Bonjour Je viens de découvrir qu'il existe la formule suivante pour le produit des nombres impairs de $1$ à $2n-1$ : $$1 \dots (2n-3)(2n-1)= \frac{(2n)!}{n!2^n}$$ Je cherche une démo directe (donc pas de récurrence ou par l'absurde)... Merci beaucoup.
Bonjour,
on complète les trous pour avoir le produit de tous les nombres de $1$ à $2n$. On multiplie en haut et en bas par une certaine quantité qui se trouve être $n!2^n$.
$A=(n!)2^n = 2 \times 4 \times \cdots \times 2n$ (distribue un "2" sur chaque facteur de $n!$) est le produit de tous les nombres pairs jusqu'à $2n$. Ta formule $B=1 \dots (2n-3)(2n-1)$ est le produit de tous les nombres impairs jusqu'à $2n-1$.
Donc $AB$ = produit de tous les nombres entiers jusqu'à 2n (commutativité de la multiplication), c'est-à-dire $(2n)!$. D'où $B=\frac{(2n)!}{A}$.
Bug:
La démonstration de Toto le zero n'est pas une démonstration par récurrence, c'est une autre façon de dire ce qu'écrivait Girdav plus haut.
C'est facile de comprendre que si on multiplie par tous les entiers pairs 2,4,...,2n le produit des entiers impairs 1,3,...,2n-1
on a le produit de tous les entiers de 1 à 2n qui vaut (2n)!
Le produit des entiers pairs 2 à 2n comporte n facteurs on peut l'écrire sous la forme (1x2)x(2x2)x...(nx2) qui est égal à
$n!2^n$ donc le produit cherché vaut bien $(2n)!/(n!2^n)$
(c'est une redite de ce qu'on écrit Toto et Girdav)
Il n'y a pas à aimer ou pas la preuve par récurrence. C'est une méthode de preuve utile, et la seule possible pour certaines situations, même simples, définies justement de façon récurrente. Par exemple pour justifier que la suite définie par $u_{n+1} = 1+\sqrt{u_n}$ est bien définie. Bien évidemment, en général on squeeze ce type de preuve par un "il est évident" ou "une récurrence immédiate ..".
On n'y peut rien, les propriétés sur les entiers sont construites ainsi.
Par contre, la récurrence n'est pas une méthode heuristique, contrairement à la répétition d'essais, à l'analyse du passage d'un exemple pour $n=2$ à l'exemple pour $n=3$, à l'analyse du passage d'un exemple pour n à l'exemple pour $n+1$, etc.
écrit ainsi. Mais les points de suspension sont une façon de traiter la récurrence sans l'écrire formellement. Donc ne reviennent pas à ta preuve, formellement.
De même que les propriétés des produits généralisés sont démontrables (à la base) par une récurrence puisqu'on veut qu'ils soient valables pour tout nombre entier de termes.
Enfin je reconnais qu'utiliser une preuve par récurrence dans cette transcription de formule est inutilement lourd, sauf contestation explicite. L'explication de Girdav, au deuxième message est suffisamment probante.
Moi j'aurais plutôt objecté que "ma" preuve n'en est pas une dans le sens que n étant variable, prétendre vouloir démontrer quelque chose en fixant n, pose question.
Quand j'ai répondu que cette démonstration n'était pas une preuve par récurrence je voulais signifier que cela n'est pas fait dans les formes.
En fait, il me semble que le résultat utilisé, c'est que si $ \sigma $ est une bijection quelconque des $ n $ premiers entiers sur eux-mêmes, alors on a :
Bonjour Moi je cherche ça : $$P_n=\prod_{k=1}^n(4k-1).$$ En fait j'essaie de calculer $$\lim_{n\to+\infty}\left(\prod_{k=1}^n\frac{4k}{4k-1}\right).$$ Edit. En fait, je viens de trouver ma limite en appliquant $\ln$ et en comparant à la série de Riemann $\sum_k \frac1{k}$.
Mais le premier produit donne-t-il quelque chose de sympa ?
Vu qu'on a les Pochhammer ascendants $\bigg( \dfrac{3}{4} \bigg)_n$ et $(1)_n = n!$, le résultat peut s'obtenir via $\Gamma(x+\varepsilon) \simeq x^{\varepsilon} \, \Gamma(x)$ asymptotiquement.
Réponses
on complète les trous pour avoir le produit de tous les nombres de $1$ à $2n$. On multiplie en haut et en bas par une certaine quantité qui se trouve être $n!2^n$.
Donc $AB$ = produit de tous les nombres entiers jusqu'à 2n (commutativité de la multiplication), c'est-à-dire $(2n)!$. D'où $B=\frac{(2n)!}{A}$.
La démonstration de Toto le zero n'est pas une démonstration par récurrence, c'est une autre façon de dire ce qu'écrivait Girdav plus haut.
C'est facile de comprendre que si on multiplie par tous les entiers pairs 2,4,...,2n le produit des entiers impairs 1,3,...,2n-1
on a le produit de tous les entiers de 1 à 2n qui vaut (2n)!
Le produit des entiers pairs 2 à 2n comporte n facteurs on peut l'écrire sous la forme (1x2)x(2x2)x...(nx2) qui est égal à
$n!2^n$ donc le produit cherché vaut bien $(2n)!/(n!2^n)$
(c'est une redite de ce qu'on écrit Toto et Girdav)
La récurrence ne se cache-t-elle pas dans les points de suspension: 2.4....2n; 1.3....(2n-1) ?
Et alors?
"en pratique", le schéma peut aussi être:
1. calcul de quelques termes, observation
2. conjecture
3. Validation par récurrence
Il n'y a pas à aimer ou pas la preuve par récurrence. C'est une méthode de preuve utile, et la seule possible pour certaines situations, même simples, définies justement de façon récurrente. Par exemple pour justifier que la suite définie par $u_{n+1} = 1+\sqrt{u_n}$ est bien définie. Bien évidemment, en général on squeeze ce type de preuve par un "il est évident" ou "une récurrence immédiate ..".
On n'y peut rien, les propriétés sur les entiers sont construites ainsi.
Par contre, la récurrence n'est pas une méthode heuristique, contrairement à la répétition d'essais, à l'analyse du passage d'un exemple pour $n=2$ à l'exemple pour $n=3$, à l'analyse du passage d'un exemple pour n à l'exemple pour $n+1$, etc.
Cordialement.
[La case LaTeX.
Non, ou alors très loin dans l'associativité et la commutativité de la multiplication.
$ \displaystyle (2n)! = \prod_{k=1}^{2n} k = \prod_{\ell=1}^n (2\ell-1)2\ell = \prod_{\ell=1}^n (2\ell-1) \prod_{\ell=1}^n 2\ell = 2^n n! \prod_{\ell=1}^n (2\ell-1) $
écrit ainsi. Mais les points de suspension sont une façon de traiter la récurrence sans l'écrire formellement. Donc ne reviennent pas à ta preuve, formellement.
De même que les propriétés des produits généralisés sont démontrables (à la base) par une récurrence puisqu'on veut qu'ils soient valables pour tout nombre entier de termes.
Enfin je reconnais qu'utiliser une preuve par récurrence dans cette transcription de formule est inutilement lourd, sauf contestation explicite. L'explication de Girdav, au deuxième message est suffisamment probante.
Cordialement.
Il me semble que l'on rencontre la première fois ce résultat dans sa vie d'étudiant lors du calcul des intégrale de Wallis.
Amicalement.
Moi j'aurais plutôt objecté que "ma" preuve n'en est pas une dans le sens que n étant variable, prétendre vouloir démontrer quelque chose en fixant n, pose question.
Quand j'ai répondu que cette démonstration n'était pas une preuve par récurrence je voulais signifier que cela n'est pas fait dans les formes.
$ \displaystyle \prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=1}^n a_{\sigma(k)} $
Et sans doute, pour démontrer cela, on peut le faire par récurrence sur $ n $.
Moi je cherche ça : $$P_n=\prod_{k=1}^n(4k-1).$$
En fait j'essaie de calculer $$\lim_{n\to+\infty}\left(\prod_{k=1}^n\frac{4k}{4k-1}\right).$$
Edit.
En fait, je viens de trouver ma limite en appliquant $\ln$ et en comparant à la série de Riemann $\sum_k \frac1{k}$.