si on ramene tout sur une ligne c'est plus facile
$\displaystyle \frac {a}{b}\ =\ a.b^{-1}$ ---> $\displaystyle \frac {(\frac {a}{b})}{(\frac{c}{d})}$ . et que selon $\displaystyle tan = \frac {sin}{cos}$
> $\frac {1}{tan}$ ...
tu dispose de 12 fonctions trigo classiques que tu peux décrire ainsi
(je te recommande de faire un graphe car c'est pas facile quand on ne les visualise pas)
je suis nul en dessin
tu peux constater que tu peux écrire toutes ces fonctions en n'utilisant uniquement que cos et arcos ou bien encore sin et arcsin
cos x = y selon $\displaystyle cos \ x \ =\ sin (\frac {\pi }{2}\ -\ x)$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et Da = [-1 , 1]
cos est paire et périodique de période $\ 2.\pi $
arccos x = y selon $\displaystyle arccos \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arcsin \ x$
Df = [-1 , 1] et $\ Da \ =\ [0\ ,\ \pi ]$
et l'implication uniquement selon
arccos x = y ==> cos y = x
sin x = y selon $\displaystyle sin \ x \ =\ cos (\frac {\pi }{2}\ -\ x)$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et Da = [-1 , 1]
sin est impaire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcsin x = y selon $\displaystyle arcsin \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arccos \ x$
Df = [-1 , 1] et $\ Da\ =\ [\frac {-\ \pi}{2}\ ,\ \frac {\pi}{2}]$
arcsin est impaire
et l'implication uniquement selon
arcsin x = y ==> sin y = x
tan x = y selon $\displaystyle tan \ x \ =\ \frac {sin \ x }{cox \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ \frac {\pi}{2}\ +\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ \mathbb {R}\ $
tan est impaire et périodique de période $\ \pi $
arctan x = y selon $\displaystyle arctan \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arccotan \ x$
ou encore :
*pour $\ x\ \geq \ 0\ $ alors $\displaystyle \ arctan \ x\ =\ arccos \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
*pour $\ x\ <\ 0\ $ alors $\displaystyle \ arctan \ x\ =\ -\ arccos \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et $\ Da \ =\ ]\frac {-\ \pi}{2}\ ,\ \frac {\pi}{2}[$
arctan est impaire
et l'implication uniquement selon
arctan x = y ==> tan y = x
cotan x = y selon $\displaystyle cotan \ x \ =\ \frac {cos \ x }{sin \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ \mathbb {R}\ $
cotan est impaire et périodique de période $\ \pi $
arccotan x = y selon $\displaystyle arccotan \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arctan \ x$
ou encore :
*pour $\ x\ \geq \ 0\ $ alors $\displaystyle \ arccotan \ x\ =\ arcsin \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
*pour $\ x\ <\ 0\ $ alors $\displaystyle \ arccotan \ x\ =\ \pi \ -\ arcsin \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et $\ Da \ =\ ]0\ ,\ \pi [$
et l'implication uniquement selon
arccotan x = y ==> cotan y = x
sec x = y selon $\ \displaystyle sec \ x\ =\ \frac {1}{cos \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ \frac {\pi}{2}\ +\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [ $
sec est paire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcsec x = y selon $\ \displaystyle arcsec \ x\ =\ arccos(\frac {1}{x})$
$\ Df \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [\ $ et $\ Da \ =\ [0\ ,\ \frac {\pi}{2}[\ \cup \ ] \frac {\pi}{2}\ ,\ \pi ]$
et l'implication uniquement selon
arcsec x = y ==> sec y = x
cosec x = y selon $\ \displaystyle sec \ x\ =\ \frac {1}{sin \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [ $
cosec est impaire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcosec x = y selon $\ \displaystyle arcosec \ x\ =\ arcsin(\frac {1}{x})$
$\ Df \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [\ $ et $\ Da \ =\ [\ -\ \frac {\pi}{2}\ ,\ 0[\ \cup \ ] 0\ ,\ \frac {\pi}{2}[$
arccosec est impaire
et l'implication uniquement selon
arcosec x = y ==> cosec y = x
simplification de arctan (-1/tan(3x+5)) troisième post
$\ \forall \ x \ \in \ \mathbb {R}\ $ on considère une composée de fonctions fog telles que f(x)=X et g(X)=Z et telles que :
-tan (3.x + 5) = tan Z et que par conséquent $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z$
cette méthode fonctionne pour toute fonction periodique pas forcément trigonométrique
p étant périodique et q une fonction quelconque il s'agit de transcrire poq par po(fog)
chacuns des cinq cas donnant des conditions uniques qui font que l'on ne peut avoir deux ou plus cas possibles pour un réel quelconque x
cela est tout simplement due au fait (voir premier post de la simplification) que ces cas ont étés construits selon :
pour une fonction periodique quelconque p de période T
on détermine pour tout x réel une valeur y telle que $\ x\equiv X(mod [a,b[)$ ou bien $\ x\equiv X(mod ]a,b])$
et telle que T=b-a pour obtenir p(x)=p(X)
$\exists \ k\ \in \ \mathbb {Z}$ tel que
$\ -\ tan(3.x\ +\ 5)\ =\ tan(Z\ +\ k.\pi )$ donc tel que : $\ -\ 3.x\ -\ 5\ =\ Z\ +\ k.\pi $
on considère la notation [r] qui désigne la partie entière de r, son utilisation ici sera avec r positif
pour un réel positif quelconque p et un réel strictement positif quelconque q on obtiens l'équivallence
$\displaystyle \ \frac {p}{q}\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ \equiv \ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ donc lorsque q|p alors $\ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $
pour ces deux réels p et q je note $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ $ la partie fractionnaire de $\ \displaystyle \ \frac {p}{q}\ $ j'obtiens : $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ =\ \frac { p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ }{q}$
on termine la simplification
on peux établir
$\ \displaystyle \frac {1}{tan W}\ =\ cotan W $
$\ \displaystyle arctan W\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ arccotan W$
les implications
arccotan W = y ==> cotan y =W
cotan W = y avec $\ \displaystyle W\ \in \ [0\ ,\ \pi]\ $ ==> arcotan y = W
selon $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z\ $ on considère alors W tel que :
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [0\ ,\ \frac {\pi }{2}[\ $ on a W = Z
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [- \frac {\pi }{2}\ ,\ 0[\ $ on a $\ \displaystyle W\ =\ Z\ +\ \pi \ $
simplification de $\ \displaystyle arctan \begin {pmatrix} \frac {-1}{tan(3x+5)}\end {pmatrix}\ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ W$
il s'agit donc de déterminer W
on obtiens une simplification qui présente l'avantage de ne pas utiliser aucune fonction trigonométrique sans tenir compte des points interdits (comme par exemple $\ \displaystyle \frac {\pi }{2}\ $ dans la fonction tan ) compte tenu que 1/tan =cotan et que les points interdit pour tan ne le sont pas pour cotan
(voir les trois posts concernant toute explication)
on considère la notation [r] qui désigne la partie entière de r, son utilisation ici sera avec r positif
ainsi donc on obtiens bien $\ \displaystyle arctan \begin {pmatrix} \frac {-1}{tan(3x+5)}\end {pmatrix}\ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ W$
sans avoir eut à calculer une fonction trigonométrique
cette méthode de simplification peut permettre d'écrire autrement et sans l'utilisation de fonctions trigonométriques la résolution des équations du troisième et quatrième degré avec coefficients réels ou complexes
je ne pense pas être hors sujet si je continue ce fil en se sens non ?
ce sera assez long à faire ...
bisam je n'ai pas ouvert ce fil donc je répond si ça dérange personne à celui qui l'a ouvert
pourquoi? ça te dérange ? ou as tu une raison hors sujet à me retorquer ?
bisam je suppose que je peux continuer les réponses de ce fil puisque cette méthode est utilisable pour certains cas des ces équations
bien sûr les équations seront différentes de celles de ce fil mais la méthode générale est la même
bien sûr je pense qu'il ne serai pas inutile de rappeler les formulations qui en donne les racines
cependant et là je m'adresse plus à l'administrateur ou la modération :
suis-je hors-sujet en continuant ce fil selon ce que je ce viens de dire ?
Sphinx, tu peux continuer si tu veux, moi je n'y vois pas d'inconvénient, mais le but du forum
c'est quand même de discuter et pas de monologuer. Or là plus grand monde ne lit car tes messages
sont trop long, je te suggère de finir complètement tes calculs et d'en fournir si tu peux une version
résumée plus concise (enfin si tu as envie d'être lu...)
beh c'est vrai que (bon d'abord c'est long) et puis est-ce qu'on me comprend ? parce que l'intérêt c'est d'être compris !
sinon je pense que je vais faire ceci et terminer ce fil ici en disant (et à mon avis et c'est mieux) :
on peut utiliser cette méthode pour simplifier par exemple
cos ( $\theta $ / 3 ) avec $\ \displaystyle \theta \ =\ arccos \begin {pmatrix}\ \frac {-q}{2.\sqrt {\frac {-p^3}{27}}}\end {pmatrix}$
merci Eric Chopin c'est mieux de finir ainsi
pour la méthode générale je renvoie aux posts précédents
Réponses
Là tu t'avances peut-être un peu, mais disons que tu as une piste, maintenant il faut voir au cas par cas si tu es capable de l'exploiter.
$\displaystyle \frac {a}{b}\ =\ a.b^{-1}$ ---> $\displaystyle \frac {(\frac {a}{b})}{(\frac{c}{d})}$ . et que selon $\displaystyle tan = \frac {sin}{cos}$
> $\frac {1}{tan}$ ...
maintenant j'ai tous les éléments pour comprendre et résoudre ce type de probleme.
A bientot et encore merci
(je te recommande de faire un graphe car c'est pas facile quand on ne les visualise pas)
je suis nul en dessin
tu peux constater que tu peux écrire toutes ces fonctions en n'utilisant uniquement que cos et arcos ou bien encore sin et arcsin
cos x = y selon $\displaystyle cos \ x \ =\ sin (\frac {\pi }{2}\ -\ x)$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et Da = [-1 , 1]
cos est paire et périodique de période $\ 2.\pi $
arccos x = y selon $\displaystyle arccos \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arcsin \ x$
Df = [-1 , 1] et $\ Da \ =\ [0\ ,\ \pi ]$
et l'implication uniquement selon
arccos x = y ==> cos y = x
sin x = y selon $\displaystyle sin \ x \ =\ cos (\frac {\pi }{2}\ -\ x)$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et Da = [-1 , 1]
sin est impaire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcsin x = y selon $\displaystyle arcsin \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arccos \ x$
Df = [-1 , 1] et $\ Da\ =\ [\frac {-\ \pi}{2}\ ,\ \frac {\pi}{2}]$
arcsin est impaire
et l'implication uniquement selon
arcsin x = y ==> sin y = x
tan x = y selon $\displaystyle tan \ x \ =\ \frac {sin \ x }{cox \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ \frac {\pi}{2}\ +\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ \mathbb {R}\ $
tan est impaire et périodique de période $\ \pi $
arctan x = y selon $\displaystyle arctan \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arccotan \ x$
ou encore :
*pour $\ x\ \geq \ 0\ $ alors $\displaystyle \ arctan \ x\ =\ arccos \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
*pour $\ x\ <\ 0\ $ alors $\displaystyle \ arctan \ x\ =\ -\ arccos \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et $\ Da \ =\ ]\frac {-\ \pi}{2}\ ,\ \frac {\pi}{2}[$
arctan est impaire
et l'implication uniquement selon
arctan x = y ==> tan y = x
cotan x = y selon $\displaystyle cotan \ x \ =\ \frac {cos \ x }{sin \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ \mathbb {R}\ $
cotan est impaire et périodique de période $\ \pi $
arccotan x = y selon $\displaystyle arccotan \ x \ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ arctan \ x$
ou encore :
*pour $\ x\ \geq \ 0\ $ alors $\displaystyle \ arccotan \ x\ =\ arcsin \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
*pour $\ x\ <\ 0\ $ alors $\displaystyle \ arccotan \ x\ =\ \pi \ -\ arcsin \begin {pmatrix} \displaystyle \frac {1}{\sqrt { x^2\ +\ 1 }} \end {pmatrix}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ $ et $\ Da \ =\ ]0\ ,\ \pi [$
et l'implication uniquement selon
arccotan x = y ==> cotan y = x
sec x = y selon $\ \displaystyle sec \ x\ =\ \frac {1}{cos \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ \frac {\pi}{2}\ +\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [ $
sec est paire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcsec x = y selon $\ \displaystyle arcsec \ x\ =\ arccos(\frac {1}{x})$
$\ Df \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [\ $ et $\ Da \ =\ [0\ ,\ \frac {\pi}{2}[\ \cup \ ] \frac {\pi}{2}\ ,\ \pi ]$
et l'implication uniquement selon
arcsec x = y ==> sec y = x
cosec x = y selon $\ \displaystyle sec \ x\ =\ \frac {1}{sin \ x}$
$Df \ =\ \mathbb {R}\ -\ \{\ k\ \in \ \mathbb {Z}\ |\ k.\pi \ \}\ $ et $\ Da \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [ $
cosec est impaire et périodique de période $\ 2.\pi $
arcosec x = y selon $\ \displaystyle arcosec \ x\ =\ arcsin(\frac {1}{x})$
$\ Df \ =\ ] -\ \infty \ ,\ -\ 1]\ \cup \ [1 \ ,\ \infty [\ $ et $\ Da \ =\ [\ -\ \frac {\pi}{2}\ ,\ 0[\ \cup \ ] 0\ ,\ \frac {\pi}{2}[$
arccosec est impaire
et l'implication uniquement selon
arcosec x = y ==> cosec y = x
$\ \forall \ x \ \in \ \mathbb {R}\ $ on considère une composée de fonctions fog telles que f(x)=X et g(X)=Z et telles que :
-tan (3.x + 5) = tan Z et que par conséquent $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z$
cette méthode fonctionne pour toute fonction periodique pas forcément trigonométrique
p étant périodique et q une fonction quelconque il s'agit de transcrire poq par po(fog)
chacuns des cinq cas donnant des conditions uniques qui font que l'on ne peut avoir deux ou plus cas possibles pour un réel quelconque x
cela est tout simplement due au fait (voir premier post de la simplification) que ces cas ont étés construits selon :
pour une fonction periodique quelconque p de période T
on détermine pour tout x réel une valeur y telle que $\ x\equiv X(mod [a,b[)$ ou bien $\ x\equiv X(mod ]a,b])$
et telle que T=b-a pour obtenir p(x)=p(X)
$\exists \ k\ \in \ \mathbb {Z}$ tel que
$\ -\ tan(3.x\ +\ 5)\ =\ tan(Z\ +\ k.\pi )$ donc tel que : $\ -\ 3.x\ -\ 5\ =\ Z\ +\ k.\pi $
on considère la notation [r] qui désigne la partie entière de r, son utilisation ici sera avec r positif
pour un réel positif quelconque p et un réel strictement positif quelconque q on obtiens l'équivallence
$\displaystyle \ \frac {p}{q}\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ \equiv \ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ donc lorsque q|p alors $\ p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $
pour ces deux réels p et q je note $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ $ la partie fractionnaire de $\ \displaystyle \ \frac {p}{q}\ $ j'obtiens : $\ \displaystyle \ \{ \frac {p}{q}\ \}\ =\ \frac { p\ -\ q.\begin {bmatrix} \ \frac {p}{q}\ \end {bmatrix}\ }{q}$
1er cas
*lorsque $\ 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $ et qu'en plus $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ -\ 2.\pi \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {-\pi}{2}\ <\ 0$
2ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ 0$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {-\pi}{2}\ <\ 0$
2ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \pi . \epsilon\ -\ \frac {\pi}{2}\ <\ 0$
3ème cas
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon\ <\ 0$
4ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ 0$
4ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \pi . \epsilon\ -\ \frac {\pi}{2}\ >\ 0$
5ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ 0$
5ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle n\ \in \ \mathbb {N}$ et $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle Z\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon\ >\ 0$
on termine la simplification
on peux établir
$\ \displaystyle \frac {1}{tan W}\ =\ cotan W $
$\ \displaystyle arctan W\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ arccotan W$
les implications
arccotan W = y ==> cotan y =W
cotan W = y avec $\ \displaystyle W\ \in \ [0\ ,\ \pi]\ $ ==> arcotan y = W
selon $\ \displaystyle \frac {-1}{tan(3.x\ +\ 5)}\ =\ cotan \ Z\ $ on considère alors W tel que :
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [0\ ,\ \frac {\pi }{2}[\ $ on a W = Z
pour $\ \displaystyle Z\ \in \ [- \frac {\pi }{2}\ ,\ 0[\ $ on a $\ \displaystyle W\ =\ Z\ +\ \pi \ $
on obtiens $\ \displaystyle arctan \begin {pmatrix} \frac {-1}{tan(3x+5)}\end {pmatrix}\ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ W$
il s'agit donc de déterminer W
on obtiens une simplification qui présente l'avantage de ne pas utiliser aucune fonction trigonométrique sans tenir compte des points interdits (comme par exemple $\ \displaystyle \frac {\pi }{2}\ $ dans la fonction tan ) compte tenu que 1/tan =cotan et que les points interdit pour tan ne le sont pas pour cotan
(voir les trois posts concernant toute explication)
on considère la notation [r] qui désigne la partie entière de r, son utilisation ici sera avec r positif
1er cas
*lorsque $\ 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $ et qu'en plus $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ -\ 2.\pi \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ =\ 0\ $ alors $\ \displaystyle W\ =\ \frac {\pi}{2}$
2ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \ =\ 0$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ \frac {\pi}{2}$
2ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ \pi . \epsilon\ +\ \frac {\pi}{2}$
3ème cas
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ \frac {3.\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon $
4ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ 0$
4ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle \pi \ -\ 6.x\ -\ 10\ \geq \ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}\ -\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {\pi \ -\ 6.x\ -\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]\frac {1}{2}\ ,\ 1[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {\pi \ -\ 2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ \pi . \epsilon\ -\ \frac {\pi}{2}$
5ème cas première partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {1}{2}$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ 0$
5ème cas deuxième partie
*lorsque $\ \displaystyle 6.x\ -\ \pi \ +\ 10\ >\ 0\ $
par ailleurs on pose $\ \displaystyle n\ =\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
$\ \displaystyle \epsilon \ =\ \frac {3.x}{\pi }\ -\ \frac {1}{2}\ +\ \frac {5}{\pi }\ -\ \begin {bmatrix}\ \frac {6.x\ -\ \pi \ +\ 10}{ 2.\pi } \ \end {bmatrix}\ $
et qu'en plus $\ \displaystyle \epsilon \in \ ]0\ ,\ \frac {1}{2}[$
et $\ \displaystyle x \ =\ \frac {2.\pi .(n\ +\ \epsilon)\ +\ \pi -\ 10}{6}\ $
alors $\ \displaystyle W\ =\ \frac {\pi}{2}\ -\ \pi . \epsilon $
ainsi donc on obtiens bien $\ \displaystyle arctan \begin {pmatrix} \frac {-1}{tan(3x+5)}\end {pmatrix}\ =\ \frac {\pi }{2}\ -\ W$
sans avoir eut à calculer une fonction trigonométrique
je ne pense pas être hors sujet si je continue ce fil en se sens non ?
ce sera assez long à faire ...
Je pense que tu devrais te poser des questions à ce sujet, plutôt qu'à un autre...
pourquoi? ça te dérange ? ou as tu une raison hors sujet à me retorquer ?
bien sûr les équations seront différentes de celles de ce fil mais la méthode générale est la même
bien sûr je pense qu'il ne serai pas inutile de rappeler les formulations qui en donne les racines
cependant et là je m'adresse plus à l'administrateur ou la modération :
suis-je hors-sujet en continuant ce fil selon ce que je ce viens de dire ?
c'est quand même de discuter et pas de monologuer. Or là plus grand monde ne lit car tes messages
sont trop long, je te suggère de finir complètement tes calculs et d'en fournir si tu peux une version
résumée plus concise (enfin si tu as envie d'être lu...)
Eric
sinon je pense que je vais faire ceci et terminer ce fil ici en disant (et à mon avis et c'est mieux) :
on peut utiliser cette méthode pour simplifier par exemple
cos ( $\theta $ / 3 ) avec $\ \displaystyle \theta \ =\ arccos \begin {pmatrix}\ \frac {-q}{2.\sqrt {\frac {-p^3}{27}}}\end {pmatrix}$
merci Eric Chopin c'est mieux de finir ainsi
pour la méthode générale je renvoie aux posts précédents