Ensemble vide un ouvert?

L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "$\forall x\in\varnothing$" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.

Cordialement

Sylvain tu relances une vieille discussion sur la validité de la proposition $P \Longrightarrow Q$ quand $P$ est une proposition fausse. Non ?

Bruno

Pour répondre simplement à Michel54, tout comme E est trivialement un ouvert il est aussi fermé. Conlusion, $\emptyset$ est un ouvert comme complémentaire de E fermé.

Bonsoir,

Skilveg, je ne pense pas que Erwan dise "$E$ est ouvert donc $E$ est fermé", mais plutot "Tout comme on a montré à la main que $E$ est ouvert, on peut montrer que $E$ est fermé"...

D'accord avec Aleg (et l'argument "c'est le complémentaire d'un fermé ne tient pas puisque c'est comme ça qu'on définit les fermés).

Je crois que CC aurait plutôt écrit "donc tout, c'est-à-dire le faux" suivie de deux ou trois notes de bas de page

Sylvain : si tu refuses que $P \Rightarrow Q$ est vraie quand $P$ est faux, alors tu dois aussi refuser la vérité de $\forall x \in\mathbb{R} (x>2 \Rightarrow x>0)$. En effet, tu n'es sûrement pas d'accord pour dire que $1 >2 \Rightarrow 1>0$, ou $-1>2 \Rightarrow -1>0$ sont vrais. Tu vas un peu te compliquer la vie mathématique .

Cordialement

@Erwan : Mais comment définir l'adhérence d'une partie $A$ de $E$ si on ne sait pas que $E$ est fermé ? Par définition c'est le plus petit fermé contenant $A$, pour que ça soit une définition correct il faut savoir qu'il existe un fermé contenant $A$... On tourne en rond !

@Zo!:

Non, je me suis mal fait comprendre. Ce que je refuse c'est que le truc à gauche (celui à droite aussi d'ailleurs !) de la flèche d'implication soit dépourvu de sens. Dire "-1>2" est faux mais ça un sens, puisque -1 et 2 sont comparables vis-à-vis de la relation ">". Par contre si on dit "i>2" là ce n'est plus seulement faux, c'est dépourvu de sens : on compare deux choses qui ne sont pas comparables !
De même dire "soit x tel que x appartient à E" suppose que la relation "appartient à" ait un sens, autrement dit que E ait au moins un élément.
Considérer un élément de l'ensemble vide, c'est comme parler de $\zeta(1)$ : verboten!

Désolé de dire les choses comme ça, mais ta comparaison est complètement dénuée de sens. Je ne comprends pas ce blocage sur l'ensemble vide.

Je prends un autre exemple où ta position conduit à une absurdité. Soit $S^1$ le cercle unité et $p:S^1\to \mathbb{R}$ défini par $p(x,y)=x$. Selon toi, ceci serait dépourvu de sens :
$$\forall x\in \mathbb{R}\ \forall y\in \mathbb{R} \ (y\in p^{-1}(x)\Rightarrow |x| + |y| \geq 1)\;.$$
En effet, il existe des valeurs de $x$ pour lesquelles $p^{-1}(x)=\emptyset$, et il est "verboten" d'écrire $y\in \emptyset$ !

$y \in emptyset$ a bien un sens. La preuve, c'est qu'on peut affirmer que c'est faux quelque soit $y$.

@egoroff : Bah voyons ne serait-ce pas en montrant que justement c'est le plus petit fermé !! Ah là là !

Donc la seule et unique façon de dire que E est fermé c'est de le voir comme le complémentaire de l'ensemble vide qui est ouvert ! finalement on revient au premier post.

Bonne soirée.

"Selon toi, ceci serait dépourvu de sens :

$\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}\ \forall y\in \mathbb{R} \ (y\in p^{-1}(x)\Rightarrow \vert x\vert + \vert y\vert \geq 1)\;.$"

ça n'a de sens que si "$y\in\ p^{-1}(x)$" en a un : comment peut-on attribuer des propriétés à des objets qui n'existent pas ? Sinon on peut aussi bien dire que 1/0 est irrationnel !
Mais bon, on ne va pas se chamailler pendant 107 ans : je ne suis pas logicien et ne souhaite pas le devenir. L'ensemble vide ne saurait m'empêcher de continuer à aimer passionnément la théorie des nombres...;)

Bonjour.

Bien évidemment, les mathématiques auraient pu se passer de ces preuves formelles. Mais qui veut transformer tous les théorèmes du genre "l'intersection de deux ouverts est un ouvert" en théorèmes du genre "l'intersection de deux ouverts est un ouvert sauf s'ils n'ont pas d'élément commun"?
C'est comme l'introduction du 0, "qui n'est pas un nombre" (au sens comptage, car s'il n'y a rien à compter, il n'y a pas de comptage). Qui est prêt à se passer de zéro ?

Cordialement.

NB : Pour Euclide, 1 n'est pas un nombre, puisque c'est l'unité, la base qui permet de fabriquer les nombres.

Bonjour Michel,

Soit $(E,O)$ un espace topologique. Donc toute réunion d'ensembles de $O$ est un ensemble de $O$. Par suite, et c'est ça qui est important, la réunion de la partie vide de $O$, à savoir $\emptyset$, appartient à $O$. Enfin, selon la métamathématique Bourbakiste, $\forall x\in\varnothing$ est un théorème de toute théorie mathématique plus forte que la théorie des ensembles.

Avec tout mon respect,

Thierry

Bonjour,

Dans la même veine, proposé dans ce pdf de Poitiers..

Exercice 3.20: Is the empty set a compact set ?

Amicalement.

Quelques réctifications:
On dit connected au lieu de connex et bounded au lieu de borned.

olala, je vois que Sylvain a des soucis d'acceptation que $A\to B$ veut dire ($non(A)$ ou $B$) et que $non(A)$ veut dire $A\to tout$

il m'arrive, par didactique maladroite pour le forum de dire "le faux" à la place de "tout" pour que les gens comprennent, mais au fond, je devrais "me forcer" à dire "tout"

à Sylvain:

Si $A\to tout$ alors $A\to B$ (je pense que tu es d'accord ça vient juste du fait que $tout\to B$ )

La définition de l'ensemble vide est que c'est l'ensemble des $x$ tels que "tout" arrive à $x$. (Formellement: $\emptyset :=\{x \ / \ tout \}$ )

Donc, par exemple, si $x\in \emptyset $ alors la conjecture de Riemann est vraie, mais pas que ça, si $x\in \emptyset $ alors$2>3$, etc, etc.

Tu te gourres si tu crois qu'il y a un problème. La seule chose que tu peux rejeter (que je n'ai pas justifiée) c'est la définition rouge

$non(A)$ n'est pas non plus une notion première: ça veut juste dire $A\to tout$

C'est de là que viennent par exemple "les contraposées": supposes que tu as $A\to B$. Alors si $B\to tout$, et bien $A\to tout$, tout simplement à cause de l'enchainement: A--->B--->tout

Suppose maintenant: (non(A) ou

si c'est non(A) qui est vrai, alors comme $A\to tout$ (c'est le sens de non(A) ) on a en particulier $A\to B$

si c'est B qui est vrai, alors $A\to B$ (acceptes-tu l'axiome $B\to (A\to $?)

**Conclusion: si (non(A) ou alors $A\to B$

Pour prouver la réciproque, tu peux utiliser l'axiome général (rst par l'absurde) $(non(non(X))) \to X$

Suppose $A\to B$ (1): si non[nonA ou B] alors [nonA ou B]--->tout (2), alors en particulier $(nonA)\to tout$, donc non(nonA), donc A, donc B (à cause de (1) ), donc [nonA ou B] et avec (2), on obtient tout.

Donc sous l'hypothèse $A\to B$, on vient de prouver non(non[nonA ou B]) et finalement [(nonA) ou B]

***Conclusion si $A\to B$ alors (nonA ou

De ** et ***, il découle qu'il y a équivalence entre $A\to B$ et nonA ou B


ça peut peut-être t'aider à comprendre que si $x\in emptyset $ alors tu es le plus beau du monde car cette affirmation équivaut à:

($x\notin \emptyset $ ou tu es le plus beau du monde),

qui n'est qu'un affaiblissement de juste affirmer $x\notin \emptyset$


Qu'est-ce qui reste? Bin je ne t'ai pas justifié le raisonnement par l'absurde, c'est tout, mais c'est un axiome et surtout n'a que peu à voir (il n'est utilisé ici que pour prouver que $A\to B$ implique nonA ou B; alors que le sens qui te gênait est l'autre: faire découler de nonA ou B l'implication $A\to B$)

Peut-être as-tu envie de "contester" la définition $non(A):=A\to tout$


Dans ce cas, interroge-toi sur ta perception du "non". Je pense que $(A\to tout)\to nonA$ ne te pose pas de problème? (5)

Donc seul l'autre sens peut éventuellement t'en poser:

Je ne sais trop comment te tourner les choses (après tout les axiomes sont "par définition" indémontrables et c'est toujours un exo un peu tendancieux) bon je "boucle" en réutilisant la contraposée (qui je pense te convient très bien):

En "décontraposant" (contesteras-tu cet axiome?), et en supposant nonA; $A\to tout$ découle de $non(tout)\to nonA$, qui est vrai si on a supposé nonA. En supposant nonA, on a déduit $A\to tout$, donc on a bien $(nonA)\to (A\to tout)$ (6) et finalement:

équivalence entre $non(A)$ et $A\to tout$ grace à (5) et (6).


Pour l'initiateur du fil: c'est bizarre, ce n'est pas $\emptyset$ qui pose problème: c'est un théorème et non pas une supposition qu'il est ouvert, vu que $\forall x$, si $x\in \emptyset$ alors l'ensemble vide est voisinage de $x$ (grace à la def rouge en début de post)

Par contre, pour affirmer que $E$ est ouvert (l'espace entier), il y a des trucs à supposer en ce qui concerne les voisnages, et, franchement, il est supposé de manière franche que $E$ est un voisinage de tout point, basta.

Ca n'est pas innocent, les gens éprouvent le besoin de compléter d'ailleurs (par exemple, ne sont pas très contents que $\Q$ soit un voisinage de $3$ et n'aiment pas bcp les topologies induites..)

En fait (3) est "l'inégalité triangulaire" de la topologie: si W est un voisinage de a, on veut que pour sortir de W en partant de a, il faille "aller loin". Les x "très près" de a ne doivent donc pas, quand on part d'eux, permettre de sortir de W, sans aller loin d'eux (ils sont "près" de a) et donc, W doit aussi être un voisinage de ces x.