groupe libre de type fini
Bonjour à tous
je me pose en ce moment une petite question, et mes souvenirs d'algèbre sont un peu lointains...
Pour la faire courte, je dispose de deux groupe abéliens libre de type fini, et de même rang.
On va donc dire ${\mathbb{Z}}^r$ et ${\mathbb{Z}}^r$.
J'ai un morphisme $\varphi$ de l'un dans l'autre qui est injectif.
Est-il surjectif?
Ca m'arrangerait beaucoup que oui, mais je ne sais pas trop comment faire.
Merci pour votre aide.
le poulpe
je me pose en ce moment une petite question, et mes souvenirs d'algèbre sont un peu lointains...
Pour la faire courte, je dispose de deux groupe abéliens libre de type fini, et de même rang.
On va donc dire ${\mathbb{Z}}^r$ et ${\mathbb{Z}}^r$.
J'ai un morphisme $\varphi$ de l'un dans l'autre qui est injectif.
Est-il surjectif?
Ca m'arrangerait beaucoup que oui, mais je ne sais pas trop comment faire.
Merci pour votre aide.
le poulpe
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Réponses
J'ai bien peur que la reponse soit non. Prend $r=1$ et prend l'application de $\Z$ dans lui meme définie par $x \mapsto 2x$. C'est bien un morphisme de groupe, il est injectif mais pas surjectif.
Pour les espaces vectoriels, ce theoreme repose de facon cruciale sur le fait que si $u$ est un vecteur, alors pour tout $a,b$ non nuls dans le corps de base, tu peux "atteindre" le vecteur $a\cdot u$ en partant de $b\cdot u$ en multipliant par le scalaire $\frac ab$. Dans notre cas, tu ne peux pas atteindre le "vecteur" $1\cdot 1$ a partir du vecteur $2\cdot 1$ puisque tu ne peux pas multiplier par $\frac12$. le fait d'avoir un corps comme anneau de base est donc essentiel.
Une autre maniere de dire ca : dans un $\Z$-module libre de rang $r$, une famille libre de $r$ vecteurs n'est pas forcement generatrice.
en fait j'ai pensé à cette histoire de multiplication par deux juste après avoir posté mais bon... j'étais tellement convaincu que c'était vrai que j'avais pas vu ça :-(
A bientôt
le poulpe
Est ce que la notion de module libre de type fini $ M $, est un prolongement de la notion de groupe libre de type fini en munissant $ M $ de la loi multiplicative : "." ?
Merci d'avance !
Il est par contre vrai qu'un morphisme surjectif entre deux modules de type fini de même rang est bijectif.