rendre une matrice symétrique?
Bonjour à tous,
voici un problème qui me turlupine depuis un moment, et j'aimerais avoir votre avis.
Etant donnée $A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, je considère l'ensemble de $P$ inversibles, telles que $PA$ soit symétrique.
Cet ensemble est toujours non vide, puisqu'il contient l'inverse de $A$.
Il me semble aussi que c'est une sous-variété de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.
Il contiendrait ainsi un paquet d'autres éléments.
Je pense à une application pour la résolution itérative de systèmes linéaires.
Si on préconditionne le système $Ax = b$ à gauche par ce $P$ tel que $PA$ soit symétrique,
on arrive sur le système $PAx = Pb$, avec $PA$ symétrique, ce qui permet d'utiliser un gradient conjugué.
Du coup, il faudrait un algorithme qui permet de trouver un tel $P$, qui serait une sorte de pseudo-inverse.
En fait ce serait même encore mieux si on pouvait faire en sorte que si $A$ est creuse, $PA$ le soit encore...
Merci beaucoup pour votre aide éventuelle
le poulpe
voici un problème qui me turlupine depuis un moment, et j'aimerais avoir votre avis.
Etant donnée $A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, je considère l'ensemble de $P$ inversibles, telles que $PA$ soit symétrique.
Cet ensemble est toujours non vide, puisqu'il contient l'inverse de $A$.
Il me semble aussi que c'est une sous-variété de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.
Il contiendrait ainsi un paquet d'autres éléments.
Je pense à une application pour la résolution itérative de systèmes linéaires.
Si on préconditionne le système $Ax = b$ à gauche par ce $P$ tel que $PA$ soit symétrique,
on arrive sur le système $PAx = Pb$, avec $PA$ symétrique, ce qui permet d'utiliser un gradient conjugué.
Du coup, il faudrait un algorithme qui permet de trouver un tel $P$, qui serait une sorte de pseudo-inverse.
En fait ce serait même encore mieux si on pouvait faire en sorte que si $A$ est creuse, $PA$ le soit encore...
Merci beaucoup pour votre aide éventuelle
le poulpe
Réponses
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Tu peux aussi prendre la transposée de A par exemple.
A+
Eric -
Sinon c'est bien une sous-variété. L'ensemble des matrices $P$ telles que $PA$ est symétrique est ${\cal S}A^{-1}$ où ${\cal S}$ est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. Son image par la multiplication à droite par l'inverse de $A$ est donc aussi un sous-espace vectoriel. Son intersection avec l'ouvert des matrices inversibles est donc -entre autres - une sous-variété (en tout point c'est localement un espace vectoriel).
-
bien vu à vous deux...
et merci
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Bonjour!
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