Le paradoxe de Littlewood

Bonjour

bs, pour tout n la boule n a été enlevée à minuit - 1/n minutes. Donc il peut difficilement rester une boule.

Si on veut donner un sens à la limite d'une suite d'ensemble on peut dire que cette limite existe si les limsup et liminf sont égales. Ici elles sont égales à l'ensemble vide.

bonjour,
permettez-moi d'exprimer mon désaccord. D'abord, personne n'a pris la peine de traduire mathématiquement la situation. Or, je ne vois guère qu'une façon de procéder : en associant arbitrairement minuit au temps zéro, cela revient à définir
une application f de R^*_- dans P(N) par

f( ]-infini,-1[ ) = ø
f( [-1/n,-1/(n+1)[ ) = [n+1,10.n]

Vouloir prolonger f au point 0 n'est, à mon sens, que pure élucubration.

Il suffit de considèrer la limite inf des $E_n=[n+1,10.n]$. Etant donné un entier n l'intersection des $E_k$ pour k>n est vide. Donc la limite inf est vide. La limite inf donne le nombre d'éléments qui sont dans tous les $E_k$ à partir d'un certain rang. Si il reste un élement x dans la boite à minuit, cela veut dire que x est dans la boite à chaque instant 1/k pour k supérieur à un certain n, donc x est dans la limite inf qui est vide, absurde.

En fait on utilise simplement la définition de la limite inf d'une suite d'ensemble qui donne une bonne modélisation du problème.

En fait je pense qu'on peut généraliser et enoncer un resultat plus général : Soit une suite $E_n$ d'intervalles d'entiers de la forme $[a_n,..,b_n]$ tels que $b_n>a_n$ et $a_n$ strictement croissante. Alors la limite inf des $E_n$ est vide. En effet si un élément x appartient à un certain $E_n$, il existe un entier n'>n tel que $a_{n'}>b_n$ car $(a_n)$ étant strictement croissante et à valeurs entières,tend vers l'infini. Alors x n'appartient pas à $E_{n'}$ et alors aucun élément ne peut être dans tous les $E_n$ à partir d'un certain rang.

Ainsi : Soit une suite d'instant $t_n$ convergeant vers un instant t et soit une urne dans laquelle on ajoute $i_n$ boules et on enlève $j_n$ boules à chaque instant $t_n$, $i_n>j_n$ et $i_n$ croissante (eventuellement constante). Alors à l'instant t l'urne est vide.

En espérant avoir dit moins de conneries que toto.le.zero :P

t-mouss

Le Barbu Rasé : oui on peut le modéliser c'est fait dans quadrature n° 54. La conclusion est que « Presque sûrement, l'urne est vide à la fin ».
En fait le calcul est élémentaire, c'est la construction de l'espace probabilisé qui l'est moins.

Salut Barbu rasé.

Tu es polarisé par les probas :"Quel sens cela a-t-il de mettre des boules dans une urne si ce n'est pas pour tirer une boule au hasard ? "
As-tu mis ton bulletin dans l'urne Dimanche pour obtenir un élu au hasard ?

Par contre, la généralisation "tirage au hasard" est intéressante et encore plus paradoxale !

Cordialement

Bonjour

quelque soit n, la boule n° n est retirée avant minuit(=0). ok
quelque soit t<0, il existe une boule non retirée. ok

(il y a des limites à ne pas dépasser)
S