Somme des distances aux cotés d'un triangle

rhorho · January 2012

Bonjour

Je cherche à minimiser la somme des distances d'un point intérieur à un triangle aux coté de ce triangle

Je sais le faire si il est équilatéral (la somme est constante), si il est isocéle (base ou sommet suivant les dimensions) grace à des preuves géométriques (on cosidère l'aire de trois triangles qui décomposent notre grand triangle)

Je cherche maintenant si il est rectangle

J'ai trouvé par des méthodes analytiques que c'est le sommet en lequel il est rectangle mais je voudrais une preuve géométrique

Pourriez vous m'en indiquer une

Merci

JLT · January 2012

Je ne réponds pas à la question mais je poste une solution analytique.

L'application $f$ qui à un point intérieur associe la somme des distances aux côtés est une application affine. Elle atteint donc son maximum en l'un des points extrémaux, c'est-à-dire en l'un des sommets.

Si $ABC$ est rectangle en $A$ avec $a>b>c$, alors $f(B)=c$, $f(C)=b$, $f(A)=bc/a<c<b$, d'où on tire que si $M=xA+yB+zC$ alors $f(M)=xbc/a+yc+zb\ge f(A)$ avec égalité si et seulement si $M=A$.

JLT · January 2012

Plus généralement, pour un triangle quelconque, si $a>b\ge c$ alors $f$ atteint son minimum en $M=A$.

Si $a=b>c$ alors $f$ atteint son minimum quand $M$ est sur $[A,B]$.

Si $a=b=c$ alors $f$ est constante.

JLT · January 2012

Sinon, pour une démonstration géométrique dans le cas du triangle rectangle, on voit facilement que la somme des distances diminue lorsque le point $M$ se déplace verticalement vers $D$, puis horizontalement vers $A$.
22046

rhorho · January 2012

Merci beaucoup de vos réponses ;

je me permets de demander une toute petite précision: pourriez vous détailler un poil le "on voit facilement "

JLT · January 2012

Quand M se déplace d'une distance $x$ en direction de $D$, la distance de $M$ à $(AB)$ diminue de $x$, tandis que $M$ ne peut pas s'éloigner de $(BC)$ d'une distance supérieure à $x$.

Même raisonnement lorsque $M$ se déplace de $D$ vers $A$.

rferreol2 · September 2021

Bonjour,
Auriez vous une démonstration de ce résultat http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,721615,721648#msg-721648 ?
Merci.

Tonm · September 2021

Salut, simplement si $H$ est la plus grande hauteur issue du plus petit côté $c$ et $h$ la plus petite hauteur issue de grand côté $a$, un point $P$ à l'intérieur de $ABC$ vérifie ( avec $d(P,(BC))=h_1, d(P,(AC))=h_2, d(P,(AB))=h_3$ ) $$h_1a+h_2b+h_3c=Hc=ha.$$

Donc $h_1\frac{a}{c}+h_2\frac{b}{c}+h_3=H$ et $h_1+h_2\frac{b}{a}+h_3\frac{c}{a}=h.$
D'ou le minimum $h$ et maximum $H$ de la somme des projections $h_1,h_2,h_3$.
Cordialement.

Somme des distances aux cotés d'un triangle

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