La série harmonique diverge

Verbatim · July 2009

Salut

On note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$
Est-ce Pietro Mengoli qui a montré le premier (en tout cas qui établit rigoureusement le premier) que $H_n$ divergeait ?
Quelle preuve a-t-il mis au point ?

Je connais la preuve classique par l'absurde qui consiste à étudier $H_n-H_{2n}$
En connaissez-vous d'autres ?
C'est juste pour ma culture.
Merci à vous, et bonne soirée.

PS : j'ai hésité entre le forum histoire des maths et analyse...

[Il n'y a pas à hésiter

AD]

Verbatim · July 2009

Merci AD
[A ton service

AD]

aléa · July 2009

Comme $x\ge\ln(1+x)$, $1/n\ge\ln (1+1/n)=\ln(n+1)-\ln(n)$, puis somme télescopique.

Christian non loggé1 · July 2009

Bonjour,

Selon l'analyse au fil de l'histoire et wikipedia (faire une recherche google... je ne suis pas chez moi, mille excuses!), c'est plutôt à Nicolas Oresme que l'on doit d'avoir montré la "divergence" de la série harmonique.
L'idée est de regrouper par paquet de 1, puis 2 puis 4 puis 8...
Ainsi:
1 > 1/2
1/2 >= 1/2
1/3+1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2
1/5+1/6+1/7+1/8 > 4/8 = 1/2
...
Par addition membre à membre, 1+1/2+...+1/2^3 > 4 * 1/2... De la même façon, on peut prouver que 1+1/2+...+1/2^k > (k+1) * 1/2.
La somme de la série harmonique dépasse donc n'importe quel nombre réel fixé à l'avance.

C'est le principe du raisonnement d'Oresme qui n'a pas pu, au 14e siècle, utiliser les logarithmes, inventés par Néper au début du 17e siècle.

Bien cordialement,

Christian

bs · July 2009

Bonsoir,

Un pdf québécois sur le sujet confirmant évidemment les propos de Christian.

Rien à voir, mais le fil correspondant a été fermé...

Amicalement.

FdP-unplugged0 · July 2009

Dans le livre "the calculus gallery" qui a pour sous-titre Masterpieces from Newton to Lebesgue, éditions Princeton press, au chapitre 3 il est question des frère Bernoulli et en particulier de Jakob qui a donné une démonstration de la divergence de la série harmonique.

En premier lieu il démontre que si deux suites à termes positifs ayant leur deux premiers termes en commun et si l'une est arithmétique et la seconde géométrique, les termes de la seconde sont toujours plus grands que les termes correspondants de la première suite.

Et il en déduit que:

Que quelque soit a entier positif on a 1/a+1/(a+1)+1/(a+2)+...+1/a²>1

Ayant constaté que l'on peut écrire la série harmonique de cette façon:

1+(1/2+...+1/4)+(1/5+...+1/25)+(1/26+...+1/26²)+...

Il en conclut que la série harmonique est plus grande que n'importe quel entier positif.

Son point de vue sur les suites géométriques est intéressant:

Si A,B,C,...,D,E sont les premiers termes d'une suite géométrique alors leur somme est

(A²-BE)/(A-B)

On n'a pas l'habitude dans l"enseignement secondaire de s'intéresser à cette somme sans s'occuper de la raison de la suite géométrique.

Une autre formule qu'il a trouvé:

1/b+2/(bd)+3/(bd²)+...+(n+1)/(bd^n)+...=d²/[b(d-1)²]

bs · July 2009

Bonjour,

Jolie cette démonstration de Jakob Bernoulli, merci.

Connaissez-vous une biographie de la dynastie des Bernoulli en français ? Merci.

Amicalement.