Aire de l'intersection de deux disques
Bonjour à tous,
Cela fait un moment que je ne suis pas venu sur ce site, que de changements !
Voici ma question : je dois déterminer l'aire d'intersection de deux cercles, en ne connaissant que leur rayon respectif et la distance entre leurs centres. Est-ce possible ? Comment faire ?
Merci
Baptiste
[Corrigé le titre (disques et non cercles) conformément à ton indication. AD]
Cela fait un moment que je ne suis pas venu sur ce site, que de changements !
Voici ma question : je dois déterminer l'aire d'intersection de deux cercles, en ne connaissant que leur rayon respectif et la distance entre leurs centres. Est-ce possible ? Comment faire ?
Merci
Baptiste
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Réponses
Puisque seuls les rayons et la distance des centres sont imposés, je crois que je centrerais les deux cercles sur l'axe des abscisses d'un repère orthonormé.
Une fois déterminées les coordonnéees des deux points d'intersection éventuels on en déduit la mesure des angles au centres définis par ces points (Arcsinus ou autre).
Le reste est un calcul d'aire de triangles et de secteurs circulaires.
Calcul qui n'est peut-être pas des plus simples, il est vrai.
En fait, un des disques se déplace sur l'autre avec une vitesse de déplacement donnée, et je dois être capable de calculer simplement l'aire commune à chaque déplacement.
Braun, ton idée est bonne, mais compliquée à mettre en oeuvre à chaque pas de déplacement...
En posant $D_r=D(0,r)$ , $D_R=D(0,R) $ et $A =1_{D_r} \otimes 1_{D_R}$ définie sur $\R^2$ alors $A(x,y)$donne exactement l'aire de l'intersection quand le deplacement est de $\sqrt \{x^2+y^2\}$
($A$ s'annule en dehors de $D(0,r+R)$ : pas d'intersection quant le depacemment est supérieur à $r+R$)
pour le calcul de $A$ :je propose de passer par Fourier et Fourier inverse de deux variables ou Hankel et Hankel inverse d'une seule variable puisque les fonctions considerées sont radiales ....)
Bon courage
Je vais reposer le problème pour m'approcher le plus possible de la réalité :
Soit deux disques C et C' respectivement de centre O et O' et de même rayon R. Les deux disques sont coplanaires. Initialement, ils sont parfaitement superposés (O et O' sont confondus). On déplace le cercle C' (C restant fixe) d'une distance d, puis, d'une distance d', puis d'une distance d'' (d<d'<d''), ... Ces distances étant prises toujours dans la même direction et le même sens (droite OO').
Mon problème est que j'aimerais connaître simplement, l'aire de la portion commune à chaque disque pour chaque d.
Est-ce possible simplement ? C'est pour un code de calcul...
Soit $d=OO'$, $y_0=\frac d2$ et $x_0=\sqrt{R^2-y_0^2}$, alors sauf erreur de calcul l'aire cherchée doit être:
$$2\left[ \arccos(\frac{y_0}R)R^2-x_0y_0\right]$$
Ps: j'avais oublié que ce forum était aussi lent, cela en est désespérant et franchement rebutant (et je ne dois pas être le seul...). Pourquoi une bonne fois pour toutes ne pas prendre un forum moderne phpBB et le faire héberger chez un hébergeur de projets libres comme tuxfamily?
Soit $h$ la moitié de la distance entre les points d'intersection des 2 cercles alors on trouve que : $$h=\frac{1}{2d}\sqrt{\left((R_1+R_2)^2-d^2\right)\left(d^2-(R_1-R_2)^2\right)}$$ et l'aire $A$ de l'intersection des 2 disques vaut $$A=R_1^2arcsin \left( \frac{h}{R_1} \right) + R_2^2arcsin \left(\frac{h}{R_2} \right)-hd$$
\lien{http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html} et
\lien{http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html}
De plus, ces formules doivent être complétées par un certain nombre de cas particuliers qui ne sont pas couvert par la formule "générique"
Si les disques sont disjoints, la surface est nulle
Si un disque est complètement inclus dans l'autre, la surface de l'intersection est celle du plus petit.
la formule Générique est donnée par (avec $R=R_1$ et $r=R_2$)
$$r^2\cos^{-1}(\frac{d^2+r^2-R^2}{2dr})+R^2\cos^{-1}(\frac{d^2+R^2-r^2}{2dR})-1/2\sqrt{(-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)}$$
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-- Schnoebelen, Philippe
Je cherche une formule pour "d" lorsqu'on connaît l'aire de l'intersection de deux disques ainsi que leur rayons "R" et "r". Quelqu'un a une idée?
Merci!
Ce que je n'arrive pas a comprendre c'est comment calculer le cos-1 de (par exemple)
(d^2+R^2-r^2)/2dR
si par exemple R == 10000 r==100 d==10000 donc "en gros" l'intersection est un peu moins de la moitié de la surface du cercle de rayon r ...
Mais l'argument de cos-1 c'est environ 100 donc pas du tout entre -1 et 1 ...
Tu as dû te tromper dans ton calcul, (d^2+R^2-r^2)/2dR vaut 0,99995.
Cordialement.