Milieu d'un segment

slim · January 2012

Bonjour @ tous, j'avais l'habitude au collège et lycée de noter ainsi le milieu I d'un segment [A,B] : I=A*B .

Cette notation, existe-t-elle encore? Car ce matin, à l'université, une collègue a écrit ainsi: I= mil[A,B] , je trouve la première plus mathématique et la seconde est à remplacer par une phrase : I est le milieu du segment [A,B].

Merci à tous.

JLT · January 2012

Je n'ai jamais rencontré la notation $A*B$ pour le milieu de deux points, qui me paraît bizarre. $\mbox{mil}(A,B)$ est une notation convenable, $\frac{A+B}{2}$ pourrait aller aussi mais c'est une notation dangereuse.

Philippe Malot · January 2012

Je ne comprends pas en quoi la notation avec une étoile est plus mathématique que l'autre.
Sinon la notation $\displaystyle\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B$ est un peu moins dangereuse que $\displaystyle\frac{A+B}{2}$.

Archimède · January 2012

En géométrie affine sur un corps $K$ de caractéristique $\not=2$, on peut parler du milieu d'un bipoint $(A,B)$, mais en général il n'y a pas de notion de segment $[A,B]$. Le milieu de $(A,B)$ est l'isobarycentre des points $A$ et $B$ ; il est bien défini car $2\cdot 1_K\not=0_K$ (par notation $2\cdot 1_K=1_K+1_K$).
Personnellement je le note $\mathrm{mil}(A,B)$. Mais une telle notation est assez récente.

afk · January 2012

Dejà "Soit I le milieu de [AB]" n'est pas beaucoup plus long à écrire donc je ne vois pas l'intérêt d'introduire une notation. Ensuite, ça me semble contreproductif car d'après ma toute petite expérience, les élèves et étudiants ont déjà du mal à différencier les notations AB, (AB) et [AB]. Ils en ont encore plus à formuler correctement leurs raisonnements: ils parlent de "milieu d'une droite" au lieu de milieu d'un segment, de "diagonales qui se coupent en un même point" au lieu de "diagonales qui se coupent en leur milieu" etc...

Enfin, la notation $I = A*B$ que je n'ai jamais rencontrée est vraiment contre-intuitive car la loi de composition interne ainsi définie n'est pas associative.

JLT · January 2012

@Philippe Malot : $\displaystyle\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B$ est quand même dangereuse car un étudiant peu attentif risque de vouloir écrire des choses comme $\displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$.

Zo! · January 2012

Quel est le mal à écrire $ \displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ ?

ev · January 2012

Bonsoir Zo!

Tu as déjà essayé $ \displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ devant une classe de collège ? On peut parler de dangerosité dans ce cas-là !

amicalement,

e.v.

Zo! · January 2012

Et toi, ev, as-tu déjà vu un(e) élève de collège écrivant $\displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ et aboutissant à une catastrophe ? Allez, ne te fais pas prier, donne nous du vécu !

ev · January 2012

Bah non, ça risque pas d'être catastrophique puisque c'est fondamentalement correct. Les élèves - souvent poussés par le désespoir - peuvent être amenés à écrire des choses comme ça¹. J'ai d'ailleurs toujours compté pour juste une telle écriture tout en avertissant les élèves que j'étais minoritaire sur ce point. Le danger ne vient pas des élèves tu le sais bien !

e.v.

¹ J'ai surtout vu des soustractions de points qui sont plus naturelles. La notation $ \frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ sent le barycentre du lycée, et c'est une autre juridiction... Ah! on me fait signe que le barycentre vit ses derniers jours au lycée. C'est bien normal, il grandit, il est grand temps qu'il entre à l'université...

Zo! · January 2012

Donc, ev, si je comprends bien, tu es finalement d'accord qu'il n'y a pas de mal pour un étudiant (JLT ne parlait pas de collégien, d'ailleurs) à écrire $ \displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ ? Du moment qu'il calcule de façon cohérente dans l'enveloppe vectorielle de l'espace affine...

JLT · January 2012

Zo! je ne sais pas si tu fais exprès de provoquer ou bien si tu enseignes trop en prépa agreg et pas assez en L2-L3. Beaucoup d'étudiants de L2-L3 ne penseront pas à considérer $\displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ comme un point de l'enveloppe vectorielle de l'espace affine, mais vont prendre une origine $O$, et déterminer le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$ qui n'est pas bien défini puisqu'il dépend du choix de $O$.

Zo! · January 2012

JLT, peux-tu expliquer dans quel situation concrète tu as vu des étudiants faire ce que tu décris ?

JLT · January 2012

En fait je ne l'ai pas vu directement mais je connais quelqu'un qui a enseigné une UE de géométrie affine en L3 et qui se plaignait que les étudiants ne comprennent pas grand chose, n'apprennent pas leurs définitions et additionnent des points d'un espace affine. Je n'ai pas plus de détails mais je suppose simplement que lorsqu'ils écrivent $A+B$ ils n'imaginent pas une définition correcte de la somme $A+B$.

ev · January 2012

Bonjour Zo!

Je te confirme que je ne vois pas de mal mathématique à additionner des points, à les multiplier par des scalaires. Certains élèves le font spontanément sans pouvoir être capable de justifier. Le mal est ailleurs, de nature pédagogique.
1) Justement parce que les élèves ne peuvent pas justifier leurs notations ni leurs calculs. Pour nuancer ce point, s'il fallait attendre que les élèves soient capable de tout justifier, nous n'irions pas loin.
2) La hiérarchie pédagogique absente des bancs de l'université est prompte à sauter sur le râble de l'enseignant hérétique comme la légion sur Kolwesi. Et c'est là principalement que je vois le danger. Une escouade d'inspecteurs-parachutistes qui fait voler à coups de ranjos les fenêtres de la salle de classe et neutralisent avec leur arme de service le terroriste au tableau qui a osé enseigner que les points étaient des vecteurs comme les autres.

Tu vois ce que je veux dire Zo!? Pour l'enseignant en collège, l'enveloppe vectorielle de l'espace affine est aussi proche de l'agence de pôle-emploi que la roche tarpéïenne l'est du Capitole.

Pour en revenir au sujet, mes élèves de collège utilisaient spontanément $m([A,B])$ pour le milieu de $[A,B]$. Là encore, je les laissais faire - il ne faut pas décourager une initiative à cet âge-là - bien qu'étant par nature réfractaire aux notations officielles. J'en déduis qu'un certain nombre de mes collègues doivent utiliser cette notation, un peu lourde certes, mais qui après tout en vaut bien une autre.

amicalement,

e.v.

Zo! · January 2012

@ev : j'ai beau relire mes interventions, je ne vois nulle part que je recommande l'introduction de l'enveloppe vectorielle au collège.

@JLT : reparlons donc des étudiants. Tout ce que j'ai comme expérience d'utilisation d'écritures du type $\displaystyle\frac{1}{3}A+\frac{1}{4}B$ dans le calcul barycentrique, c'est des choses du genre : si $M$ est le milieu de $A$ et $B$ alors, si $G=\dfrac{1}{3} A+\dfrac{1}{3} B+\dfrac{1}{3} C$, comme $\dfrac{1}{3} A+\dfrac{1}{3} B = \dfrac{2}{3} (\dfrac{1}{2} A+\dfrac{1}{2}

$ on a $G=\dfrac{2}{3} M +\dfrac{1}{3} C$. Ca vient naturellement aux étudiants, même s'ils n'ont jamais entendu parler d'enveloppe vectorielle. Faut-il alors dire que c'est mal d'écrire $\dfrac{1}{3} A+\dfrac{1}{3} B$ ? Tout ce que je peux écrire dans la marge, c'est "Il faudrait justifier cette écriture". Mais il faut reconnaître que ça marche et que c'est bigrement plus commode que de se trimballer des vecteurs à flèches.

ev · January 2012

D'accord avec toi Zo!

C'est un peu comme si tu me demandais ce que je préfère comme notation, toutes choses égales par ailleurs :
$ x=\dfrac{1}{3} a+\dfrac{1}{3} b+\dfrac{1}{3} c \qquad $ ou $ \qquad x-0=\dfrac{1}{3} (a-0)+\dfrac{1}{3} (b-0) + \dfrac{1}{3} (c-0)$. Le choix est vite fait.

La difficulté n'est pas dans les calculs, elle est conceptuelle. Ce concept demande d'avoir compris ce qu'est un espace affine (M'sieur, est-ce que j'ai le droit de...?) et ce n'est pas gagné d'avance. Et là je parle des étudiants.

Pour le reste, le lien que tu proposes pour le collège risque de plus intéresser les élèves que le programme officiel, qui somme toute les passionne médiocrement.

amicalement,

e.v.

JLT · January 2012

En ce qui me concerne, je pense que la plupart des étudiants qui écrivent $\dfrac{1}{3}A+\dfrac{1}{3}B$ ne comprennent pas ce qu'ils font, et ce n'est pas une bonne chose d'encourager des gens à ne pas comprendre ce qu'ils écrivent. Il me paraît plus simple de dire que dans un espace affine, on a une notion de barycentre et pas de combinaisons linéaires de points, pour éviter les risques de confusion entre espaces vectoriels et espaces affines. Sinon, certains étudiants, lorsqu'on leur demande de vérifier si l'espace $F$ d'équation $x+y-z=1$ est un sous-espace affine, vont se mettre à regarder si $\forall A,B\in F,\quad A+B\in F$.

nicolas.patrois · January 2012

Que va faire l'élève qui écrit A+B s'il se retrouve devant 2A+2B ?

slim · January 2012

Merci à tous, on revient au point de départ il vaut mieux écrire en toutes lettres que A est le milieu de tel segment. Mais certains profs privilégient trop les abréviations et souvent cela nuit à leurs élèves et à leurs rédactions en particulier.

Braun · January 2012

A propos abréviation, soit un //og ABCD ....
Mais c'était avant l'ère des SMS.

nicolas.patrois · January 2012

J’ai vu, je ne sais plus où, # au lieu de parallélogramme.

Milieu d'un segment

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