Un exemple assez facile à écrire : choisis ta norme préférée sur l'espace des polynômes réels $E=\R[X]$, par exemple le sup des coefficients ou bien $\sup_{t \in [0,1]} |P(t)|$ et construis ton application linéaire $f$ sur la base $(X^n)_{n \geq 0}$ de sorte que le rapport $\frac{||f(X^n)||}{||X^n||}$ soit non borné (tu t'apercevras d'ailleurs qu'il y a une application très naturelle qui fait ça).
Sinon oui $id \, : \, (C(I),||\cdot||_1) \to (C(I),||\cdot||_{\infty})$ fonctionne si $I$ est un intervalle compact. Plus généralement tu peux montrer que pour $1 \leq p, q \leq \infty$, l'application $id \, : \, (C(I),||\cdot||_p) \to (C(I),||\cdot||_q)$ est continue si et seulement si $p \geq q$.
Ton exemple est une forme linéaire, et oui ça fonctionne. Sinon de manière générale si on a une base $(e_i)_{i \in I}$ d'un espace vectoriel normé $E$, telle que $||e_i||=1$ pour tout $i$, on peut définir une application linéaire "diagonale" $f \ : \, E \to E$ par $f(e_i)=a_ie_i$ où les $a_i$ sont des scalaires, et alors il n'est pas trop dur de voir que $f$ est continue si et seulement si la famille $(a_i)_{i \in I}$ est bornée (ce qui est toujours le cas si $I$ est fini). Donc il suffit de prendre une famille non bornée et on obtient notre application linéaire non continue.
Dans le cas des polynômes, avec la base $(X^n)_{n \in \N}$ il suffit de prendre $a_n=n$ ce qui donne bien une famille non bornée, et donc l'application linéaire définie par $f(X^n)=nX^n$ n'est pas continue. Cette application ressemble beaucoup à une application naturelle sur $\R[X]$, saurais-tu la reconnaître ? est-elle continue ?
Enfin comme le dit le barbu, ça doit se trouver si on autorise les e.v.t. pour lesquels le théorème de l'application ouverte n'est pas vérifiée ; peut-être dans les espaces LF et compagnie.
Je prends $\R$. C'est un $\R$-ev. Je le munis de la valeur absolue j'obtiens un espace métrique complet. La valeur absolue rend continue somme et produit par scalaire, donc compatible avec la structure d'ev (bon c'est une norme).
Maintenant je prends $\R$. C'est un $\R$-ev. Je le munis de la distance discrète $d$ et j'obtiens encore un espace métrique complet. Cette distance rend continue la somme (l'image réciproque de n'importe quoi est un ouvert de $\R^2$ pour la topologie produit puisque c'est la topologie discrête) et le produit par scalaire (parce qu'il est déjà continu si je prend à la source la topologie plus grossière associée à la valeur absolue), donc compatible avec la structure d'ev.
Et là boum, $id : (\R,d) \rightarrow (\R,|.|)$ est bijective continue de réciproque non continue.
Es-tu en train d'insinuer que $(\R,d)$ est un e.v.t. ? Là tout de suite je ne vois pas d'objection, mais d'un autre côté un théorème bien connu dit qu'en dimension finie il y a une seule topolorgie d'espace vectoriel (ou alors j'hallucine).
Alors voyons...
- le produit des topologies discrètes est-il bien la topologie discrète sur le produit ? je dirais oui, mais à voir ;
- ou alors c'est le coup de la continuité du produit par un scalaire qui pêche, mais là encore j'ai quand même envie de te croire...
Pourtant je suis sûr de mon résultat, il n'est pas sorcier à démontrer. Je vais essayer de suivre la démo étape par étape pour voir où ça bloque.
pour le barbant:c'est sur que dans le cas général c'est facile,dans le cadre des evt cela dépasse mes compétences actuelles:S
si un érudit passe par la..
Bon. Si $\mu \, : \, (\lambda,x) \mapsto \lambda x$ est la multiplication par un scalaire, alors $\{1\}$ est un ouvert discret $H=\mu^{-1}(\{1\})$ ne m'a pas l'air ouvert. En effet si je définis $\lambda_n=1+1/n$, $x_n=x=\lambda=1$, alors $\lambda_n \to \lambda$ dans $\R$ euclidien, $x_n \to x$ dans $\R$ discret, donc $(\lambda_n,x_n) \to (\lambda,x)$ pour la topologie produit, et $(\lambda_n,x_n) \not\in H$ mais $(\lambda,x) \in H$ ce qui montre que $\R^2 \setminus H$ n'est pas fermé pour la topologie produit (pas séquentiellement fermé et ça suffit puisqu'on a affaire à un espace métrique).
PS : l'erreur venait du fait que le produit est bien continu de euclidien$\times$euclidien dans euclidien, donc de euclidien$\times$discret dans euclidien, mais là on met une topologie beaucoup plus fine à l'arrivée !
Quand on parle d'evt, on parle d'un espace vectoriel sur un corps topologique. Or là il y a deux corps topologiques, $\R$ canal habituel et $\R$ canal discret. De ce point de vue, $\R$ discret est un evt sur $\R$ discret, c'est même un evn quand on munit $\R$ discret de la valeur absolue triviale. Mais, bon je suis d'accord que tout ça n'a que peu d'intérêt...
Ah ah, encore cette fameuse valeur absolue triviale sur $\R$ ! C'est vrai que le barbu raseur et toi êtes des spécialistes de la question
En passant je file deux-trois indications pour une démonstration du fait qu'un e.v.t. de dimension finie $E$ est homéomorphe à un espace euclidien. On choisit un isomorphisme algébrique $f \, : \, \R^d \to E$, on vérifie que $f$ est continue, donc $S=f(S^{d-1})$ est compact, ne recontre pas $0$ donc il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $E$, qu'on peut choisir convexe, qui ne rencontre pas $S$, on en déduit que $f^{-1}$ est continue.
Ah et bien alors si tu insistes, si $E$ est un evt sur un corps valué $K$, s'il est de dimension $1$ alors il est isomorphe à $K$, et s'il est de dimension $d\ge 2$ et que $K$ est complet, alors il est isomorphe à $K^d$.
Question : si $E$ est un e.v.t. non séparé de dimension $d<\infty$, peut-on trouver une semi-norme $p$ sur $\R^d$ telle que $E$ soit isomorphe en tant qu'e.v.t. à $R^d$ muni de la topologie engendrée par $p$ ?
Egoroff : tu demandes si tout e.v.t. réel de dimension finie est semi-normable, c'est bien ça ?
Si E est un tel e.v.t., on peut noter F l'adhérence de {0}, c'est un s.e.v. et mon instinct me dit que E/F est un e.v.t. séparé (ici instinct=vieille lecture de Bourbaki). Donc, on l'admet, E/F est normable (et même euclidien et tout et tout). Ensuite, on a envie de définir une application p sur E en posant p(x)=norme(classe(x)). Il semble raisonnable de penser que p est une semi-norme, et que la topologie de E est définie par p. Vrai ? (désolé pour l'absence totale de justification concrète dans mon message, je corrige un paquet de copie en même temps).
1) En fait c'est surtout connexe qui nous intéresse. Si ce n'était pas le cas il pourrait se situer de part et d'autre de la sphère, et on veut que son image réciproque soit inclus dans la boule unité. On choisit convexe car c'est algébrique et donc préservé par $f^{-1}$ qui est linéaire (et pas encore continue).
2) En fait c'est équilibré et pas convexe qu'il s'agit de choisir : c'est encore préservé par $f^{-1}$, et dans un e.v.t. sur $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, tout point à une base de voisinages équilibrés alors que seulement les e.v.t.l.c. ont la même propriété avec des voisinages convexes. Si $V$ est un voisinage de $0$, par continuité en $(0,0 \in \mathbb{K} \times E$ de la multiplication par un scalaire on peut trouver $r>0$ et $W_0$ voisinage de $0$ tels que $|\lambda| \leq r, x \in W_0 \Rightarrow \lambda x \in V$. Alors $W=\bigcup_{|\lambda| \leq r} \lambda V$ est équilibré et $W \subset V$.
Exemple : si E est grossier, alors l'adhérence de {0} est F=E donc E/F={0} qui est bien normable. Alors l'application p est définie sur E par p(x)=0. C'est bien une semi-norme, et la topologie associée à p est bien grossière.
Ca me paraît très bien ; le coup de "l'adhérence de {0} est un sev" est simple mais drôlement efficace. Je vais essayer de remplir les trous mais mon ptit doigt me dit que ça roule.
1) En fait c'est surtout connexe qui nous
intéresse. Si ce n'était pas le cas il pourrait se
situer de part et d'autre de la sphère, et on veut
que son image réciproque soit inclus dans la boule
unité. On choisit convexe car c'est algébrique et
donc préservé par $f^{-1}$ qui est linéaire (et
pas encore continue).
2) En fait c'est équilibré et pas convexe qu'il
s'agit de choisir : c'est encore préservé par
$f^{-1}$, et dans un e.v.t. sur $\mathbb{K}=\R$ ou
$\C$, tout point à une base de voisinages
équilibrés alors que seulement les e.v.t.l.c. ont
la même propriété avec des voisinages convexes. Si
$V$ est un voisinage de $0$, par continuité en
$(0,0 \in \mathbb{K} \times E$ de la
multiplication par un scalaire on peut trouver
$r>0$ et $W_0$ voisinage de $0$ tels que
$|\lambda| \leq r, x \in W_0 \Rightarrow \lambda x
\in V$. Alors $W=\bigcup_{|\lambda| \leq r}
\lambda V$ est équilibré et $W \subset V$.
Merci !
On le veut connexe, on le choisit convexe (ce qui est plus fort) et finalement on le choisit équilibré. Mais équilibré implique convexe ?
Ben, non, ça implique seulement étoilé me semble-t-il (sinon tout e.v.t. serait localement convexe). En fait je crois bien que équilibré = étoilé + symétrique, le seigneur remarque confirmera.
Pour revenir sur la séparation de $E/F$ d'hier soir, \c ca marche au moins dans le cas localement convexe. La première chose à remarquer, c'est que pour tout ouvert $V$, on a $p(V)$ est ouvert dans $E/F$ (ici en fait on a même, $\overline{\{x\}}=x+F$, donc tout ouvert qui contient $x$ contient $x+F$ et par conséquent, $p^{-1}(p(V))=V$).
Maintenant, prenons $x\notin F$. Il existe donc un voisinage ouvert de $0$, $V$, tel que $(x+V)\cap F=\emptyset$. Si $E$ est localement convexe, on peut supposer $V$ convexe et équilibré. A ce moment-là, $(x+\frac12V)\cap\frac12V=\emptyset$. En effet, soient $v_{1},v_{2}\in V$ tels que $x+\frac12v_{1}=\frac12 v_{2}$, alors $x+\frac12(v_{1}-v_{2})=0$ avec $\frac12(v_{1}-v_{2})\in V$, contradiction. Moralité, $p(x+\frac12 V)$ et $p(\frac12 V)$ séparent $\dot x$ et $\dot 0$ dans $E/F$.
Je ne sais pas si le caractère localement convexe est nécessaire... sans doute pas au moins en dimension finie, il faudrait aller voir dans les livres.
Intéressant tout ça ; dans le langage de la topologie quotient je crois qu'on dit que les ouverts vérifiant $p^{-1}(p(V))=V$ sont saturés. Donc ici tous les ouverts sont saturés, ça semble bien indiquer que $E$ est homéomorphe à $E/F$ ?
Pour la suite on peut considérer un supplémentaire $G$ de $F$ dans $E$ et regarder la topologie induite sur $G$ : si $x \in G$ alors $\overline{\{x\}}^G=\overline{\{x\}}^E \cap G=(x+F) \cap G=\{x\}$ donc $\{x\}$ est fermé et donc $G$ et séparé (il est $T_1$ ce qui implique Hausdorff pour les e.v.t.) et j'ai envie de dire que $G$ est homéomorphe à $E/F$ comme pour des e.v.n. ?
[En LaTeX, on utilise des \$ pas des £ Profitons-en pendant qu'ils sont si peu chers AD]
En fait, je suis allé un peu vite. Ce qu'on veut, c'est $p(x+\frac12 V)\cap p(\frac12 V)=\emptyset$, c'est-à-dire $v_{1},v_{2}\in V$, $z\in F$ tels que $x+\frac12v_{1}=\frac12 v_{2}+z$, donc contradiction aussi... ouf. Sinon, je dois filer. La suite peut-être à plus tard.
Pour répondre à la question que m'a posé egoroff hier à 19h02... Je pense à l'application dérivée qui n'est pas continue de part le fait que l'on a ||f'(X^(n)||sup=(n-1)||X(n)||sup et donc||f'(X^(n)||sup/||X(n)||sup non borné.
Ou bien on peut dire que si p(X) poly de degré n ||f'(P(x))||sup=||f''(X)||sup(n-2)=||f'''(X)||sup(n-2)(n-3)=... on itère et on obtient (n-2)!an||X||sup et donc..
Oui effectivement, c'est aussi à la dérivation que je pensais Comme tu l'as remarqué elle a tendance à faire "grossir" les vecteurs, et ce sans limite. Une autre question maintenant : son cas est-il desespéré ? ou bien existe-t-il une norme sur $\R[X]$ qui fasse de la dérivation une application continue ?
Réponses
Merci
Plus dur (un peu) : trouver une application linéaire continue bijective, dont la réciproque ne soit pas continue...
tu as deja donné un ex avec Id d'un E dans lui-meme muni de deux normes comparables mais non equivalentes..;)
Ah ben oui... c'est trop facile ! Suis-je bête. Bon, beaucoup plus dur : trouver un exemple où les deux espaces sont complets
Dans le cas des polynômes, avec la base $(X^n)_{n \in \N}$ il suffit de prendre $a_n=n$ ce qui donne bien une famille non bornée, et donc l'application linéaire définie par $f(X^n)=nX^n$ n'est pas continue. Cette application ressemble beaucoup à une application naturelle sur $\R[X]$, saurais-tu la reconnaître ? est-elle continue ?
je pense que tu vas avoir beaucoup de mal à trouver une application linéaire f bijective continue et non bicontinue de E Banach dans F Banach
Enfin comme le dit le barbu, ça doit se trouver si on autorise les e.v.t. pour lesquels le théorème de l'application ouverte n'est pas vérifiée ; peut-être dans les espaces LF et compagnie.
Je prends $\R$. C'est un $\R$-ev. Je le munis de la valeur absolue j'obtiens un espace métrique complet. La valeur absolue rend continue somme et produit par scalaire, donc compatible avec la structure d'ev (bon c'est une norme).
Maintenant je prends $\R$. C'est un $\R$-ev. Je le munis de la distance discrète $d$ et j'obtiens encore un espace métrique complet. Cette distance rend continue la somme (l'image réciproque de n'importe quoi est un ouvert de $\R^2$ pour la topologie produit puisque c'est la topologie discrête) et le produit par scalaire (parce qu'il est déjà continu si je prend à la source la topologie plus grossière associée à la valeur absolue), donc compatible avec la structure d'ev.
Et là boum, $id : (\R,d) \rightarrow (\R,|.|)$ est bijective continue de réciproque non continue.
Je délire ???
- le produit des topologies discrètes est-il bien la topologie discrète sur le produit ? je dirais oui, mais à voir ;
- ou alors c'est le coup de la continuité du produit par un scalaire qui pêche, mais là encore j'ai quand même envie de te croire...
Pourtant je suis sûr de mon résultat, il n'est pas sorcier à démontrer. Je vais essayer de suivre la démo étape par étape pour voir où ça bloque.
pour le barbant:c'est sur que dans le cas général c'est facile,dans le cadre des evt cela dépasse mes compétences actuelles:S
si un érudit passe par la..
PS : l'erreur venait du fait que le produit est bien continu de euclidien$\times$euclidien dans euclidien, donc de euclidien$\times$discret dans euclidien, mais là on met une topologie beaucoup plus fine à l'arrivée !
En passant je file deux-trois indications pour une démonstration du fait qu'un e.v.t. de dimension finie $E$ est homéomorphe à un espace euclidien. On choisit un isomorphisme algébrique $f \, : \, \R^d \to E$, on vérifie que $f$ est continue, donc $S=f(S^{d-1})$ est compact, ne recontre pas $0$ donc il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $E$, qu'on peut choisir convexe, qui ne rencontre pas $S$, on en déduit que $f^{-1}$ est continue.
(par exemple si K avec la topologie grossière n'est-il pas un K-ev topologique ?)
1) à quoi ça sert de le choisir convexe ?
2) pourquoi on peut le choisir convexe ?
Question : si $E$ est un e.v.t. non séparé de dimension $d<\infty$, peut-on trouver une semi-norme $p$ sur $\R^d$ telle que $E$ soit isomorphe en tant qu'e.v.t. à $R^d$ muni de la topologie engendrée par $p$ ?
Si E est un tel e.v.t., on peut noter F l'adhérence de {0}, c'est un s.e.v. et mon instinct me dit que E/F est un e.v.t. séparé (ici instinct=vieille lecture de Bourbaki). Donc, on l'admet, E/F est normable (et même euclidien et tout et tout). Ensuite, on a envie de définir une application p sur E en posant p(x)=norme(classe(x)). Il semble raisonnable de penser que p est une semi-norme, et que la topologie de E est définie par p. Vrai ? (désolé pour l'absence totale de justification concrète dans mon message, je corrige un paquet de copie en même temps).
2) En fait c'est équilibré et pas convexe qu'il s'agit de choisir : c'est encore préservé par $f^{-1}$, et dans un e.v.t. sur $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, tout point à une base de voisinages équilibrés alors que seulement les e.v.t.l.c. ont la même propriété avec des voisinages convexes. Si $V$ est un voisinage de $0$, par continuité en $(0,0 \in \mathbb{K} \times E$ de la multiplication par un scalaire on peut trouver $r>0$ et $W_0$ voisinage de $0$ tels que $|\lambda| \leq r, x \in W_0 \Rightarrow \lambda x \in V$. Alors $W=\bigcup_{|\lambda| \leq r} \lambda V$ est équilibré et $W \subset V$.
Ok, l'exemple est un peu ... simple
Merci !
On le veut connexe, on le choisit convexe (ce qui est plus fort) et finalement on le choisit équilibré. Mais équilibré implique convexe ?
Maintenant, prenons $x\notin F$. Il existe donc un voisinage ouvert de $0$, $V$, tel que $(x+V)\cap F=\emptyset$. Si $E$ est localement convexe, on peut supposer $V$ convexe et équilibré. A ce moment-là, $(x+\frac12V)\cap\frac12V=\emptyset$. En effet, soient $v_{1},v_{2}\in V$ tels que $x+\frac12v_{1}=\frac12 v_{2}$, alors $x+\frac12(v_{1}-v_{2})=0$ avec $\frac12(v_{1}-v_{2})\in V$, contradiction. Moralité, $p(x+\frac12 V)$ et $p(\frac12 V)$ séparent $\dot x$ et $\dot 0$ dans $E/F$.
Je ne sais pas si le caractère localement convexe est nécessaire... sans doute pas au moins en dimension finie, il faudrait aller voir dans les livres.
Intéressant tout ça ; dans le langage de la topologie quotient je crois qu'on dit que les ouverts vérifiant $p^{-1}(p(V))=V$ sont saturés. Donc ici tous les ouverts sont saturés, ça semble bien indiquer que $E$ est homéomorphe à $E/F$ ?
Pour la suite on peut considérer un supplémentaire $G$ de $F$ dans $E$ et regarder la topologie induite sur $G$ : si $x \in G$ alors $\overline{\{x\}}^G=\overline{\{x\}}^E \cap G=(x+F) \cap G=\{x\}$ donc $\{x\}$ est fermé et donc $G$ et séparé (il est $T_1$ ce qui implique Hausdorff pour les e.v.t.) et j'ai envie de dire que $G$ est homéomorphe à $E/F$ comme pour des e.v.n. ?
[En LaTeX, on utilise des \$ pas des £
remarque : OK, je n'avais pas vu qu'il y avait une c*ille, je relirai ta prose.
Ou bien on peut dire que si p(X) poly de degré n ||f'(P(x))||sup=||f''(X)||sup(n-2)=||f'''(X)||sup(n-2)(n-3)=... on itère et on obtient (n-2)!an||X||sup et donc..