suites équiréparties

johann6
johann6
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir, j'ai regardé le développement d'agreg surement assez classique "suites équiréparties" où on montre le critère de Weyl. Je pense que c'est assez connu donc je ne détaille pas plus mais si je me trompe, j'étaierais un peu plus.

Alors je viens pour une question pas tellement sur les calculs eux-mêmes mais pour quelque chose de plus bête : à quoi ça sert de savoir qu'une suite est équirépartie ?
Je sais que le concept d'utilité en maths, c'est assez moyen, alors pour être plus précis, est-ce que ça permet de montrer d'autres choses ? (Je sais qu'une suite équirépartie est dense, ce qui est donc "utile" mais je ne suis pas sûr que le critère de Weyl soit le moyen le plus utilisé pour y parvenir)

Voilà, merci de m'éclairer.

Réponses

  • johann6
    johann6
    Comme je n'ai pas eu de réponses je vais essayer de préciser.

    On se donne $(u_n)$ une suite de $[0,1]$ et on note pour $0 \leq a < b \leq 1$, $S_n(a,b)= \mathrm{card} \big\{k \in \{1,..n\}\mid u_k \in [a,b] \big\}$

    Sont équivalentes :
    (i) pour tout $0 \leq a < b \leq 1,\ \dfrac{S_n(a,b)}{n}$ tend vers $b-a$ quand $n$ tend vers $+\infty$
    (ii) pour tout $\displaystyle p \in \N^*,\ \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \exp(2i\pi px_k)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$

    Si on est dans l'un de ces cas, la suite $(u_n)$ est dite équirépartie.
    Le (ii) constitue le critère de Weyl, il permet par exemple de montrer que $(n\theta)$ est équirépartie ssi $\theta \not\in \Q$

    Voilà, je renouvelle ma question, est-ce que ça permet de savoir quelque chose que $(n \theta)$ est équirépartie ?

    [Pour 1\$ de trop. :) AD]
  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Un exemple : si $f$ est continue et $(u_n)$ équirépartie dans $[a,b]$, alors sauf erreur $S_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k)$ converge vers $\int_a^b f(t) \, dt$. Sinon l'équirépartition est la propriété de base des suites pseudo-aléatoires, qui servent à simuler le hasard. Il y a des critères plus fin que l'équirépartition mais c'est ce qu'on demande en premier. Bon là je n'y connais pas grand-chose mais tu trouveras sûrement des infos sur le net, et sinon aléa pourra peut-être t'en dire plus.
  • borde
    borde
    Je ne veux pas supplanter Aléa, mais j'ajoute que :

    (i) Les conditions d'uniformité sont parfois requises lorsque l'on fait des approximations (ou des opérations de limite) à l'intérieur d'une autre,

    (ii) je ne suis pas certain que le critère de Weyl soit si connu que cela (mais je me trompe peut-être). C'est un résultat assez délicat, et il me semble qu'un bon recul est nécessaire pour bien en appréhender les tenants et aboutissants, surtout lors d'un oral.

    (iii) Il existe des versions {\it explicites} de ce critère, absolument essentielles en théorie analytique des nombres. En effet, l'étude des problèmes classiques de cette discipline fait apparaître des termes d'erreur comportant des sommes du type $\displaystyle {\sum_{n \sim N} \psi (x_n)}$ où $\psi(t) = t - [t] - 1/2$ est la 1ère fonction de Bernoulli, et $(x_n)$ est une suite (assez régulière, en général) de nombres réels.

    Il faut savoir que les grands spécialistes de la discipline (Weyl, Van der Corput, Vinogradov) ont passé énormément de temps à chercher des techniques permettant de manipuler ces sommes directement (c'était dans les années 20), sans aboutir. Ils se sont alors tournés vers l'analyse de Fourier qui donne des réponses satisfaisantes dans presque tous les cas, mais sans jamais obtenir de réponse optimale (du moins pour l'instant). De plus, les progrès en la matière font intervenir des mathématiques extraordinairement délicates, et sont donc très rares.

    Borde.
  • toumache
    toumache
  • Aleg
    Aleg
    Comme d'habitude, j'approuve ce que dit Borde : l'équirépartition paraît être un concept intuitivement très simple, mais les problèmes et les techniques qui lui sont associés sont loin d'être élémentaires (à titre d'exercice, prouver que (sin(n)) n'est pas équirépartie..).
    Pour la question des applications proprement dites, voir le chapitre 3 de <http://www.amazon.fr/Sequences-Discrepancies-Applications-Michael-Drmota/dp/3540626069/ref=sr_1_2?ie=UTF8&s=english-books&qid=1217584822&sr=1-2&gt;
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