Groupe quotient
Bonsoir à tous,
Soit $ H $ un sous groupe d'un groupe topologique $ G $
On considère le groupe quotient $ G/H $ qu'on munit, d'après le cours, de la "topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $".
Je ne me souviens pas de ce que signifie, la topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $ ? Qu'est ce que cela veut dire ? Est ce que cela signifie que la topologie en question est l'ensemble : $ \{ \pi^{-1} ( O ) \ / \ O \ \mathrm{est \ ouvert \ de } \ G/H \} $ ?
Merci d'avance.
Soit $ H $ un sous groupe d'un groupe topologique $ G $
On considère le groupe quotient $ G/H $ qu'on munit, d'après le cours, de la "topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $".
Je ne me souviens pas de ce que signifie, la topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $ ? Qu'est ce que cela veut dire ? Est ce que cela signifie que la topologie en question est l'ensemble : $ \{ \pi^{-1} ( O ) \ / \ O \ \mathrm{est \ ouvert \ de } \ G/H \} $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
La fonction est aussi un homomorphisme de groupes ce qui impose d'autres conditions.
ouverts de G/H?
Eric
C'est pas l'ensemble $ \{ O \ / \ \pi^{-1} ( O ) \ \mathrm{est \ ouvert \ de} \ G/H \} $ ?
Merci d'avance.
Merci d'avance.
Un ensemble est discret s'il est muni de la topologie discrète?
Je ne vois pas le lien entre ces deux phrases.
Merci pour votre aide.
\begin{enumerate}
\item Dans un espace topologique $G$, un sous-ensemble $V$ est discret si la topologie induite par $G$ sur $V$ est la topologie discrète, c'est à dire pour tout $v\in V$, il existe $O_v$ voisinage de $v$ dans $G$ tel que $O_v\cap v=\{v\}$.
\item Les résultats suivants sont classiques. \\
Soit $G$ est groupe topologique. \begin{itemize}
\item Si $G$ est séparé, alors tout sous-groupe discret est fermé.
\item La composante connexe $Conn(e)$ de $e$ est un sous-groupe normal et fermé de $G$.
\item Bien sûr, si $G$ est connexe, alors $Conn(e)=G$.
\item Si $Conn(e)=\{e\}$, alors $G$ est totalement discontinu, c'est à dire que la composante connexe de tout point $g$ de $G$ est réduite à $\{g\}$.
\item Le groupe quotient $G/Conn(e)$ est totalement discontinu.
\end{itemize}
J'écrirai les démonstrations tout à l'heure.
\end{enumerate}
@Skyrmon :
Je corrige ce que tu as écrit :
\begin{enumerate}
\item Dans un espace topologique $G$, un sous-ensemble $V$ est discret si la topologie induite par $G$ sur $V$ est la topologie discrète, c'est à dire pour tout $v\in V$, il existe $O_v$ voisinage de $v$ dans $G$ tel que $O_v\cap V=\{v\}$.
\end{enumerate}