Norme

Zantac: pour te rassurer, si, si, ça paraît dingue, mais en maths appliquées on utilise plusieurs normes, et on est censé préciser de quelle norme on parle.;)

Sinon, dans ton cas, tu as une intégrale de 0 à 1 qui me paraît un peu étrange, faisons comme si elle n'était pas là. Si $\Omega$ est un ouvert de ${\mathbb R}^n$ et $u$ (sans flèche, même en maths appliquées, on sait reconnaître un vecteur d'un scalaire en fonction du contexte) une application de $\Omega$ dans ${\mathbb R}^m$ (dans ton cas $n=m=3$). Si $u$ est différentiable, sa différentielle en un point est une application linéaire de ${\mathbb R}^n$ dans ${\mathbb R}^m$. Sa matrice $m\times n$ dans les bases canoniques respectives est notée $\nabla u$, on l'appelle le gradient de $u$ (même si ce n'est pas une fonction à valeurs scalaires) et la formule à se rappeler est $(\nabla u)_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$. On garde la même formule pour une distribution à valeurs dans ${\mathbb R}^m$.

Toutes les normes sur les matrices sont équivalentes, donc les fonctions que tu considères appartiennent à l'espace de Sobolev $H^1(\Omega;{\mathbb R}^m)$, quelle que soit la norme apparaissant sous l'intégrale, cad les fonctions $L^2$ à valeurs dans ${\mathbb R}^m$ dont le gradient est $L^2$ à valeurs dans les matrices $m\times n$ (je présume que $\Omega$ est borné).

Maintenant, quelle norme sur les matrices ? A priori, impossible de le savoir sans le contexte, de quelle application on parle. Ceci dit, je parierais volontiers ici sur la norme de Frobenius $\|A\|^2={\rm tr}\,(A^TA)=\sum_{i,j}A_{ij}^2$. C'est une norme euclidienne évidemment, les matrices de la base canonique sont orthonormées. Pour les matrices carrées, c'est une norme matricielle $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$, mais pas subordonnée car $\|I\|=\sqrt n$. En plus, si tu as derrière la tête de minimiser cette intégrale, cette norme va te faire sortir du Laplacien (vectoriel) de $u$ dans l'équation d'Euler-Lagrange. Une autre norme te fera sortir d'autres opérateurs différentiels, pas forcément sympathiques à écrire, mais ce n'est pas exclu, suivant le problème que tu considères...

Bonjour,

pour être concis: si $u=u(t,x)=\left(\begin{array}{c} u_1(t,x)\\ u_2(t,x)\\ u_3(t,x) \end{array}\right)$ est une fonction définie sur $\R_+\times \R^3$ à valeurs dans $\R^3$, on note
$$\nabla u=(\partial_{x_i}u_j)_{1\le i,j}$$
la famille de toutes les dérivées partielles d'ordre~1 de chaque composantes de $u$. C'est donc un éléments de $R^{9}\simeq\mathcal{M}_3(\R)$, et une norme utilisable en pratique est la norme dérivée du produit scalaire canonique sur $\R^9$. Autrement dit, on a par définition~:
$$|\nabla u(t,x)|^2=\sum_{i,j}|\partial_{x_i}u_j(t,x)|^2$$
Avec un tout petit peu d'habitude, on finit par écrire le plus synthétiquement possible (d'où la notation $|\nabla u|$ au lieu d'écrire $|\nabla u(t,x)|$ comme dans "ma" présentation. SI $u$ dépend de $t$ alors $J$ aussi.
Sinon, on peut supprimer la variable $t$ partout dans ma présentation.