Equations avec congruences

LECHABLE · June 2002

il faut que résoudre les équations avec congruences
suivantes :
3x congru 7 (mod 16)
2001x congru 2002 (mod 1789)
2001x congru 1789 (mod 2001)
3x+4 congru 5x+7 (mod 31)
3x+4 congru 5x+7 (mod 2)
4x congru 3 (mod 16)

Pour 3x congru 7 (mod 16) :
Je sais qu'il faut faire
3x congru 7 (mod 16)
ax congru b (mod m)
a^m=d (la on cherche le plus grand diviseur commun de a et
m)
d=1
Si b est divisible par d donc là 7/1=1 est possible alors
il y a d=1 possibilité
Mais je capte pas comment sortir ces possibilitées de x.
Merci

Tany · June 2002

<HTML>En gros il faut décomposer le modu en facteur premiers et résoudre la congruence pour chacun de ces facteurs premiers.
Pour un p^n on procède pour p puis on fait par récurrence jusqu'à obtenir p^n
Je pense que ca devrait marcher

ph0 · June 2002

<HTML>Bonsoir,

1) 3x=7(16)
multiplie par 5 : 15x=35(16) ie -x=3(16) donc x=-3(16)
solutions : x=-3+16k (k dans Z)

2) 2001x=2002(1789)
1789 est premier
voici une solution
Le but est, par des multip^lications, d'enlever le facteur 2001 et le réduire à 1.

Réduisons l'équation tt d'abord (mod 1789):
212x=213(1789)
[1789/212]=9 on multiplie par 9
1908x=1917(1789)
119x=128(1789)
[1789/119]=16 on multiplie par 16 et on réduit
115x=259(1789)
...
on aboutità
x=1309(1789)

je te laisse l'autre

3) 3x+4=5x+7(31)
donne
2x=-3(31)
multipliant par 15
30x=-45(31)
-x=17(31)
x=-17=14(31)

Jean Bureau · June 2002

<HTML>Dans la quatrième on a :
3x+4=5x+7 mod 2
0=1 mod 2 ce qui est impossible et il n'ya donc pas de solutions
Enfin dans la dernière on a 4x est pair et donc 4x-3 est impair. En particulier 1- ne peut le diviser et donc il n'y a toujours pas de solutions.

ph0 · June 2002

<HTML>Un peu plus simple que ce que je disais (mais cela revient au même heureusement):

par exemple:
2001x=2002(1789)
réduit
212x=213(1789)
on cherche alors y tel que : 212y=1(1789)
(car on veut "effacer" le coef 212)
cela revient à résoudre la diophantienne
212y-1789z=1
on trouve : y=-481(1789)
on multiplie alors l'équation par -481 :
-101972x=-102453(1789)
soit
x=1309(1789)

voila voila

LECHABLE · June 2002

<HTML>Il y a des choses que je ne comprends pas
comme :

1)
3x=7(16)
multiplie par 5 : 15x=35(16) ie -x=3(16) donc x=-3(16)
solutions : x=-3+16k (k dans Z)

Pourquoi on multiplie par 5
Comment de 15x=35(16) tu passes à -x=3(16)

2)
2001x=2002(1789)
réduit
212x=213(1789)
on cherche alors y tel que : 212y=1(1789)
(car on veut "effacer" le coef 212)
cela revient à résoudre la diophantienne
212y-1789z=1
on trouve : y=-481(1789)
on multiplie alors l'équation par -481 :
-101972x=-102453(1789)
soit
x=1309(1789)

Comment tu passes de 2001x=2002(1789) à 212x=213(1789)
Et comment tu passes de 212y-1789z=1 à y=-481(1789)
Et enfin -101972x=-102453(1789) à x=1309(1789)

Merci

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