Intégrale impropre
Bonjour,
Je dois calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\ \frac{\ln x}{x²+t²}dx$, $t$ étant un paramètre réel différent de 0.
Je n'aboutis à rien, j'ai essayé d'utiliser le théorème sur les intégrales à paramètre, de faire le changement de variable $u=\ln x$ et je coince à chaque fois. Je passe surement à coté de quelque chose de simple. Une petite indication ?
Merci d'avance.
Je dois calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\ \frac{\ln x}{x²+t²}dx$, $t$ étant un paramètre réel différent de 0.
Je n'aboutis à rien, j'ai essayé d'utiliser le théorème sur les intégrales à paramètre, de faire le changement de variable $u=\ln x$ et je coince à chaque fois. Je passe surement à coté de quelque chose de simple. Une petite indication ?
Merci d'avance.
Réponses
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En intégrant par parties, on se ramène à calculer l'intégrale d'une fonction rationnelle.
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Edit: petite erreur modérateur, ma fonction, c'était (ln x)/(x²+t²).
Ben, j'ai fait l'IPP et je dois intégrer sur [0,+inf[ (Arc tan(x/t))/(tx). -
Suis-je sensé aboutir à quelque chose avec cette Arctangente?
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Bonsoir
Essaie de démontrer que $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac {\ln u\;du} {u^2+1}=0$
Edit : en la coupant en deux et faisant un changement de variable dans l'un des deux morceaux. -
J'ai essayé u=lnx, x=exp(u), u=x², u=x²+1 et même x=shx et à chaque fois, je me retrouve coincé. Suis-je passé à coté de quelque chose?
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Bonjour
Montre que $\int_0^1=-\int_1^{+\infty}$ -
Tu es passé à côté du message de zephir sans doute, ou alors tu ne l'as pas lu completement...
Tu peux essayer aussi directement un changement de variable $u'=1/u$ sans couper l'intégrale en 2.
Eric -
$u=x/t$ +Zephir.
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C'est vrai, encore plus rapide...
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Vous répondez à côté de la plaque, il me semble. <--- Veuillez m'excuser pour cette remarque inappropriée...
Pour répondre à Jo99 (plus en détail que Paulo), on peut déjà remarquer que la fonction $f:t\mapsto\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2+t^2}dx}$ est paire, donc il suffit de regarder ce qui se passe pour $t>0$.
Ensuite, le changement de variable $x=tu$ est valable et permet de se ramener à $f(t)=\frac{\pi}{2}\frac{\ln(t)}{t}+\frac{1}{t}f(1)$.
Enfin, le changement de variable $u\mapsto\frac{1}{u}$ suggéré par zephir et Magnolia permet de se débarrasser de $f(1)$, ce qui conclut. -
??? bisam ,
je crois qu'on n'a fait rien d'autre que répondre la même chose que toi (en laissant à jo99
le soin de voir comment se ramener à l'intégrale de zephir....)
Eric -
En fait, quand j'ai posté, je n'avais pas vu le post de Paulo et le suivant... sans doute apparus pendant que j'écrivais le mien.
Je voulais juste souligner que plusieurs intervenants ne parlaient que de $f(1)$ et non de $f(t)$.
Mais j'admets tout-à-fait n'avoir fait que redire ce que Paulo a dit bien plus succinctement.
Je vais de ce pas modifier mon post plus haut en guise d'excuses.
[La case LaTeX. AD]
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