Première référence : J.-L. KRIVINE, {\it Théorie axiomatique des ensembles}, Presses Universitaires de France, Paris, 1972,p. 21.
Une relation fonctionnelle $R(x,y)$ à un argument dont le domaine est un ensemble, est elle-même un ensemble : car, d'après le schéma de substitution, si $a$ est le domaine de $R$, il existe un ensemble $b$ dont les éléments sont les images de $a$ par $R$. Alors $R(x,y)$ équivaut à "$R(x,y)$ et $(x,y) \in a \times b$". Donc, cette collection est un ensemble $f$ d'après le schéma de compréhension. Un tel ensemble $f$ est appelé {\it fonction définie sur $a$, à valeurs dans $b$}, ou {\it application de $a$ dans $b$} ou encore {\it famille d'ensembles indexée par $a$}.
Le cadre est formel, l'usage du vocabulaire ainsi défini est strictement réglementé.
Seconde référence : N. BOURBAKI, {\it Théorie des ensembles}, nouvelle édition, Hermann, Paris, 1970, E.R.5{\it ss}.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, distincts ou non. Une relation entre une variable $x$ de $E$ et une variable $y$ de $F$ est dite {\it relation fonctionnelle en $y$}, si, {\it quel que soit $x \in E$, il existe un élément $y$ de $F$ et un seul, qui soit dans la relation considérée avec $x$}.
On donne le nom de {\it fonction} à l'opération qui associe ainsi à tout élément $x \in E$ l'élément $y \in F$ qui se trouve dans la relation donnée avec $x$ ; o dit que $y$ est la {\it valeur} de la fonction pour l'élément $x$, et que la fonction est {\it déterminée} par la relation fonctionnelle considérée. [...] on dit aussi que c'est une {\it application de E dans F}
Définition informelle dans le cadre du fascicule de résultats qui aborde par la suite les abus de langage, tel "la fonction $\sin x$ sur $\R$".
je voulais dire une référence en dehors de ce forum, dans un livre de maths par exemple, écrit par un mathématicien ..
un livre ne suffit pas (ça me fait penser à un titre d'un james bond? que j'ai oublié), même écrit par un mathématicien. gb exhibe 2 citations ci-dessus (Bourbaki est reconnu comme un peu plus qu'un livre, ça se veut justement une sorte d'archive "officielle" (jusqu'à quand?). JLKrivine est digne de confiance en tant que grand savant, mais doit-il être considéré comme "institutionnel"?)
Au delà du troll, il ne faudrait pas oublier un truc: en maths toute notion (plutôt "tout mot") répond à l'une au moins des 3 conditions suivantes:
1) il n'a pas de sens (admis par tous, clair, officiel, formel, je ne sais quoi d'autre...)
2) il a une définition D (et il en existe éventuellement plusieurs autres qui ont été prouvées équivalentes entre elles et à D)
3) il est une "notion première" (ie, il ne répond pas à l'une au moins des 2 précédentes conditions)
Il se trouve (autant faire un petit sondage) que les mots (plutôt les expressions) fonction (resp application) de A dans B ne répondent ni à la condition (1), ni à la condition (3)... Il se trouve que tous les matheux sérieux sont d'accord avec les 2 définitions que j'ai données à partir de la notion d'ensemble... (Il n'est interdit à personne de ma contredire)
La "canal historique" des maths depuis les années disons 1920 est de considérer que seul le mot "ensemble" répond à la condition (3) et que toutes les autres notions mathématiques peuvent (au moins, à défaut d'être comprises ou maitrisées) être définies à partir de là.
D'où un excellent défi à proposer à celles et ceux qui s'inscriraient en faux à ce qui précède: trouver une notion intuitive, mathématique, dont il n'a pas été donné de définition "officielle" à partir de la seule notion d'ensemble.
Si vous gagnez alors "bravo" (j'offre un resto) et sinon, je ferai (ou d'autres surement feront) l'effort de donner chaque fois une définition à partir de la seule notion d'ensemble et du signe (alala, je n'ai pas écrit pour cocher latex) ∈ ← héhé, je suis pas peu fier là
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
> D'où un excellent défi à proposer à celles et ceux
> qui s'inscriraient en faux à ce qui précède:
> trouver une notion intuitive, mathématique, dont
> il n'a pas été donné de définition "officielle" à
> partir de la seule notion d'ensemble.
>
> Si vous gagnez alors "bravo" (j'offre un resto) et
> sinon, je ferai (ou d'autres surement feront)
> l'effort de donner chaque fois une définition à
> partir de la seule notion d'ensemble et du signe
> (alala, je n'ai pas écrit pour cocher latex)
> ∈ ← héhé, je suis pas peu fier là
à partir de la seule notion d'ensemble et du signe ∈ (c'est le signe d'appartenance)
à "En passant": je ne connais pas le sens exact de ce mot, si tu pouvais me le donner...
La catégorie des groupes est-elle définie par:
un groupe est un couple (G,*), où * est une application de G² dans G, est associative, où chaque élément a un inverse.
le couple (a,b) est l'ensemble des éléments ou bien égaux au singleton composé de a ou bien à la paire composée par les éléments a,b (dsl je contourne le latex)
De vague mémoire je sais qu'il est parfois exhibé dans les mauvais livres vantards sur la notion de catégorie qu'elle dépasserait la notion d'ensemble pour de basses (et futiles) raisons de cardinalité. Si c'est à ça que tu penses, j'attends que tu me dises ce que signifie le mot catégorie pour te montrer commet il se définit à partir du mot "ensemble": (je me placerai dans un inaccessible E, et j'y définirai ce que signifie la phrase "a est une catégorie sur E")
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Comment tu définis une collection avec les ensembles ? Je suis curieux.
Et sinon pour vraiment te donner un truc que tu ne peux pas gérer avec les ensembles (mais c'est méchant) c'est le vrai, la notion de vérité préexistante à tout.
Comment tu définis une collection avec les ensembles ? Je suis curieux.
En fait, ce n'est pas sous cet angle que je parle. Je parle de maths: effectivement, l'univers V étant supposé donné (s'il l'est), les "cardinaux" par exemple forment une collection qui n'est pas un ensemble. Mais, il va de soi que je les considère comme définis à partir de la notion d'ensemble. De même pour les groupes, les anneaux, les espaces topologiques, les catégories, etc..
Par exemple, quand tu as un problème parce qu'une notion est suffisamment "générale" pour que les ensembles définis par elle forment une collection trop grande pour être un ensemble, et que tu veux faire des maths "non logiques" avec cette notion, tu te prends pas la tête:
tu te donnes un ensemble "inaccessible"** fixé (que tu nommes par une constante disons E). Puis tu définis tout à partir de cette constante. Ainsi les "anciens" ensembles sont les éléments de E, les anciennes "collections" (qui nécessitaient tant de prudence langagière) sont les parties de E, etc... Et tout ça, ce sont des ensembles.
Je répète que le défi ne consiste pas à trouver une notion "délicate" à maitriser, mais carrément "impossible à définir" d'une manière acceptable, y compris avec recours à 2 ou 3 inaccessibles en passant (qui sont des noitons parfaitement ensemblistes)
Cela dit, par soucis d'honnêteté, je veux bien t'inviter dans un pizza hut...
c'est le vrai, la notion de vérité préexistante à tout.
J'ai demandé une notion mathématique
La vérité est l'exemple typique d'une notion non mathématique. Elle est même explicitement considérée comme un hypothèse ou une donnée dans toutes les argumentations de maths ce qui est la position exactement adverse*** (puisque tu aimes les catégorie, tu dois savoir un peu de correspondance de Curry Howard: dans A flêche B, le A est "nié")
** un ensemble E est inaccessible quand il est transitif (contient les éléments de ses élément), stable par ensemble des parties (il contient l'ensemble des parties de chacun de ses éléments), et contient toutes ses parties A telles qu'il n'existe pas d'injection de E dans A
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
> puisque tu aimes
> les catégorie, tu dois savoir un peu de
> correspondance de Curry Howard
D'où sors-tu ce genre d'implications ? La correspondance de Curry je ne la connais que de loin et encore une version modifiée (mais sûrement équivalente).
Vue l'heure (et les greves demain), je me donne 5mn pour te rep:
La correspondance de CH, en gros, fait que c'est presque "l'indentité" qui associe à chaque preuve de maths un "programme" (informatique).
Grossièrement, $A\to B$ (qui représente le "implique" quand A et B sont des phrases) se retrouve associé à l'ensemble des programmes qui réussissent d'une manière garantie à "attérir" dans B quand leur "entrée" est dans A.
De fil en aiguille, il y a une profonde proximité entre $A\to B$ (phrases) et $A\to B$ ensemble des applications de $A$ dans $B$.
En maths, la "vérité" est toujours "donnée" (c'est le $A$ du $A\to B$, ce n'est jamais le $B$), ie à un objet (oracle, modèle ou autre) supposé représenter la vérité on associe quelque chose.
Par exemple, en théorie des modèles un des rares domaines où le mot vérité apparait en maths, la vérité est explicitement une {\bf donnée}. Le modèle {\bf est cette donnée} en associant à chaque phrase une valeur de vérité (les exigences de cohérence importent peu, en fait).
Les maths, permettront éventuellement un jour de {\bf détruire} le concept de vérité: de la même manière qu'une affirmation $A$ en position d'hypothèse peut laisser espérer que $A\to tout$ soit prouvée un jour. Mais en aucune façon elles n'ont, jusqu'à présent, réussi à faire apparaitre la vérité en position "positive" (la position d'hypothèse est négative).
Attention: ne confonds pas avec la notion de preuve (qui elle est définie mathématiquement, sans difficulté particulière)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Une occurence négative/positive dans une phrase est définie de la manière suivante:
Les occurence positives de $A\to B$ sont les occurences poitives de $B$; ainsi que $B$ ainsi que les occurences {\bf négatives} de $A$ +la phrase elle-même.
.
Les occurences positives d'une conjonction ou d'une disjonction sont les occurences positives de leurs items +la phrase elle-même.
Les occurences positives d'une phrase atomique (sans connecteurs logiques) sont la phrase elle-même.
Cette notion est beaucoup plus grossière que la notion de preuce ou de vérité. Il y a une frontière très épaisse entre les occurences négatives et positives. En gros, les occurences positives sont celles qui seront jouées par le prouveur {\bf dans n'importe quelle argumentation, aussi mauvaise soit-elle}, et les occurences négatives sont celles qui seront jouées par le sceptique dans une partie "prouveur-sceptique" où tous les devoirs sont du côté du prouveur.
Les occurences {\bf négatives} sont les "cadeaux" que le prouveur demande (à genoux) au sceptique: la vérité est dans ce cas.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
C'est facile ! Si on insulte un représentant des forces de l'ordre dans l'exercice de ses fonctions, on récolte presque sûrement un procès-verbal rédigé avec application...:D
Bonjour j'ai une question bête résumée dans le titre: quelle est la différence entre une fonction de E dans F et une application de E dans F?
J'ai cherché sur le net je crois comprendre que pour une application pour tout élément de E il existe une unique image dans F alors que la fonction il y a au plus une image dans F.
Or il me semble qu'on m'a toujours dit que la fonction n'était définie que sur son ensemble de définition ça me parait contradictoire.
Et qu'en est-il alors pour la définition de la bijection?
Une fonction définie de E dans F ne devient une application de E dans F que si tout simplement E n'est autre que son ensemble de définition.
La distinction entre application et fonction n'est pas faite par la plupart des auteurs et c'est bien dommage. Cela vient du fait que dans l'enseignement élémentaire l'expression du nombre réel f(x) est donné avant même que l'on ait pu déterminer pour quelles valeurs de x, f(x) était calculable: pratique pas très recommandable mais qu'il n'est pas toujours facile d'éviter !
Il ne semble cependant pas mauvais lorsque l'on dispose de deux termes différents de spécialiser leur sens afin d'accroître les ressources du language.
Dans ces conditions il est facile de définir une bijection de E vers ou sur F si on choisi F comme l'ensemble des images de E par f.
On part alors de l'ensemble F et non de E ce qui donne:
"f est une bijection de E sur F si et seulement si à tout élément y de F on associe un élément unique x de E dont il est l'image. On écrit y=f(x) ou x=f-1(y)."
Comme quoi même sur des sujets même peu politisés et assez rigoureux comme les maths on peut trouver de joli guerre d'opinions
J'espère ne pas faire de redondance par rapport à ce qui a été dit mais j'ai l'impression que l'origine de la dispute vient pas mal du fait que les gens parlaient de deux choses légèrement différentes (mais peut être me trompé-je ?).
Je retiens deux questions posées par le débats :
Q1. Est-il vraiment nécessaire d'établir une distinction de vocabulaire entre les "relations fonctionnelles" qui assurerait que tout élément de l'espace de départ soit en correspondance avec un élément de l'espace d'arrivée et celles qui ne l'assureraient pas nécessairement ?
Q2. Le couple (fonction, application) est-il le plus adapté pour marquer cette distinction ?
Et j'ai un peu l'impression de voir depuis le début deux groupes de personnes. L'un dit : "oui à Q1", l'autre réponds "non à Q2", les deux finissent par se taper dessus
Personnellement je répondrais moi-même "oui à Q1" et "non à Q2" en même temps.
On trouve parfois les termes "fonctions/applications partielles" opposés à "fonctions/applications (totales)", vocabulaire sans doute hériter des terminologies anglaise et allemande que je trouve adaptés et parlant pour la distinctions qui nous interesse ici.
Mais peut être existe-t-il des cas ou cela pourrait créer une confusion avec une autre utilisation de partiel/total (notamment avec les ordres, mais bon, un ordre qui soit aussi une fonction me semble d'intêrét nul).
Aprés ça, savoir si ces termes sont plus adaptés, intuitifs et parlants reste peut être éminement subjectif.
Pour ma part, j'avais déjà créé un sujet sur cette question il y a un an je crois, et le même débat avait eu lieu. J'ai fini par chercher un bouquin de maths et son contenu m'a convaincu, c'est déjà ça.
J'ai vu que sur Wikipedia il y a deux articles intéressants sur les correspondances (fonctionelle, applicative, injective, etc) et donc sur "la" différence "application/fonction" (en fait il y a deux écoles à priori, et dans la pratique on ne se pose pas toutes ces questions, ce n'est pas bien utile sauf lorsque ça crée des problèmes quand une personne n'a jamais vu la différence et qu'elle se pose ces questions... comme moi).
Je me suis fait un document .pdf avec les infos tirés de Wikipedia. Je mets donc ce document ici, si certain souhaite l'imprimer. Attention, je répète : c'est tiré de Wikipedia, je n'ai rien écrit, donc si ça ne vous plait pas, allez crier sur Wikipedia ! :P
En tout cas, Christophe, tu n'es pas censé être d'accord ! Si on se réfère à tes précédents messages, les relations que tu (bon, en fait, moi aussi) appelles applicatives sont celles qui sont dites "applicatives et fonctionnelles" sur le pdf. Les relations appelées "applicatives" sur le pdf correspondent aux relations que tu appellerais sans doute "totales".
Par curiosité, j'ai jeté un coup d'œil à la page de discussion consacrée à l'article de Wikipedia pour comprendre l'origine de ce choix original. A ma grande surprise, la raison qui a motivé ce choix est complètement absurde (enfin je trouve) : un auteur pense qu'il y a risque de confusion entre une correspondance totale et une relation d'ordre total !
Voilà qui devrait faire plaisir à Nicolas Patrois...
Tiens j'ai appris un nouveau mot ! Mon pdf est donc propre mais "date d'une autre époque" ? Vous pensez que son contenu (tiré de Wikipedia) est "tombé en désuétude" ?
Je n'ai pas lu toute la discussion de l'article Wikipedia, mais effectivement, si "un auteur pense qu'il y a risque de confusion entre une correspondance totale et une relation d'ordre total" alors cette raison est absurde (selon moi).
Mais après discussion avec des professeurs et personnes de l'IUFM, on emploie tous le mot "application" comme "fonction dont l'ensemble de départ est le domaine de définition", donc cela n'est pas si original que ça que de définir une application comme "une relation fonctionnelle et applicative" non ?
A priori, lorsque je parle d'application, je parle d'une correspondance (relation) dont tout élément de l'ensemble de départ a exactement une image, i.e. "applicative ET fonctionnelle" (du pdf) et non pas seulement "dont tout élément de l'ens. de départ a au moins une image", i.e. "applicative" (du pdf).
Sinon, en ce qui concerne le mot "suranné", ouais bof, c'est à peu près ce que je voulais dire,mais pas vrmt, mais bon... La flemme de chercher un autre mot
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pourquoi révisionnisme GG ? Les mathématiques modernes ont été influencés par Bourbaki, mais les mathématiques modernes ne sont pas Bourbaki il me semble.
"En 1950, l'école Bourbaki tente de..." signifie (je crois, je ne suis pas l'auteur de cette phrase) qu'elle essaya de formaliser tout ça et de mettre tout le monde d'accord, et ensuite les réformes mathématiques s'inspireront du collectif Bourbaki, invoquant notamment la renommé du groupe Bourbaki.
Est-ce être révisionniste que de dire que Bourbaki a "tenté" de distinguer ces deux notions et de rendre "universelle" cette distinction, puis que les maths modernes s'inspireront de ce que ce groupe a écrit ?
Je ne m'y connais pas assez en histoire des mathématiques pour prendre clairement position.
Tertiah> cette manière de présenter les choses laisse entendre au lecteur que le travail de Bourbaki était embryonnaire, une ébauche qui nécessiterait d'être complétée et achevée quelque décennies plus tard par une "réforme". Ma remarque (ironique) exprimait juste mon désaccord total avec cette interprétation.
Ok avec Bruno. J'utiliserais le terme "fonction numérique" pour signifier qu'elle prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$. Sinon je compatis avec Christophe, il a du se sentir bien seul dans ses premières interventions sur ce fil...
mais voilà encore un des ravages du passage sucessif de la réforme des maths modernes puis de sa suppression puis d'un retour (très sporadique: il y a quelques années le mot bijection était presque devenu une insulte!) d'un certain vocabulaire.
La différence entre application et fonction m'a été introduite en cours de 6ème et au premiers cours en plus! Je m'en souviens comme si c'était hier et pourtant c'était dans les années 70...
Bon ok ca ne fait pas avancer le chmiliblik.
Donc:
application: une image et une seule
fonction: au plus une image.
Tertiath : j'ai lu la définition 1 du pdf. Je trouve bizarre d'écrire "Soient E et F deux ensembles" suivis de "Pour tous E et F ...". Je n'ai pas retrouvé ce problème sur Wikipédia
Sur Wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_et_relation#D.C3.A9finition) il me semble qu'il y a un autre problème : ce n'est pas "somme disjointe" mais "triplet". Aussi, je ne vois pas l'intérêt de donner une définition dans un langage formel (et de toute façon, une assertion où figure le mot "correspondance" n'est pas vraiment écrite dans le langage formel usuel des mathématiques).
Histoire d'alimenter le troll, je réécris les définitions "officielles"
Si (f,E,F) est tel que f est inclus dans E×F et pour tout x de E il existe au plus un x dans F avec (x,y) appartenant à F alors on appelle (f,E,F) fonction (et par abus de langage, on dit que f est une fonction*) et l'expression longue à écrire suivante:
éventuel (mais unique) y tel que (x,y) appartient à f
est abrégée en écrivant f(x) et s'appelle "image de x par f"
Si (f,E,F) est tel que f est inclus dans E×F et pour tout x de E il existe un unique x dans F avec (x,y) appartenant à F alors on appelle (f,E,F) application (et par abus de langage, on dit que f est une application*) et, pour x dans E l'expression longue à écrire suivante:
Le y tel que (x,y) appartient à f
est abrégée en écrivant f(x) et s'appelle "image de x par f"
* ou sans "abus**" de langage "f est une ... de E dans F"
** mais avec une petite maladresse car la phrase utilise "f" comme un objet autonome (à moins de considérer "être une fonction de E dans F" comme un adjectif à part entière, ce qui est possible, mais peu courant)
Au début du fil je crois que bcp n'avaient pas vraiment pris conscience qu'était discuté la différence entre les 2 adjectifs à (E,F) fixé) et la "réunion" pour tous les (E,F) (qui fait que toute fonction f de E dans F est une application d'un E' dans F)
(En fait j'ai été "rappelé" à ce fil parce que mon site reçoit des "clics" vers une vieille page, mais je pense qu'avec un peu de chance, il y en bien qui recommenceront à s'énerver autour de ces définitions et comme il n'ya pas d'actualité de politique politicienne en ce moment sur BFM..., c'est un peu morne)
J'adore la réponse de Gérard à mbs...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
certains intervenants sont très agressifs, c'est choquant !!
Si je donne ce sujet à mes élèves de 3°: cela risque de les dégouter des maths. (et pourtant ce sont des très bons élèves) et seront étonnée que même entre matheux on soit si opposés !!
il faut avant tout faire aimer les maths à mon avis, les différences subtiles peuvent être vues par la suite.
Je "pousse" mes élèves autant que je peux. Je me souviens d'un ancien collègue qui m'avait traité de "fou" (pas méchamment) parce que je faisais tracer le cercle inscrit à mes élèves de 6°
mais la notion de bissectrice étant vue, ainsi que droite perpendiculaire aussi, le tracé ne pose aucun pb (et même mieux, cela permet de réinvestir des notions vues précedemment)
et le tracé a été réussi par les 27 élèves de cette classe.
L'importance est de faire aimer les maths (ludiquement au départ) puis après d'être super rigoureux. et pourtant je suis super rigoureux avec mes élèves, leur demandant une rédaction hyper soutenue
(je dois dire que je suis dans un collège dit difficile...)
la réflexion de certains intervenants disant que les élèves savent de moins en moins de chose (en maths) est énervante. (avis que je ne partage pas forcément d'ailleurs)
Ci-dessous, pour les gens en difficulté avec ces notions, je signale un fil récent où il est plutôt indispensable de savoir faire la différence entre les 2...
Réponses
je voulais dire une référence en dehors de ce forum, dans un livre de maths par exemple, écrit par un mathématicien}}
Qu'est-ce qu'un texte fondateur ? Qu'est-ce qu'un mathématicien ?
Première référence : J.-L. KRIVINE, {\it Théorie axiomatique des ensembles}, Presses Universitaires de France, Paris, 1972,p. 21.
Une relation fonctionnelle $R(x,y)$ à un argument dont le domaine est un ensemble, est elle-même un ensemble : car, d'après le schéma de substitution, si $a$ est le domaine de $R$, il existe un ensemble $b$ dont les éléments sont les images de $a$ par $R$. Alors $R(x,y)$ équivaut à "$R(x,y)$ et $(x,y) \in a \times b$". Donc, cette collection est un ensemble $f$ d'après le schéma de compréhension. Un tel ensemble $f$ est appelé {\it fonction définie sur $a$, à valeurs dans $b$}, ou {\it application de $a$ dans $b$} ou encore {\it famille d'ensembles indexée par $a$}.
Le cadre est formel, l'usage du vocabulaire ainsi défini est strictement réglementé.
Seconde référence : N. BOURBAKI, {\it Théorie des ensembles}, nouvelle édition, Hermann, Paris, 1970, E.R.5{\it ss}.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, distincts ou non. Une relation entre une variable $x$ de $E$ et une variable $y$ de $F$ est dite {\it relation fonctionnelle en $y$}, si, {\it quel que soit $x \in E$, il existe un élément $y$ de $F$ et un seul, qui soit dans la relation considérée avec $x$}.
On donne le nom de {\it fonction} à l'opération qui associe ainsi à tout élément $x \in E$ l'élément $y \in F$ qui se trouve dans la relation donnée avec $x$ ; o dit que $y$ est la {\it valeur} de la fonction pour l'élément $x$, et que la fonction est {\it déterminée} par la relation fonctionnelle considérée. [...] on dit aussi que c'est une {\it application de E dans F}
Définition informelle dans le cadre du fascicule de résultats qui aborde par la suite les abus de langage, tel "la fonction $\sin x$ sur $\R$".
un livre ne suffit pas (ça me fait penser à un titre d'un james bond? que j'ai oublié), même écrit par un mathématicien. gb exhibe 2 citations ci-dessus (Bourbaki est reconnu comme un peu plus qu'un livre, ça se veut justement une sorte d'archive "officielle" (jusqu'à quand?). JLKrivine est digne de confiance en tant que grand savant, mais doit-il être considéré comme "institutionnel"?)
Au delà du troll, il ne faudrait pas oublier un truc: en maths toute notion (plutôt "tout mot") répond à l'une au moins des 3 conditions suivantes:
1) il n'a pas de sens (admis par tous, clair, officiel, formel, je ne sais quoi d'autre...)
2) il a une définition D (et il en existe éventuellement plusieurs autres qui ont été prouvées équivalentes entre elles et à D)
3) il est une "notion première" (ie, il ne répond pas à l'une au moins des 2 précédentes conditions)
Il se trouve (autant faire un petit sondage) que les mots (plutôt les expressions) fonction (resp application) de A dans B ne répondent ni à la condition (1), ni à la condition (3)... Il se trouve que tous les matheux sérieux sont d'accord avec les 2 définitions que j'ai données à partir de la notion d'ensemble... (Il n'est interdit à personne de ma contredire)
La "canal historique" des maths depuis les années disons 1920 est de considérer que seul le mot "ensemble" répond à la condition (3) et que toutes les autres notions mathématiques peuvent (au moins, à défaut d'être comprises ou maitrisées) être définies à partir de là.
D'où un excellent défi à proposer à celles et ceux qui s'inscriraient en faux à ce qui précède: trouver une notion intuitive, mathématique, dont il n'a pas été donné de définition "officielle" à partir de la seule notion d'ensemble.
Si vous gagnez alors "bravo" (j'offre un resto) et sinon, je ferai (ou d'autres surement feront) l'effort de donner chaque fois une définition à partir de la seule notion d'ensemble et du signe (alala, je n'ai pas écrit pour cocher latex) ∈ ← héhé, je suis pas peu fier là
L'appartenance?
> qui s'inscriraient en faux à ce qui précède:
> trouver une notion intuitive, mathématique, dont
> il n'a pas été donné de définition "officielle" à
> partir de la seule notion d'ensemble.
>
> Si vous gagnez alors "bravo" (j'offre un resto) et
> sinon, je ferai (ou d'autres surement feront)
> l'effort de donner chaque fois une définition à
> partir de la seule notion d'ensemble et du signe
> (alala, je n'ai pas écrit pour cocher latex)
> ∈ ← héhé, je suis pas peu fier là
Une catégorie.
tu as coupé ma citation:
à "En passant": je ne connais pas le sens exact de ce mot, si tu pouvais me le donner...
La catégorie des groupes est-elle définie par:
un groupe est un couple (G,*), où * est une application de G² dans G, est associative, où chaque élément a un inverse.
le couple (a,b) est l'ensemble des éléments ou bien égaux au singleton composé de a ou bien à la paire composée par les éléments a,b (dsl je contourne le latex)
De vague mémoire je sais qu'il est parfois exhibé dans les mauvais livres vantards sur la notion de catégorie qu'elle dépasserait la notion d'ensemble pour de basses (et futiles) raisons de cardinalité. Si c'est à ça que tu penses, j'attends que tu me dises ce que signifie le mot catégorie pour te montrer commet il se définit à partir du mot "ensemble": (je me placerai dans un inaccessible E, et j'y définirai ce que signifie la phrase "a est une catégorie sur E")
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories#D.C3.A9finition
La notion de catégorie (sur un inaccessible E) est aussi facile à définir à partir de celle d'ensemble que celle de groupe...
Est-ce que c'est à cette notion que tu fais référence? Est-ce que je dois "traduire" toute la page du wiki en termes ensemblistes?
Et sinon pour vraiment te donner un truc que tu ne peux pas gérer avec les ensembles (mais c'est méchant) c'est le vrai, la notion de vérité préexistante à tout.
En fait, ce n'est pas sous cet angle que je parle. Je parle de maths: effectivement, l'univers V étant supposé donné (s'il l'est), les "cardinaux" par exemple forment une collection qui n'est pas un ensemble. Mais, il va de soi que je les considère comme définis à partir de la notion d'ensemble. De même pour les groupes, les anneaux, les espaces topologiques, les catégories, etc..
Par exemple, quand tu as un problème parce qu'une notion est suffisamment "générale" pour que les ensembles définis par elle forment une collection trop grande pour être un ensemble, et que tu veux faire des maths "non logiques" avec cette notion, tu te prends pas la tête:
tu te donnes un ensemble "inaccessible"** fixé (que tu nommes par une constante disons E). Puis tu définis tout à partir de cette constante. Ainsi les "anciens" ensembles sont les éléments de E, les anciennes "collections" (qui nécessitaient tant de prudence langagière) sont les parties de E, etc... Et tout ça, ce sont des ensembles.
Je répète que le défi ne consiste pas à trouver une notion "délicate" à maitriser, mais carrément "impossible à définir" d'une manière acceptable, y compris avec recours à 2 ou 3 inaccessibles en passant (qui sont des noitons parfaitement ensemblistes)
Cela dit, par soucis d'honnêteté, je veux bien t'inviter dans un pizza hut...
J'ai demandé une notion mathématique
La vérité est l'exemple typique d'une notion non mathématique. Elle est même explicitement considérée comme un hypothèse ou une donnée dans toutes les argumentations de maths ce qui est la position exactement adverse*** (puisque tu aimes les catégorie, tu dois savoir un peu de correspondance de Curry Howard: dans A flêche B, le A est "nié")
** un ensemble E est inaccessible quand il est transitif (contient les éléments de ses élément), stable par ensemble des parties (il contient l'ensemble des parties de chacun de ses éléments), et contient toutes ses parties A telles qu'il n'existe pas d'injection de E dans A
> les catégorie, tu dois savoir un peu de
> correspondance de Curry Howard
D'où sors-tu ce genre d'implications
> dans A flèche B,
> le A est "nié")
Pourrais-tu développer ?
La correspondance de CH, en gros, fait que c'est presque "l'indentité" qui associe à chaque preuve de maths un "programme" (informatique).
Grossièrement, $A\to B$ (qui représente le "implique" quand A et B sont des phrases) se retrouve associé à l'ensemble des programmes qui réussissent d'une manière garantie à "attérir" dans B quand leur "entrée" est dans A.
De fil en aiguille, il y a une profonde proximité entre $A\to B$ (phrases) et $A\to B$ ensemble des applications de $A$ dans $B$.
En maths, la "vérité" est toujours "donnée" (c'est le $A$ du $A\to B$, ce n'est jamais le $B$), ie à un objet (oracle, modèle ou autre) supposé représenter la vérité on associe quelque chose.
Par exemple, en théorie des modèles un des rares domaines où le mot vérité apparait en maths, la vérité est explicitement une {\bf donnée}. Le modèle {\bf est cette donnée} en associant à chaque phrase une valeur de vérité (les exigences de cohérence importent peu, en fait).
Les maths, permettront éventuellement un jour de {\bf détruire} le concept de vérité: de la même manière qu'une affirmation $A$ en position d'hypothèse peut laisser espérer que $A\to tout$ soit prouvée un jour. Mais en aucune façon elles n'ont, jusqu'à présent, réussi à faire apparaitre la vérité en position "positive" (la position d'hypothèse est négative).
Attention: ne confonds pas avec la notion de preuve (qui elle est définie mathématiquement, sans difficulté particulière)
Les occurence positives de $A\to B$ sont les occurences poitives de $B$; ainsi que $B$ ainsi que les occurences {\bf négatives} de $A$ +la phrase elle-même.
.
Les occurences positives d'une conjonction ou d'une disjonction sont les occurences positives de leurs items +la phrase elle-même.
Les occurences positives d'une phrase atomique (sans connecteurs logiques) sont la phrase elle-même.
Cette notion est beaucoup plus grossière que la notion de preuce ou de vérité. Il y a une frontière très épaisse entre les occurences négatives et positives. En gros, les occurences positives sont celles qui seront jouées par le prouveur {\bf dans n'importe quelle argumentation, aussi mauvaise soit-elle}, et les occurences négatives sont celles qui seront jouées par le sceptique dans une partie "prouveur-sceptique" où tous les devoirs sont du côté du prouveur.
Les occurences {\bf négatives} sont les "cadeaux" que le prouveur demande (à genoux) au sceptique: la vérité est dans ce cas.
J'ai cherché sur le net je crois comprendre que pour une application pour tout élément de E il existe une unique image dans F alors que la fonction il y a au plus une image dans F.
Or il me semble qu'on m'a toujours dit que la fonction n'était définie que sur son ensemble de définition ça me parait contradictoire.
Et qu'en est-il alors pour la définition de la bijection?
Merci d'avance !
La distinction entre application et fonction n'est pas faite par la plupart des auteurs et c'est bien dommage. Cela vient du fait que dans l'enseignement élémentaire l'expression du nombre réel f(x) est donné avant même que l'on ait pu déterminer pour quelles valeurs de x, f(x) était calculable: pratique pas très recommandable mais qu'il n'est pas toujours facile d'éviter !
Il ne semble cependant pas mauvais lorsque l'on dispose de deux termes différents de spécialiser leur sens afin d'accroître les ressources du language.
Dans ces conditions il est facile de définir une bijection de E vers ou sur F si on choisi F comme l'ensemble des images de E par f.
On part alors de l'ensemble F et non de E ce qui donne:
"f est une bijection de E sur F si et seulement si à tout élément y de F on associe un élément unique x de E dont il est l'image. On écrit y=f(x) ou x=f-1(y)."
alors finalement c'est quoi la différence?
les fonctions de R dans R espace vectoriel ou pas?
merci
Comme quoi même sur des sujets même peu politisés et assez rigoureux comme les maths on peut trouver de joli guerre d'opinions
J'espère ne pas faire de redondance par rapport à ce qui a été dit mais j'ai l'impression que l'origine de la dispute vient pas mal du fait que les gens parlaient de deux choses légèrement différentes (mais peut être me trompé-je ?).
Je retiens deux questions posées par le débats :
Q1. Est-il vraiment nécessaire d'établir une distinction de vocabulaire entre les "relations fonctionnelles" qui assurerait que tout élément de l'espace de départ soit en correspondance avec un élément de l'espace d'arrivée et celles qui ne l'assureraient pas nécessairement ?
Q2. Le couple (fonction, application) est-il le plus adapté pour marquer cette distinction ?
Et j'ai un peu l'impression de voir depuis le début deux groupes de personnes. L'un dit : "oui à Q1", l'autre réponds "non à Q2", les deux finissent par se taper dessus
Personnellement je répondrais moi-même "oui à Q1" et "non à Q2" en même temps.
On trouve parfois les termes "fonctions/applications partielles" opposés à "fonctions/applications (totales)", vocabulaire sans doute hériter des terminologies anglaise et allemande que je trouve adaptés et parlant pour la distinctions qui nous interesse ici.
Mais peut être existe-t-il des cas ou cela pourrait créer une confusion avec une autre utilisation de partiel/total (notamment avec les ordres, mais bon, un ordre qui soit aussi une fonction me semble d'intêrét nul).
Aprés ça, savoir si ces termes sont plus adaptés, intuitifs et parlants reste peut être éminement subjectif.
J'ai vu que sur Wikipedia il y a deux articles intéressants sur les correspondances (fonctionelle, applicative, injective, etc) et donc sur "la" différence "application/fonction" (en fait il y a deux écoles à priori, et dans la pratique on ne se pose pas toutes ces questions, ce n'est pas bien utile sauf lorsque ça crée des problèmes quand une personne n'a jamais vu la différence et qu'elle se pose ces questions... comme moi).
Je me suis fait un document .pdf avec les infos tirés de Wikipedia. Je mets donc ce document ici, si certain souhaite l'imprimer. Attention, je répète : c'est tiré de Wikipedia, je n'ai rien écrit, donc si ça ne vous plait pas, allez crier sur Wikipedia ! :P
En tout cas, Christophe, tu n'es pas censé être d'accord ! Si on se réfère à tes précédents messages, les relations que tu (bon, en fait, moi aussi) appelles applicatives sont celles qui sont dites "applicatives et fonctionnelles" sur le pdf. Les relations appelées "applicatives" sur le pdf correspondent aux relations que tu appellerais sans doute "totales".
Par curiosité, j'ai jeté un coup d'œil à la page de discussion consacrée à l'article de Wikipedia pour comprendre l'origine de ce choix original. A ma grande surprise, la raison qui a motivé ce choix est complètement absurde (enfin je trouve) : un auteur pense qu'il y a risque de confusion entre une correspondance totale et une relation d'ordre total !
Voilà qui devrait faire plaisir à Nicolas Patrois...
Je n'ai pas lu toute la discussion de l'article Wikipedia, mais effectivement, si "un auteur pense qu'il y a risque de confusion entre une correspondance totale et une relation d'ordre total" alors cette raison est absurde (selon moi).
Mais après discussion avec des professeurs et personnes de l'IUFM, on emploie tous le mot "application" comme "fonction dont l'ensemble de départ est le domaine de définition", donc cela n'est pas si original que ça que de définir une application comme "une relation fonctionnelle et applicative" non ?
A priori, lorsque je parle d'application, je parle d'une correspondance (relation) dont tout élément de l'ensemble de départ a exactement une image, i.e. "applicative ET fonctionnelle" (du pdf) et non pas seulement "dont tout élément de l'ens. de départ a au moins une image", i.e. "applicative" (du pdf).
Je m'embrouille tout seul là non ? B-)-
de ...
S'appuyant sur cet embryon de distinction, les mathématiques modernes des années 1970 distinguent
alors deux objets différents ...
Révisionnisme ?
Sinon, en ce qui concerne le mot "suranné", ouais bof, c'est à peu près ce que je voulais dire,mais pas vrmt, mais bon... La flemme de chercher un autre mot
Pourquoi révisionnisme GG ? Les mathématiques modernes ont été influencés par Bourbaki, mais les mathématiques modernes ne sont pas Bourbaki il me semble.
"En 1950, l'école Bourbaki tente de..." signifie (je crois, je ne suis pas l'auteur de cette phrase) qu'elle essaya de formaliser tout ça et de mettre tout le monde d'accord, et ensuite les réformes mathématiques s'inspireront du collectif Bourbaki, invoquant notamment la renommé du groupe Bourbaki.
Est-ce être révisionniste que de dire que Bourbaki a "tenté" de distinguer ces deux notions et de rendre "universelle" cette distinction, puis que les maths modernes s'inspireront de ce que ce groupe a écrit ?
Je ne m'y connais pas assez en histoire des mathématiques pour prendre clairement position.
une fonction $g$ va d'un ensemble $E$ dans l'ensemble $\R$,
dans les deux cas :
A tout élément de l'ensemble de départ,
on associe un élément de l'ensemble d'arrivée.
Bruno
mais voilà encore un des ravages du passage sucessif de la réforme des maths modernes puis de sa suppression puis d'un retour (très sporadique: il y a quelques années le mot bijection était presque devenu une insulte!) d'un certain vocabulaire.
La différence entre application et fonction m'a été introduite en cours de 6ème et au premiers cours en plus! Je m'en souviens comme si c'était hier et pourtant c'était dans les années 70...
Bon ok ca ne fait pas avancer le chmiliblik.
Donc:
application: une image et une seule
fonction: au plus une image.
Ce fil me semble 'fun'. Des cosinus qui convergent a l'infini (:D), l'ensemble des functions de $R$ de $R$ n'etant pas un ev(:D).
[latex]
Farpaitement. C'est aussi mon avis.
-- Schnoebelen, Philippe
Sur Wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_et_relation#D.C3.A9finition) il me semble qu'il y a un autre problème : ce n'est pas "somme disjointe" mais "triplet". Aussi, je ne vois pas l'intérêt de donner une définition dans un langage formel (et de toute façon, une assertion où figure le mot "correspondance" n'est pas vraiment écrite dans le langage formel usuel des mathématiques).
Lis !
Histoire d'alimenter le troll, je réécris les définitions "officielles"
Si (f,E,F) est tel que f est inclus dans E×F et pour tout x de E il existe au plus un x dans F avec (x,y) appartenant à F alors on appelle (f,E,F) fonction (et par abus de langage, on dit que f est une fonction*) et l'expression longue à écrire suivante:
éventuel (mais unique) y tel que (x,y) appartient à f
est abrégée en écrivant f(x) et s'appelle "image de x par f"
Si (f,E,F) est tel que f est inclus dans E×F et pour tout x de E il existe un unique x dans F avec (x,y) appartenant à F alors on appelle (f,E,F) application (et par abus de langage, on dit que f est une application*) et, pour x dans E l'expression longue à écrire suivante:
Le y tel que (x,y) appartient à f
est abrégée en écrivant f(x) et s'appelle "image de x par f"
* ou sans "abus**" de langage "f est une ... de E dans F"
** mais avec une petite maladresse car la phrase utilise "f" comme un objet autonome (à moins de considérer "être une fonction de E dans F" comme un adjectif à part entière, ce qui est possible, mais peu courant)
Au début du fil je crois que bcp n'avaient pas vraiment pris conscience qu'était discuté la différence entre les 2 adjectifs à (E,F) fixé) et la "réunion" pour tous les (E,F) (qui fait que toute fonction f de E dans F est une application d'un E' dans F)
(En fait j'ai été "rappelé" à ce fil parce que mon site reçoit des "clics" vers une vieille page, mais je pense qu'avec un peu de chance, il y en bien qui recommenceront à s'énerver autour de ces définitions et comme il n'ya pas d'actualité de politique politicienne en ce moment sur BFM..., c'est un peu morne)
J'adore la réponse de Gérard à mbs...
certains intervenants sont très agressifs, c'est choquant !!
Si je donne ce sujet à mes élèves de 3°: cela risque de les dégouter des maths. (et pourtant ce sont des très bons élèves) et seront étonnée que même entre matheux on soit si opposés !!
il faut avant tout faire aimer les maths à mon avis, les différences subtiles peuvent être vues par la suite.
Je "pousse" mes élèves autant que je peux. Je me souviens d'un ancien collègue qui m'avait traité de "fou" (pas méchamment) parce que je faisais tracer le cercle inscrit à mes élèves de 6°
mais la notion de bissectrice étant vue, ainsi que droite perpendiculaire aussi, le tracé ne pose aucun pb (et même mieux, cela permet de réinvestir des notions vues précedemment)
et le tracé a été réussi par les 27 élèves de cette classe.
L'importance est de faire aimer les maths (ludiquement au départ) puis après d'être super rigoureux. et pourtant je suis super rigoureux avec mes élèves, leur demandant une rédaction hyper soutenue
(je dois dire que je suis dans un collège dit difficile...)
la réflexion de certains intervenants disant que les élèves savent de moins en moins de chose (en maths) est énervante. (avis que je ne partage pas forcément d'ailleurs)
Ci-dessous, pour les gens en difficulté avec ces notions, je signale un fil récent où il est plutôt indispensable de savoir faire la différence entre les 2...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,513279,513431#msg-513431
je profite de cette remontée de post pour en rajouter une couche et citer Bourbaki (théorie des ensembles).
@l
Application : Math. Opération qui consiste à faire correspondre à tout élément d'un ensemble A un élément d'un ensemble B et un seul.
-- Schnoebelen, Philippe
Exercice d'application (ah ah): combien de "fonctions" de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{0,1\}$ ?
Bruno