Systèmes différentiels -agreg interne, leçon 225

Sinon, sans entrer dans la résolution explicite, on peut faire de la description qualitative des solutions de certains systèmes, genre Lotka-Volterra.

Bonsoir,

A mon avis, ce n'est pas un hors sujet ni même un prolongement de la leçon, mais un passage obligé :
Y' = AY + B où A est une matrice à coeff constant et B un vecteur colonne.

Or les applications f: t-->e^(At) vérifie f'(t) = Af(t) = f(t)A
De là, tu tires que les solutions de Y' = AY sont exactement les applications de la forme t-->f(t)U où U est un vecteur de K^n.

Garde à l'idée qu' une matrice à coeff réels n'est pas souvent trigonalisable, et encore moins diagonalisable; donc résoudre un système diff ne peut se faire concrètement que dans des cas pratiques : le cas où l'on sait diagonaliser ou trigonaliser A.

Je te conseille comme sources : Auliac, Monier, Gourdon et Demailly.

Bon courage, gauss.

Salut,

Non, un dvp ne peut se cantonner à ça, par contre ça doit être dit par oral où figurer brièvement dans ton plan.

Moi, en dvp, je traiterai Cauchy linéaire, puis un exemple d'équa diff qu'on ramène à un système diff.

Bon courage, gauss.

Pardon, je n'avais pas vu ta question : le système de Lotka-Volterra est un système 2x2 non linéaire, qui modélise les populations de deux espèces animales (les proies et les prédateurs). Il ne peut pas être résolu explicitement, mais on peut quand même montrer un certain nombres de propriétés qualitatives sur les solutions : elles sont définies sur $\R$, périodiques, on peut calculer la moyenne de chaque population sur une période etc.

Une petite recherche sur google t'en dira (bien) plus.

Pour l’exponentielle de matrice, c’est fait dans un des trois tomes du Chatterji.

Oui, en passant par les systèmes différentiels.

Ça tient sur une page environ, de mémoire c’est vers la page 100 du tome sur les équations différentielles.