réciproque

Ca me paraît OK.

21did21 a écrit:

je peux ramener n'importe lequel de mes probleme (sic) à la forme dont j'ai parlé avec gram : arctan(tan(u))

Là tu t'avances peut-être un peu, mais disons que tu as une piste, maintenant il faut voir au cas par cas si tu es capable de l'exploiter.

simplification de arctan (-1/tan(3x+5)) troisième post

$\ \forall \ x \ \in \ \mathbb {R}\ $ on considère une composée de fonctions fog telles que f(x)=X et g(X)=Z et telles que :
-tan (3.x + 5) = tan Z et que par conséquent $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z$
cette méthode fonctionne pour toute fonction periodique pas forcément trigonométrique
p étant périodique et q une fonction quelconque il s'agit de transcrire poq par po(fog)

chacuns des cinq cas donnant des conditions uniques qui font que l'on ne peut avoir deux ou plus cas possibles pour un réel quelconque x
cela est tout simplement due au fait (voir premier post de la simplification) que ces cas ont étés construits selon :
pour une fonction periodique quelconque p de période T
on détermine pour tout x réel une valeur y telle que $\ x\equiv X(mod [a,b[)$ ou bien $\ x\equiv X(mod ]a,b])$
et telle que T=b-a pour obtenir p(x)=p(X)

$\exists \ k\ \in \ \mathbb {Z}$ tel que
$\ -\ tan(3.x\ +\ 5)\ =\ tan(Z\ +\ k.\pi )$ donc tel que : $\ -\ 3.x\ -\ 5\ =\ Z\ +\ k.\pi $

on considère la notation [r] qui désigne la partie entière de r, son utilisation ici sera avec r positif
pour un réel positif quelconque p et un réel strictement positif quelconque q on obtiens l'équivallence
$\displaystyle \ \frac {p}{q}\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ \equiv \ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ donc lorsque q|p alors $\ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $
pour ces deux réels p et q je note $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ $ la partie fractionnaire de $\ \displaystyle \ \frac {p}{q}\ $ j'obtiens : $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ =\ \frac { p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ }{q}$

1er cas
*lorsque $\ 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $ et qu'en plus $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ -\ 2.\pi \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {-\pi}{2}\ <\ 0$

2ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ 0$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {-\pi}{2}\ <\ 0$

2ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \pi . \epsilon\ -\ \frac {\pi}{2}\ <\ 0$

3ème cas
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon\ <\ 0$

4ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ 0$

4ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \pi . \epsilon\ -\ \frac {\pi}{2}\ >\ 0$

5ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ 0$

5ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon\ >\ 0$

on termine la simplification
on peux établir
$\ \displaystyle \frac {1}{tan W}\ =\ cotan W $
$\ \displaystyle arctan W\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ arccotan W$
les implications
arccotan W = y ==> cotan y =W
cotan W = y avec $\ \displaystyle W\ \in \ [0\ ,\ \pi]\ $ ==> arcotan y = W

selon $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z\ $ on considère alors W tel que :
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [0\ ,\ \frac {\pi }{2}[\ $ on a W = Z
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [- \frac {\pi }{2}\ ,\ 0[\ $ on a $\ \displaystyle W\ =\ Z\ +\ \pi \ $

on obtiens $\ \displaystyle arctan \begin {pmatrix} \frac {-1}{tan(3x+5)}\end {pmatrix}\ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ W$

cette méthode de simplification peut permettre d'écrire autrement et sans l'utilisation de fonctions trigonométriques la résolution des équations du troisième et quatrième degré avec coefficients réels ou complexes
je ne pense pas être hors sujet si je continue ce fil en se sens non ?
ce sera assez long à faire ...

bisam je n'ai pas ouvert ce fil donc je répond si ça dérange personne à celui qui l'a ouvert
pourquoi? ça te dérange ? ou as tu une raison hors sujet à me retorquer ?

Sphinx, tu peux continuer si tu veux, moi je n'y vois pas d'inconvénient, mais le but du forum
c'est quand même de discuter et pas de monologuer. Or là plus grand monde ne lit car tes messages
sont trop long, je te suggère de finir complètement tes calculs et d'en fournir si tu peux une version
résumée plus concise (enfin si tu as envie d'être lu...)

Eric