K$ est $K$ lui-même
prouve que $\forall x\in K: D(x)=0$
C'est pas la définition d'un message privé ça?
Eric
@Christophe
Je voudrais savoir : ma réponse exo 2 fausse ?
Ait joseph fils avec aide de mon père
Merci
Il existe des applications dont la dérivée n'est pas partout nulle : f(x)= 2012x
Merci
j'ai de gros soucis Ait Joseph je ne comprend pas ta démonstration regarde --->
l'exo2 dit :
démontrer qu'il n'existe pas d'applications g et h allant de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ telles que pour toute application f dérivable sur $\mathbb {R}$ allant de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ on a : g o f o h = f '
C'est bien ça ce qui est demandé non ? l'exercice a t-il été bien posé ????
si j'arrive à prouver ici que g et h n'existe pas en prenant $\mathbb {R}->\mathbb {R}\ f(x)=a$ est cnste donc f ' = 0
alors j'aurais réussi la démo or je n'y arrive pas --->
g o f o h = f ' = df / dx
$\int g\circ f\circ h\ .\ dx\ =\ f\ +\ K$ avec la cnste d'intégration K
par ailleurs f est cnste de sorte que f(h(x))=a
et étant donné que g o f o h = f ' = 0 alors g(x) = 0 et donc g'(x) = 0
dans cet exemple j'ai trouvé que g et h sont possibles pour une application f cnste
dans ta démo tu prouve que forcément on obtiens f ' = 0
je suis d'accord toute les applications ne sont pas nulles mais tu as pris un f constant c'est normal non ?
bref je suis paumé soit c'est par l'énoncé mal formulé (j'en doute vu mon niveau)
soit c'est moi qui déconne
s'il vous plait sortez moi de ce merdier merci
Christophe Chalons au secours!!!
Le fonctions $g$ et $h$ de l'énoncé doivent convenir pour toute fonction dérivable $f$. Il faut faire attention à l'ordre des quantificateurs.
$$\mathrm{non}\,(\exists g\in \R^\R, \exists h \in \R^\R, \forall f \in D(\R,\R), \;g \circ f \circ h = f')$$
Je vois beaucoup d'intervenants, sauf Pablo ! 8-) Est-ce normal ? Ne faudrait-il pas lui faire signe dans l'un de ses topics, car je ne pense pas qu'il aura l'idée de venir dans la rubrique "Fondements" ?
Avec tout mon respect,
T. Poma
dans ce cas force est de constater que j'ai plus que raté ma démo (je m'en doutai un peu )
je ne vois pas comment mais c'est un fait !
ta réponse Ju'x me suffit
il faut que je trouve par moi même car je ne vois pas pour quelle raison je serai le seul à affirmer qu'en prennant f est cnste et donc f ' = 0 on ne peux pas démontrer ce qui est demandé puisque Ait Joseph y arrive et que Christophe Chalon ne l'a pas contesté
j'avoue pour ma part que j'ai rien pigé à sa démo le mieux est que je ne quitte pas ce fil avant de savoir ce qu'on y dit à commencer par cette démo
ce qui laissera le temps à la modération d'apprécier mon silence (et c'est inestimable)
encore une fois ta seule et unique réponse me suffit Ju'x à présent c'est à moi de chercher ...tout seul
Merci
sphinx
1) une suite finie de couples (u_0,r_0), ...., (u_n,r_n) où
2) chaque $r_i$ est un ensemble fini inclus dans $\{0;..;i-1\}$
3) $u_n$ est la conclusion de ta preuve
[size=large]C'est facile à disposer en texte (tu numérotes tes phrases et tu indiques entre parenthèses, en fin de phrase la liste des numéros (l'ensemble $r_i$))[/size]
4) Après quoi le lecteur recensera ton argumentation de la manière suivante:
4.1) il considèrera que tu viens de lui prouver $u_n$
4.2) en admettant tous les axiomes (autrement dit les hypothèses) de la forme $a_p$, avec:
4.3) $a_p:= [$conjonction des $u_i$ tels que $i\in r_p]$ => $u_p$
4.4) Autrement dit, la science retiendra de ton oeuvre que tu as prouvé le théorème irréfutable suivant:
4.5) $(a_1$ et $a_2$ et ... et $a_n)$ implique $u_n$
5) Ta preuve sera forcément irréfutable mais par contre, rien n'obligera les scientifiques à croire à ta conclusion, ie à $u_n$. Ils pourront tout à fait douter de l'un des tes $a_p$ (ie envisager que $non(a_p)$ soit vrai
6) quand $r$ est vide, l'énoncé $[$conjonction des $u_i$ tels que $i\in r]$ => $x$ est simplement l'énoncé $x$
0) dzert
1) zerty (car 0)
2) zercdhdh (car 0)
3) ezrezhj (car 0;2)
4) gtghy
5) djfhjttbtndez (car (1;4))
Tu viens de prouver djfhjttbtndez
à partir des axiomes:
* dzert
* dzert=>zerty
* dzert => zercdhdh
* (dzert et zercdhdh) => ezrezhj
* gtghy
* (zerty et djfhjttbtndez) => djfhjttbtndez
fais moi confiance Ju'x m'a beaucoup aidé à présent il faut que je soit seul
y a que comme ça qu'on avance
mais merci
ta patience ne sera pas mise à l'épreuve
ni la tienne ni celle des autres
et puis pense un peu (là dessus je te fais confiance) imagine comme se sera beau ... rêvé par tous ....le silence d'un sphinx multimillénaire en âge
c'est pas beau ça ?
merci mille fois à tous
fais moi confiance je reviendrai
Suposons que f est une fonction polynomiale , qui vérifie l'hypothèse :
Alors
- deg P est supérieure ou égal à 1 et impair , dans le cas pair , étudiez la fonction pour le voir .
-En particulier : pour tout x : on a f(2x)= f(x) .f(x) , à gauche on a un degré impair , à droite , un degré pair puisque : deg( f.f)= 2 deg (f) , ce qui est absurde ]
Salut
Salut,
\begin{enumerate}
\item Je ne suis pas sûr qu'avec les règles du jeu de Christophe tu puisses utiliser sans détails la notion de degré d'une application polynomiale qui demande de voir que l'application qui a un polynôme réel associe une fonction polynomiale est injective. Bien sûr, on peut aussi le définir ici directement comme
\[
\deg f = \inf\{n \in \mathbb{N} : \sup_{x \geq 1} |x^{-n}f(x)| < \infty\}
\]
ou encore à l'aide des coefficients de Fourier de $t \mapsto f(e^{it})$, mais je pense qu'il y a toujours quelque chose de non trivial derrière.
\item Le fait que tu laisses la démonstration de cas pair \og{} au lecteur\fg{} sort aussi des règles de Christophe. En fait, en partant de ton idée de degré avec $f(2X) = f(X)^2$, on peut donner une preuve plus courte et plus convaincante.
\end{enumerate}
Le degré d'une fonction polynomiale se définit de manière beaucoup plus simple , comme le degré du polynome associé , R étant un corps infini , les deux ensembles s'identifient .
Quelles sont les règles de Christophe ?
Tu veux dire f(2x)= f(x)*f(x) implique degf=2degf implique deg f = -00 ou 0 ? et f ne serait pas injective , car f= Cte . ?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,773875,774115#msg-774115
Remarque par rapport à la remarque de Ju'x: si tu n'arrives pas à prouver un truc, tu peux toujours l'admettre (par exemple l'injectivité évoquée par Ju'x)
Quelle est la chose que je n'ai pas pu démontrer ? Ju'x n'a pas parlé d'injectivité !
Cordialement
Bin tu as complété à ton dernier post l'idée que te suggérait Ju'x pour terminer une "sketch-preuve", mais avant tu n'avais pas traité le cas du degré pair
Mais ma première démonstration est juste , certes pas belle !
Les règles de christophe consistent ici à donner un démonstration irréfutable, sans omettre de détails. C'est dit dans son premier post.
Ah , je comprend maintenant l'exigence de Christophe .Dans le temps j'avais traité un devoir de cette manière , pas à pas , comme une fourmie en voulant revenir , le plus possible aux sources , tout est juste , mais le professeur m'a noté 7/20 , je n'oublierai jamais ça , j'ai senti que c'était une insulte à la rigueur . En fait , ce qu'il n'a pas aimé c'est la correction de trois doubles feuilles .
Bonne Journée
mille excuses j'ai pas tilté une overdose de maths m'a empêché de faire l'exo2
je le fais en deux partie je suis pressé par le temps
Exo2
en démontrant que les seules applications f dérivables sur R possibles sont constantes pour qu'il existe des applications g et h (f,g,h applications de R dans R) telle que : gofoh =f '
on demontre alors ce qui est demandé
la suite plus tard ...
je pense que c'est convenable comme début
non ?
je ferai la deuxième partie demain
en attendant est-ce que tu trouve cela acceptable comme début ?
mon ami (je le pense sincèrement ) oui les maths d'accord mais là moi je suis pas en état une réponse de ta part serait très souhaitée
là je part là bas ----> 120°east
Mais il suffit aussi de démontrer que rien que pour $f(x)\ =\ 2^{-1}.ax^2$ il est impossible d'avoir $h$ est une application de $\R$ dans $\R$
Énoncer que $g\circ f\circ h = f '$ pour tout $f$ (selon les conditions qu'on a dites) est énoncer que $g = f '$, ce qui ramène à dire que $f ' \circ f = f '$.
Dans ce cas on obtient $g(x) = f '(x) = ax$ et $f\circ h = x$.
Il résulte donc que $\displaystyle h(x)\ =\ \sqrt {\frac {2.x}{a}}$
$h$ n'est donc pas une application de $\R$ dans $\R$
Franchement je ne vois pas comment faire autrement cet exo
Je me prends la tête dessus !
[*** modéré *** Hors sujet. AD]
Ça vaut bien un grand merci pour la bienveillance de l'auteur de ce fil.
Non ?
je dit qu'obligatoirement h est de cette forme mais je ne dit pas pourquoi cette forme est la seule obligatoire possible
j'avoue je chute sur le deuxième exo
par contre la methode je la trouve correcte :
il suffit de débusquer un f tel que g ou h ne soient pas possible
bon je vais pas en faire une maladie j'avoue : je peux pas faire mieux!
exo1
1) $a>0$
2) donc $a>0,5.a$ et $0,5.a>0$
3) donc $non(\forall x>0: a\leq x)$
Il s'ensuit que $\forall a: ($ si $(\forall x>0: a\leq x)$ alors $a\leq 0)$
Je vous laisse recenser les "axiomes" locaux (ie les parties non justifiées)
exo2
1) $\forall f: g\circ f\circ h = f'$
2) donc $\forall a\in \R: g \circ (x\mapsto a) \circ h = (x\mapsto 0)$
3) donc $\forall a\in \R\forall x\in \R: g( (x\mapsto a)(h(x)) ) = (x\mapsto 0)(x)$
4) donc $\forall a\in \R\forall x\in \R: g(a) = 0$
5) donc $\forall x\in \R: g(x)=0$
6) donc $\forall f: f' = (x\mapsto 0) \circ f\circ h$
7) donc $\forall f: f' = (x\mapsto 0)$
8) donc $(x\mapsto x)' = (x\mapsto 0)$
9) donc $(x\mapsto 1)(2) = (x\mapsto 0)(2)$
10) donc $1=0$
Franchement ce n'est pas facile pour moi.
Je n'ai pas l'habitude ... et un de ces mal de crâne, mais c'est important pour moi alors merci
(non ça n'est pas un jeu).
Bon dimanche à vous tous et à toi particulièrement Christophe
... allez un aspro et ça repart
1. AB =I 50
2. dét ( AB) = 1
3. dét B non nul , dét A non nul
4 . B = inv A
5. B= 1/det A . trans ( com A ) ; transposée de comatrice
6 . A à coeff dans Q , le terme à droite dans 5 , exprimé avec les opérations usuelles dans Q , montre que B est aussi à coeff dans Q .
Soit E un ensemble , CA désigne le complémentaire de A incluse dans E . Supposons card (A) supérieur strictement à 1 .
1 . Considérons l'application de E dans P( E) , qui à x associe f(x)= C{x} , partie de E
2. D'après l"axiome du choix , il existe une application g de E dans E telle que : pour tout x , g(x) est dans f(x) non vide pour tout x .
3 .S'il existe t tel que f(t) est vide , alors E est un singleton .
4 . g(x) est dans f(x) : g n'admet aucun point fixe .
Je vois une preuve assez simple passant par le lemme de Zorn, mais je me demande ce qu'attendait Christophe.
Qui a parlé de g bijective ? mais elle l'est !
@ Ju'x
Pardon , Christophe demande g bijective , je n'ai pas vu , elle l'est .
Amicalement
- Oui , la bijectivité mérite une démonstration , je le vois , je ne suis pas Pablo
- L'axiome du choix intervient dans le choix d'un élément g(x) dans f(x) partie non vide .
- Tu as parlé de Zorn ?
Amicalement
Ici on peut prendre comme ensemble inductif $\{(F,f) \mid F \subset E~\mathrm{et}~ f\colon F \to F~\mathrm{bijective}\}$ muni de la relation d'ordre : $(F,f) \preccurlyeq (G,g)$ ssi $F \subset G$ et $g _{\vert F} = f$. Je te laisse finir la preuve.
[Correction du lien. AD]
- Christophe C est occupé , il a retrouvé un ami , en plus il est fâché avec moi :-(
Amicalement
Je te laisse tenter d'en constuire une bijective et sans point fixe et rédiger tout ça formellement
Ton contre- exemple est hors exemple . Tu n'as pas bien lu ma réponse .
Amicalement
Je ne comprends pas ta réponse à Christophe : quel contre-exemple ? Son "pour info" montre que le résultat que tu as donné (existence d'une application de $E \to E$ sans point fixe) peut aussi se prouver directement, sans axiome du choix.
- Il a donné seulement un exemple dans le cas E de cardinal 2
- Si j'ai bien compris , l'exemple qu'il a donné , dans ce cas , est : g(a)=b ; g(b)=a , qui est évidement bijective , si a distinct de b .
- Au début de l'exercice , il a précisé qu'on peut utiliser l'axiome du choix , équivalent au lemme de Zorn .
- Je n'ai pas dit qu'on ne peut pas le démontrer sans l'AC , c'est un autre problème .
Christophe est Logicien jusqu'à la mort
Merci pour le fichier
Cordialement
Je pense que tu as mal lu l'exemple de CC. Il suppose que $E$ est de cardinal au moins $2$. Il prend deux éléments $a \neq b$ dans $E$, il envoie effectivement $a$ sur $b$ et $b$ sur $a$, mais il envoie également tous les éléments différents de $a$ sur $a$. En d'autres termes, $f(x)=a$ si $x \in E \setminus \{a\}$ et $f(a)=b$. Clairement $f$ est sans point fixe, et se construit sans axiomes du choix. Et tout aussi clairement, $f$ n'est pas bijective dès que $E$ est de cardinal $3$ ou plus.
Sinon pour répondre à la question de départ sans utiliser Zorn, il me semble qu'on peut montrer assez facilement avec l'axiome du choix que tout ensemble infini $E$ se partitionne en deux ensembles équipotents $A$ et $B$ (il suffit de savoir que $E \times \{0,1\}$ est équipotent à $E$ ;Ju'x et Christophe confirmeront, ou pas). Toute bijection $g$ de $A$ vers $B$ répond à la question en fournissant une involution sans point fixes $f$, où $f(x)=g(x)$ si $x \in A$ et $f(x)=g^{-1}(x)$ si $x \in B$.