Convergence en probabilités
Bonjour, j'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre. Soit $(\Omega ,F)$ un espace mesurable et P et Q deux probabilités sur $(\Omega ,F)$ qui sont équivalentes . Soit $(X_i)$,une suite de variables aléatoires sur $(\Omega ,F)$. Je voudrais montrer que $X_i\to X$ (où X est une v.a. sur le même espace) en probabilité pour P si et seulement si $X_i\to X$ en probabilité sous Q. Le problème est que je n'y arrive pas. D'où ma question: ce résultat est il faut ? Et sinon auriez vous une piste ? Je vous remercie d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$$
\sup_{A : P(A) \le \epsilon} \int_A f dP \to 0
$$
quand $\epsilon$ tend vers $0$. Pour le montrer tu remarques que, pour tout $M>0$, on a :
$$
\int_A f dP \le MP(A) + \int f1_{f>M}.
$$
Si tu veux aller plus loin dans ces histoires, tu peux regarder du côté de l'uniforme intégrabilité.
Peut être peux tu utiliser le fait que : une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$ si et seulement si de toute suite croissante d'entier $(n')$ on peut extraire une sous-suite $(n'_k)$ telle que la convergence soit presque sûre.
Cordialement,
bd.
Je prend $P$ et $Q$ deux mesures de probabilités. Je suppose $Q \ll P$ (au sens : $P(A)=0$ entraine $Q(A)=0$). Alors : pour tout $\epsilon>0$ il existe $\delta>0$ tel que $P(A)\le \delta$ entraine $Q(A)\le \epsilon$.
On le prouve par contraposition. Si la conclusion est niée, alors je peux trouver $\epsilon>0$ et une suite d'évènement $A_n$ tels que : $P(A_n) \le 2^{-n}$ et $Q(A_n) \ge \epsilon$. On considère alors $A=\limsup A_n$. On a $P(A)=0$ mais $Q(A) \ge \epsilon$ et donc $Q(A)$ non nul.
Soit $f=dQ/dP$ et $A_n=\{|X_n-X|\geq \epsilon\}.$ Pour $\eta>0$ soit $K_{\eta}>0$ tel que $P(f\geq K_{\eta})\leq \eta.$ Alors $$Q(A_n)=\int f 1_{A_n}dP\leq P(f\geq K_{\eta})+K_{\eta}P(A_n)\rightarrow_{n\rightarrow \infty} P(f\geq K_{\eta}).$$ Donc $\limsup Q(A_n)\leq \eta$ pour tout $\eta$ et donc $\lim Q(A_n)=0.$
C'est en tout cas la première preuve que j'ai proposée (enfin, esquissée, je ne sais pas si c'est très lisible du coup).
Par contre on peut montrer que de toute suite $Q(A_{n_k})$, on peut extraire une sous-suite qui tend vers $0$, car la convergence en proba entraîne la cv ps d'une sous-suite, et ça roule.