Proposition suffisante mais pas nécessaire
Bonjour,
Je connais des proposisions nécéssaires mais pas suffisantes, par exemple : $\displaystyle {\sum_n u_n}$ converge $\Rightarrow$ $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$
Je connais également des propositions nécessaires et suffisantes, par exemple : $f$ est de classe $C^1 \Leftrightarrow$ les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues.
Mais existe-il des propositions suffisantes mais non nécessaires ? Si oui, pourriez-vous m'en donner un exemple, en algèbre ou en analyse ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Je connais des proposisions nécéssaires mais pas suffisantes, par exemple : $\displaystyle {\sum_n u_n}$ converge $\Rightarrow$ $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$
Je connais également des propositions nécessaires et suffisantes, par exemple : $f$ est de classe $C^1 \Leftrightarrow$ les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues.
Mais existe-il des propositions suffisantes mais non nécessaires ? Si oui, pourriez-vous m'en donner un exemple, en algèbre ou en analyse ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
En algèbre : la propriété pour une famille de polynômes d'être de degré deux à deux distincts est suffisante pour assurer la linéaire indépendance, mais ce n'est pas nécessaire.
Autre exemple : si $f$ est dérivable alors elle est continue.
Borde.
Et bonne et joyeuse année à tous !
> Le cinéma coûte 6 euros. Ainsi, "avoir 8 euros dans ma poche" est une assertion suffisante pour me payer le cinéma.
Quelle coïncidence, j'avais pensé à cet exemple il y a quelques années, je n'ai jamais pu le faire comprendre à mes étudiants. Il ne leur viendrait pas à l'idée d'aller « taper » leurs parents en disant « Donnez-moi 10 euros, ça me suffira », leur formulation est systématiquement « Donnez-moi 10 euros, il me les faut. »
Formule malheureuse qui entretient la confusion entre ce qui est nécessaire et ce qui est suffisant.
La convergence de la série est une condition suffisante pour avoir la convergence vers $0$ de la suite associée.
}
Ce problème, bien soulevé par gb, est fortement récurrent chez les élèves d'aujourd'hui, où les rudiments de logique ne sont plus enseignés en lycée comme avant.
Ces erreurs se retrouvent également dans les matières littéraires, ou, plus généralement, dans les disciplines faisant faire des dissertations, où les confusions causes--conséquences sont légions.
Sylvain,
J'ai envoyé mon fils au cinéma voir avatar et cela lui a coûté au moins 8 euros (td)
Borde.
@Borde : je ne sais pas quel âge a ton fils, mais 8€ pour voir Avatar même en 3D ce n'est pas donné pour un jeune.
Dans ce cas tu connais des conditions suffisantes mais pas nécessaires. Il y a une dualité parfaitement évidente entre condition nécessaire et condition suffisante en renversant le sens de lecture.
Ta phrase peut aussi bien se lire "la limite nulle de la suite est une condition nécessaire à la convergence de la série" (comme tu l'as fait) que "la convergence de la série est une condition suffisante à la limite nulle de la suite" (comme l'ont fait roger, gb ou Sylvain sur des exemples extrêmement similaires).
C'est d'ailleurs assez remarquable que tu aies spontanément pensé à lire ton implication de droite à gauche. Puisque tu as compris ce qu'était une condition nécessaire non suffisante, tu as tout compris (tu sais lire de droite à gauche, or "tout le monde" sait lire de gauche à droite).
Tu as raison, et c'est même un vrai scandale !
Borde.
Ah non, plus maintenant....c'est 6,10 euros. :X
Oui, mais sans lui manquer de respect je crois qu'on peut dire que la théorie des nombres à Nancy est plus connue par G.Tenenbaum, dont tu dois connaître le livre, non?
@X^2 : j'ai quitté ma Lorraine d'adoption et suis revenu à Paris il y a un an, et ici le tarif standard c'est 10 euros. N'étant plus étudiant j'ai dû faire un emprunt pour voir "Là-haut" avec les lunettes 3D. Reste en Lorraine.
2 ans pour répondre à une question à laquelle il a déjà été répondu ! C'est du rapide !
Pas autant que les fruits et légumes ! (Surtout chez Edouard Leclerc)
Bien cordialement.
n'est-ce pas une bonne action d'apprendre aux intervenants de ne pas répondre à tort et à travers ?
Cordialement.
Ceci dit, chacun a sa manière et nous sommes tous de bonne volonté, même si certains en doutent quelquefois.
Amicalement,
zephir.