inversibilité transposée

clothoide
clothoide
dans Algèbre
Bonjour,

Pour prouver que : si $A$ est inversible, alors la transposée de $A$ est inversible et l'inverse de la transposée de $A$ vaut la transposée de l'inverse de $A$.

En essayant de faire simple pour la rédaction de la preuve.

Il faut écrire que : $A$ est inversible, donc il existe une matrice $B$ telle que $BA=I_n$. Ce qui donne en utilisant la propriété sur la transposée du produit de 2 matrices, ${}^tA{}^tB=I_n$. En désignant par $B=A^{-1}$, la dernière égalité signifie bien que : $({}^tA)^{-1}={}^tA^{-1}$

Qu'en pensez-vous ?
Merci
Clotho

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Le produit de matrices n'étant pas commutatif, il serait bon de faire la même chose avec $ AB=I_n$. Et rien n'interdit de noter directement $A^{-1}$, plutôt que $B$.
    Donc partir de $ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$, et transposer.

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    oui, comme te dit Gérard, le définition de

    B est inverse de A

    c'est

    AB=BA=I
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • clothoide
    clothoide
    Je vais rectifier.

    Merci à vous deux

    Clotho
  • clothoide
    clothoide
    Il y a tout de même un détail qui me travaille depuis tout à l'heure.

    Est-ce que l'unicité de la matrice inversible (lorsqu'elle existe bien entendu) n'est pas suffisante pour justifier à elle-seule la validité de l'égalité avec l'identité dans l'autre sens ?

    Autrement dit, je prouve que mon résultat est vrai lorsque $A^{-1}A=I_n$, et par unicité de la matrice inversible, on a nécessairement le même résultat pour $AA^{-1}=I_n$

    Merci pour votre réponse,

    Clotho
  • Braun
    Braun
    Bonjour Clotho,
    Pardonne moi de jouer le pinailleur de service, mais je ne comprends pas "unicité de la matrice inversible".
    La seule propriété dont je me souvienne est "si l'inverse à gauche et l'inverse à droite existent, ils sont égaux" ce qui entraîne, pour une matrice donnée, que son inverse, si il existe, est unique.
    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    Par rapport à ton sujet, je pense que tu te compliques la tâche.

    Si AB=BA=1 alors t(A)t(B) = t(BA) =t(1)=1 et t(B)t(A)=t(AB)=t(1)=1

    c'est purement symbolique (pas besoin de penser que ce sont des matrices)



    [size=x-small]Par ailleurs, sans penser que ce sont des matrices, De il existe un unique B tel que AB=1, je vois mal comment tu déduirais qu'il existe un C tel que CA=1, même si le background des matrices permet de répondre oui.

    Une surjection non injectivie a toujours plusieurs inverses à droite, donc il se trouve qu'en ce qui concerne les applications d'un ensemble E dans lui-même, muni de la composition, c'est valable aussi, mais je ne sais pas à brule pourpoint ce qu'il en est si on ne prend pas toutes les applications de E dans E, mais seulement une partie stable par o.

    Si BX=1 alors X=ABX=A et donc BA=1

    Mais un tel X existe-t-il?[/size]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • clothoide
    clothoide
    @Braun : merci d'avoir reformulé correctement la propriété que je souhaitais utiliser à tort pour prouver mon résultat. Cela me fait un rappel.

    Je ne me suis pas posé la bonne question.

    @cc: Oui, effectivement, c'est tout simple. Par contre, je t'avoue franchement décrocher dans ton explication à partir des surjections:S Mais ce n'est pas bloquant pour la compréhension de la réponse à ma question initiale.

    Merci à vous deux,

    Clotho
  • remarque
    remarque
    Il est quand même vrai que si une matrice carrée est inversible à gauche, elle est inversible aussi à droite et vice-versa, automatiquement. En effet, si $AB=I$, alors $A$ est surjective ($\forall x$, $A(Bx)=x$), donc elle est injective. De même, si $BA=I$, alors $A$ est injective (car $B(Ax)=x\neq 0$ pour tout $x\neq 0$ implique $Ax\neq0$)... C'est sans doute ce que Christophe veut dire [size=x-small]en petits caractères sur le background.[/size] Donc dans le cas de matrices carrées, il suffit de montrer l'inversibilité d'un seul côté, quoiqu'ici ça ne coûtait pas plus cher des deux côtés en même temps.
  • christophe c
    christophe c
    :)-D très honoré que remarque ait lu mes "footnotes" et oui c'est ce que je voulais dire of course (tu).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    :)-D et pourtant, ils sont petits [size=x-small]les caractères.[/size]
  • clothoide
    clothoide
    @remarque :

    Bonsoir,

    N'étant pas encore très à l'aise avec toutes ces notions, je vais certainement dire une "grosse" bêtise, mais lorsque tu mentionnes "$A$ est surjective", parles-tu de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ ?

    Merci pour ta réponse,

    Cordialement,
    Clotho
  • gerard0
    gerard0
    Clothoïde,

    la réponse est oui. A définit un endomorphisme de $K^n$ par $x \mapsto Ax$.

    Cordialement.
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