Intégrale impropre
Bonjour,
Je dois calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\ \frac{\ln x}{x²+t²}dx$, $t$ étant un paramètre réel différent de 0.
Je n'aboutis à rien, j'ai essayé d'utiliser le théorème sur les intégrales à paramètre, de faire le changement de variable $u=\ln x$ et je coince à chaque fois. Je passe surement à coté de quelque chose de simple. Une petite indication ?
Merci d'avance.
Je dois calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\ \frac{\ln x}{x²+t²}dx$, $t$ étant un paramètre réel différent de 0.
Je n'aboutis à rien, j'ai essayé d'utiliser le théorème sur les intégrales à paramètre, de faire le changement de variable $u=\ln x$ et je coince à chaque fois. Je passe surement à coté de quelque chose de simple. Une petite indication ?
Merci d'avance.
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Réponses
Ben, j'ai fait l'IPP et je dois intégrer sur [0,+inf[ (Arc tan(x/t))/(tx).
Essaie de démontrer que $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac {\ln u\;du} {u^2+1}=0$
Edit : en la coupant en deux et faisant un changement de variable dans l'un des deux morceaux.
Montre que $\int_0^1=-\int_1^{+\infty}$
Tu peux essayer aussi directement un changement de variable $u'=1/u$ sans couper l'intégrale en 2.
Eric
Pour répondre à Jo99 (plus en détail que Paulo), on peut déjà remarquer que la fonction $f:t\mapsto\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2+t^2}dx}$ est paire, donc il suffit de regarder ce qui se passe pour $t>0$.
Ensuite, le changement de variable $x=tu$ est valable et permet de se ramener à $f(t)=\frac{\pi}{2}\frac{\ln(t)}{t}+\frac{1}{t}f(1)$.
Enfin, le changement de variable $u\mapsto\frac{1}{u}$ suggéré par zephir et Magnolia permet de se débarrasser de $f(1)$, ce qui conclut.
je crois qu'on n'a fait rien d'autre que répondre la même chose que toi (en laissant à jo99
le soin de voir comment se ramener à l'intégrale de zephir....)
Eric
Je voulais juste souligner que plusieurs intervenants ne parlaient que de $f(1)$ et non de $f(t)$.
Mais j'admets tout-à-fait n'avoir fait que redire ce que Paulo a dit bien plus succinctement.
Je vais de ce pas modifier mon post plus haut en guise d'excuses.
[La case LaTeX.